Tiếp tuyến của roulette

22

Đầu tiên, hãy nói về kỹ thuật được phát triển bởi Torrielli (1608-1647) và Roberval (1602-1675); Kỹ thuật này dựa trên việc bổ sung tốc độ.

Hãy xem xét sự chuyển động của một điểm vật chất. Nếu tại thời điểm $t_0$ tác dụng của các lực dừng lại thì điểm sẽ dừng lại hoặc bắt đầu chuyển động đều dọc theo tiếp tuyến với quỹ đạo (tốc độ của chuyển động đều tạo ra được gọi là tốc độ vectơ hoán đổi của chuyển động ban đầu tại $t = t_0$). Tuyên bố này tuân theo định luật Newton. Nhưng người ta có thể, như các nhà toán học thường làm ở thế kỷ 17, coi nó như một định nghĩa điện ảnh về tiếp tuyến, đảm bảo rằng nó phù hợp với những quan sát về những chuyển động đơn giản nhất (chủ yếu là chuyển động quay). Theo quan điểm này, chúng ta có thể xây dựng các tiếp tuyến của nhiều đường cong thú vị chỉ bằng cách sử dụng những sự kiện đơn giản về tốc độ.

Chúng ta sẽ chỉ xét chuyển động phẳng. Chúng ta hãy sửa điểm $O$ trên mặt phẳng—gốc gốc. Nếu một điểm chuyển động tại thời điểm $t$ chiếm vị trí $A_t$, thì $r(t)$ chúng ta biểu thị vectơ $\vec{O A_t}$. Việc chỉ định vectơ $r(t)$ cho tất cả các giá trị $t$ xác định hoàn toàn chuyển động. Chúng ta biểu thị vận tốc vectơ tức thời tại thời điểm $t$ bằng $r(t)$; Chúng ta hãy nhớ lại rằng vectơ $r(t)$ có hướng tiếp tuyến với quỹ đạo chuyển động. Độ dài $|r(t)|$ của nó được gọi là vận tốc. Nếu chuyển động xảy ra dọc theo một đường thẳng cố định có tọa độ thì vectơ $r(t)$

23

và $\dot{\mathbf{r}}(t)$ được định hướng dọc theo đường này và chúng có thể được đặc trưng bởi tọa độ $s(t)$ và $\dot{s}(t)$.

Ví dụ 1. Galileo đã chỉ ra rằng đối với chuyển động thẳng $s(t)=\dfrac{gt^2}{2}$ thì tốc độ sẽ bằng $\dot{s}(t)=gt$.

Ví dụ 2. Cho một điểm cách một điểm $O$ một khoảng $R$ quay đều quanh $O$. Khi đó vectơ $\dot{\mathbf{r}}(t)$ có hướng tiếp tuyến với đường tròn mà điểm di chuyển dọc theo, theo hướng tương ứng với hướng quay và $|\dot{\mathbf{r}}(t)|=\dfrac{2\pi R}{T}$, trong đó

$T$ — thời gian quay (thời gian quay đầy đủ). Đặc biệt, với $T=2\pi$ ta có

$$|\dot{\mathbf{r}}(t)|=|\mathbf{r}(t)|=R.$$

Định luật cộng vận tốc

Cho hai chuyển động $\mathbf{r}_1(t)$ và $\mathbf{r}_2(t)$. Hãy gọi chúng là chuyển động tổng mà $\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_1(t)+\mathbf{r}_2(t)$, trong đó tổng vectơ nằm ở bên phải. Định luật cộng tốc độ quy định rằng tốc độ chuyển động $\mathbf{r}(t)$ bằng $\dot{\mathbf{r}}_1(t)+\dot{\mathbf{r}}_2(t)$, tức là tổng tốc độ (vectơ) của các chuyển động thành phần. Định luật cộng vận tốc dễ dàng được thiết lập cho tổng các chuyển động có vận tốc không đổi; trường hợp tổng quát thu được từ trường hợp cụ thể này bằng cách chuyển đến giới hạn.

Bất kỳ chuyển động nào $\mathbf{r}(t)$ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai chuyển động thẳng. Để làm được điều này, chỉ cần giới thiệu bất kỳ hệ tọa độ Descartes nào sao cho $O=(0,0)$ và xem xét sự thay đổi thời gian của tọa độ $x(t)$, $y(t)$ của vectơ $\mathbf{r}(t)$ là đủ. Rõ ràng là chuyển động ban đầu $\mathbf{r}(t)$ sẽ là tổng của chuyển động $x(t)$ và $y(t)$ dọc theo trục tọa độ. Vận tốc của các chuyển động này $\dot{x}(t)$ và $\dot{y}(t)$ là thành phần của vectơ $\dot{\mathbf{r}}(t)$ (do định luật cộng vận tốc).

Hãy xem ví dụ 2 với $R=1$, $T=2\pi$ và để vectơ $\mathbf{r}(0)$ hướng dọc theo hướng dương của trục $x$. Sau đó, $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$, $\dot{\mathbf{r}}(t)=(-\sin t,\cos t)$ và chúng ta nhận được $\dot{s}(t)=-\sin t$ nếu $s(t)=\cos t$ và $\dot{s}(t)=\cos t$ nếu $s(t)=\sin t$. Người đọc quen với vi phân chắc chắn sẽ nhận thấy rằng ý nghĩa động học rất đơn giản của các công thức cho đạo hàm $\sin t$ và $\cos t$ đã xuất hiện.

Định nghĩa động học của tiếp tuyến với parabol

Galileo (1564-1642) phát hiện ra rằng nếu một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời, nó sẽ bay theo đường parabol. Khi chứng minh thực tế này, Galileo đã tiến hành giả định rằng chuyển động đó là tổng của chuyển động đều theo quán tính và rơi tự do. Tuy nhiên, Galileo đã không sử dụng các tính toán của mình để xây dựng tiếp tuyến của parabol. Torricelli đã làm được điều đó. Kết quả của nó được xây dựng trong Bài toán 1 và 2 dưới đây.

Bài 1. Chứng minh tiếp tuyến vẽ tại điểm $A_t$ của quỹ đạo của một vật ném ngang: $A_t=(x(t),y(t))=(vt,-gt^2/2)$ nối điểm này với điểm $(0,-y(t))=(0,gt^2/2)$.

Mọi phép tính đều có thể dễ dàng khái quát hóa cho trường hợp một vật được ném nghiêng một góc so với đường chân trời với tốc độ $(u,v)$. Trong trường hợp này, chuyển động được chia thành chuyển động $\{x_1(t)=ut,\;y_1(t)=vt\}$ với tốc độ không đổi $(u,v)$ và rơi tự do $\{x_2(t)=0,\;y_2(t)=-gt^2/2\}$. Do đó, chuyển động thu được được viết như sau: $\{x(t)=ut,\,y(t)=vt-gt^2/2\}$ (khi cộng các vectơ có điểm bắt đầu tại $O$ thì tọa độ các đầu của chúng được cộng vào).

Bài 2. Chứng minh rằng tiếp tuyến của parabol mà một vật bay dọc theo với vận tốc $(u,v)$, nối điểm tiếp tuyến $(x(t),y(t))$ với điểm $(0,-y_2(t))=(0,gt^2/2)$.

Lưu ý rằng phương pháp do Torricelli chỉ ra để dựng các tiếp tuyến của một parabol đã được biết trước đó; tuy nhiên, cách giải thích động học của nó chắc chắn mang tính hướng dẫn.

Tiếp tuyến với cycloid

Xycloid Galileo gọi đường cong được mô tả bởi một điểm nằm trên ranh giới của một vòng tròn lăn theo đường thẳng (Hình 1); Cái tên này có nghĩa là “đến từ một vòng tròn”.

23

24

Cơm. 1. Lốc xoáy.

Ở Pháp, cơn lốc xoáy độc lập với Gaul được phát hiện bởi Mersenne (1588-1648); ở đây nó được gọi là roulette hoặc trochoid. Các nhà khoa học vĩ đại nhất của Ý và Pháp (Torriceli, Vivanni (1622-1703), Fermat (1601-1665), Descartes (1596-1650), Roberval) đã giải quyết nhiều vấn đề khác nhau. bài toán về cơn lốc xoáy. Có lẽ Vivanni là người đã xây dựng đường tiếp tuyến đầu tiên của cơn lốc xoáy. Tuy nhiên, vì xoáy thuận được định nghĩa về mặt động học, nên việc tìm cách xây dựng một tiếp tuyến của nó thu được từ các thông điệp động học là điều đương nhiên. Điều này được thực hiện bởi Roberval và Torricelli.

Giả sử tại thời điểm ban đầu $(t=0)$ $O$ là tâm của vòng tròn sinh (lăn) và điểm quan sát $A$ là điểm mà vòng tròn sinh chạm vào đường định hướng $l$. Rõ ràng là chuyển động của điểm $A$ là tuần hoàn; do đó, chỉ cần quan sát cho đến khi nó lại rơi trên đường thẳng $l$ là đủ. Hơn nữa, tại thời điểm $t$ điểm quan sát chiếm vị trí $A_t = K$ (Hình 3). Vector $\dot{r}_1(t)$ hướng tiếp tuyến với ranh giới của vòng tròn sinh ra, vectơ $\dot{r}_2(t)$ nằm ngang; chiều dài của chúng bằng nhau. Theo quy tắc hình bình hành

$\cdot$ Chúng ta có $c = \frac{2\pi R}{T}$, trong đó $R$ là bán kính của vòng tròn tạo ra, $T$ là thời gian quay hết vòng của nó. Cụ thể, nếu $T=2\pi$ thì $c=R$.

25

Cơm. 4.

(trong trường hợp này là hình thoi) chúng ta tìm được tốc độ cần thiết $\dot{r}(t)$, và do đó là tiếp tuyến với xoáy thuận.

Bài 3. Chứng minh tiếp tuyến của cyclon tại điểm $K$ nối điểm này với điểm trên $D$ của đường tròn sinh tại vị trí tương ứng.

(Đối với lời giải bài toán chúng ta chỉ cần chứng minh một sự thật hình học đơn giản: vectơ $\dot{r}(t)$ hướng dọc theo đường thẳng $KD$.)

Lưu ý rằng giá trị của tốc độ $|\dot{r}(t)|$ không phải là hằng số: nó lớn nhất khi điểm đã chiếm vị trí lớn nhất (trong trường hợp này, các vectơ $\dot{r}_1(t)$ và $\dot{r}_2(t)$ nằm trên cùng một đường thẳng và trùng phương), và bằng 0 khi điểm rơi trên đường thẳng $l$ (trong trường hợp này, các vectơ $\dot{r}_1(t)$ và $\dot{r}_2(t)$ ngược nhau (Hình 2). 4)).

Có thể chứng minh rằng sự bằng nhau của vận tốc bằng 0 tại các điểm tiếp xúc của đường tròn và đường thẳng tại mọi thời điểm tương đương với định nghĩa trước đó về lăn không trượt.

Vì vậy, chúng ta thấy rằng nơi cơn bão hướng tới, tốc độ của điểm quan sát trở thành bằng không. Hóa ra, nói chung, bất kể quỹ đạo là gì, tại các điểm nhọn, tốc độ luôn bằng không. Đôi khi người ta nói rằng quỹ đạo không thể “bị đứt” ở tốc độ khác 0. Người ta thường chấp nhận rằng các đường cong không có tiếp tuyến tại các điểm nhọn của chúng. Mọi điều được nói ở đây cần phải được làm rõ một cách nghiêm túc, nhưng chúng tôi sẽ không làm điều này.

Pháp tuyến của đường cong tại điểm $A$ là đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.

Cơm. 5.

Từ nhiệm vụ 3, pháp tuyến đến xoáy thuận đi qua điểm dưới của vòng tròn tạo ra (điểm $E$ trong Hình 3; góc $DKE$ là đường thẳng vì nó nằm trên đường kính).

Lốc xoáy rút ngắn

Cho đến nay chúng ta mới chỉ đi theo một điểm ranh giới (cố định) của vòng tròn sản xuất; tuy nhiên, rõ ràng là các điểm biên khác sẽ di chuyển theo cùng một xoáy thuận, chỉ thẳng hàng dọc theo đường thẳng $l$ (Hình 5). Bây giờ chúng ta hãy theo dõi quỹ đạo của các điểm bên trong của đường tròn. Các đường cong thu được được gọi là lốc xoáy rút ngắn (Hình 6); chúng được đặc trưng bởi tỷ lệ $k = \frac{\rho}{R}$, trong đó $R$ là bán kính của vòng tròn tạo ra, $\rho$ là khoảng cách từ tâm

Cơm. 6. Lốc xoáy rút ngắn.

26

Vòng tròn đến điểm quan sát. Đối với $k=0$, chúng ta thu được một đường thẳng dọc theo đó tâm của vòng tròn di chuyển và đối với $k=1$, chúng ta thu được một cơn lốc xoáy.

Bài toán 4. Chứng minh pháp tuyến của xoáy thuận rút gọn đi qua điểm dưới của đường tròn sinh ra.

Lưu ý rằng một điểm chuyển động dọc theo một cơn xoáy thuận rút ngắn không có vận tốc bằng 0 ở bất cứ đâu. Tại điểm dưới cùng, tốc độ hướng theo chiều ngang và độ lớn của nó bằng $R-\rho$. Điều này có nghĩa là việc trượt với tốc độ $R-\rho$ (chuyển động tịnh tiến) được thêm vào chuyển động lăn của một vòng tròn có bán kính $\rho$.

Lốc xoáy mở rộng

Hãy sử dụng các điểm bên ngoài của nó làm hình tròn (người ta có thể tưởng tượng rằng một bánh xe chuyển động trên đường ray có vành trên đó). Những điểm này di chuyển dọc theo những đường cong gọi là lốc xoáy kéo dài (Hình 7). Tất cả các lập luận được đưa ra cho các cơn lốc rút gọn đều được chuyển nguyên văn sang các cơn lốc mở rộng. Ở đây chỉ có $k=\frac{\rho}{R}>1$. Chúng ta chỉ lưu ý rằng tại điểm dưới cùng của cơn lốc kéo dài, tốc độ hướng theo hướng ngược lại với chuyển động của vòng tròn ($|\dot{r}_1|=\rho, |\dot{r}_2|=R, \rho>R$).

Bạn có để ý rằng phần dưới của vành bánh xe ngựa di chuyển về phía sau không?

Tâm quay tức thời

Vì vậy, chúng ta đã bao gồm tất cả các điểm trên mặt phẳng dưới dạng một vòng tròn dọc theo một đường thẳng. Mỗi điểm di chuyển theo quỹ đạo riêng của nó, nhưng tất cả các quỹ đạo này đều giống nhau, vì các điểm chuyển động tạo thành một vật rắn. Tính chất đặc trưng của vật rắn xét theo quan điểm động học là khi chuyển động thì khoảng cách giữa tất cả các điểm của nó không đổi. Ở đây chúng tôi sẽ giới hạn ở đây chỉ xem xét những chuyển động của các tấm rắn có thể được thực hiện mà không cần tháo các tấm ra khỏi mặt phẳng (ví dụ: không được phép lật chúng). Chúng ta sẽ quan tâm đến những hạn chế nào đối với tốc độ của một điểm trên tấm là điều kiện của độ cứng (lưu ý rằng câu hỏi về chuyển động của vật rắn ba chiều phức tạp hơn nhiều so với vật phẳng bài toán mà chúng ta đang xem xét).

Dưới đây là một số mô hình chuyển động của tấm rắn.

Nguyên tắc tham gia. Chuyển động của một tấm rắn được xác định duy nhất bởi chuyển động của hai thùy bất kỳ của nó. Chuyển động của hai thùy khác nhau, trong đó khoảng cách giữa chúng được duy trì, có thể, theo một cách độc đáo, tiếp tục chuyển động của toàn bộ mặt phẳng như một tấm rắn. Tuyên bố này hoàn toàn có tính chất hình học. Chúng tôi sẽ không cung cấp bằng chứng về điều đó và chỉ giới hạn ở

27

thiếu giải thích trực quan. Thứ nhất, chuyển động của một thanh thẳng được đặc trưng hoàn toàn bởi chuyển động của hai điểm của nó, và thứ hai, nếu một tam giác bao gồm các thanh cứng, thì chuyển động của một trong số chúng sẽ làm cho toàn bộ tam giác chuyển động. Do đó, chuyển động của hai điểm, $A$, $B$, có thể liên quan đến đường thẳng $AB$ và sau đó là bất kỳ điểm $C$ nào bên ngoài $AB$.

Nguyên tắc phân cấp. Nếu không có ngoại lực nào tác động lên tấm (mà chỉ có nội lực đảm bảo độ cứng) thì nó sẽ tạo ra một chuyển động thẳng đều hoặc chuyển động y học đều.

Khi xem xét các chuyển động tùy ý của các tấm, chúng ta cần một nguyên lý cơ bản của cơ học. Tốc độ không thể thay đổi hoán đổi cho nhau (cần có thời gian khác 0 để thay đổi tốc độ). Đặc biệt, nếu tại thời điểm $t_0$ các lực tác dụng lên điểm chuyển động thay đổi thì tốc độ $r(t_0)$ sẽ không thay đổi, nghĩa là nếu $r(t_0) \neq 0$, tiếp tuyến với quỹ đạo tại thời điểm $t_0$ sẽ không thay đổi (mặc dù bản thân quỹ đạo có thể trở nên khác so với thời điểm này).

Giả sử tại thời điểm $t_0$ ngoại lực không còn tác dụng lên tấm tam giác đang chuyển động. Khi đó, một mặt, vận tốc của điểm tại thời điểm $t_0$ không đổi, mặt khác, chuyển động phải tuân theo nguyên lý quán tính đã được công thức hóa. Do đó, khi tấm tam giác chuyển động, tại mỗi thời điểm $t$ chỉ có thể thay đổi một trong hai khả năng:

a) vận tốc của tất cả các điểm đều bằng nhau (dưới dạng vectơ);
b) có một điểm $O_t$ tại đó tốc độ bằng 0; tại một điểm tùy ý $A$ của tấm, tốc độ có hướng vuông góc với vectơ $O_tA$ và độ lớn của nó tỷ lệ thuận với khoảng cách từ $A$ đến $O_t$. (Hệ số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào thời gian $t$ và không phụ thuộc vào $A$.)

Từ thực tế là tốc độ không thể thay đổi ngay lập tức, dễ dàng suy ra rằng việc chuyển từ trạng thái $a$ sang $b$ và ngược lại chỉ có thể thực hiện được tại những thời điểm tấm dừng lại (vận tốc của tất cả các điểm bằng 0). Do đó, trong khoảng thời gian giữa các điểm dừng, tình huống $a$ hoặc tình huống $b$ sẽ diễn ra. Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp $a$ quỹ đạo của bất kỳ điểm $A$ nào được lấy từ quỹ đạo của một số điểm $B$ bằng cách dịch song song sang vectơ $BA$. Chúng ta sẽ xem xét trường hợp $b$ (nghĩa là giả sử rằng tại mỗi thời điểm có một điểm $O_t$ với tốc độ bằng 0). Chúng tôi sẽ gọi $O_t$ là trung tâm trao đổi xoay vòng tại thời điểm hiện tại $t$. (Trong ví dụ về đường tròn lăn dọc theo đường thẳng, tâm quay tức thời là điểm tiếp xúc của đường tròn với đường thẳng định hướng).

Nếu biết tâm quay tức thời $O_t$ thì pháp tuyến của quỹ đạo tại thời điểm $t$ (kỹ thuật $O_tA_t$), và do đó, các tiếp tuyến, sẽ được xây dựng tự động. Ngược lại, nếu tại thời điểm $t$ biết vận tốc của hai điểm của tấm, thì lấy giao điểm của pháp tuyến với các vận tốc này, chúng ta thu được tâm quay tức thời $O_t$.

Bây giờ để tấm hình tam giác di chuyển dọc theo một mặt phẳng cố định. Chúng ta hãy xem xét trên mặt phẳng này đường cong $L$, bao gồm các tâm quay tức thời tại mọi thời điểm; đường cong $L$ được gọi là tâm cố định; chúng ta sẽ gọi nó là “đường ray”. Mặt khác, hãy xét một đường cong $C$ trên mặt phẳng, bao gồm tất cả các điểm hóa ra là tâm quay tức thời tại một thời điểm nào đó; $C$ được gọi là tâm chuyển động; chúng ta sẽ gọi $C$ là “bánh xe”. Các thuật ngữ “không nghiêm trọng” được giới thiệu có thể cho bạn biết rằng nguồn

28

Chuyển động này có thể thu được nếu chúng ta xem xét việc lăn mà không trượt “bánh xe” cong dọc theo một “đường ray” cong và bao gồm các điểm còn lại trong quá trình lăn này (Hình 8).

Chúng ta sẽ giả sử rằng việc không trượt có nghĩa là vận tốc tức thời tại các điểm tiếp xúc của “bánh xe” và “đường ray” dẫn hướng luôn bằng 0 (điều này phù hợp với định nghĩa về tâm quay tức thời).

Từ đây, chúng ta có thể suy ra sự bằng nhau về độ dài cung của “bánh xe” và cung tương ứng của “đường ray” dẫn hướng (trên đó cung này của “bánh xe” lăn). Trong trường hợp này, được phép để các “bánh xe” giao nhau với “đường ray” khi lăn.

Thông thường, các cuộn được hiểu là các quỹ đạo mô tả các điểm của mặt phẳng trong quá trình chuyển động của nó dưới dạng một tấm rắn với các điều kiện (6) ở mọi thời điểm, tức là có một số chuyển động lăn. Đối với tất cả các cuộn, chúng tôi đã học cách vẽ pháp tuyến và tiếp tuyến. Hóa ra là bạn thậm chí không cần phải vẽ các tiếp tuyến với “bánh xe” và “đường ray” (điều này sẽ cần thiết nếu bạn sử dụng phép cộng vận tốc).

Trong các cuộc kiểm tra cơ khí của chúng tôi, chúng tôi đã thêu những tác phẩm vượt ra ngoài thế kỷ 17; Tuy nhiên, người ta đã thay thế rằng phương pháp thực hiện các cuộn thông thường đến cuộn tổng quát đã được phát hiện bởi Descartes, người đã định nghĩa chúng với sự trợ giúp của việc lăn (tất nhiên là không biết các chuyển động được tạo ra bởi việc lăn tổng quát như thế nào).

Epicyclopda

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các cuộn thu được bằng cách lăn một vòng tròn trong một vòng tròn. Để một hình tròn có bán kính $r$ lăn dọc theo cạnh ngoài của hình tròn có bán kính $R$. Quỹ đạo của các điểm biên của một vòng tròn lăn (“bánh xe”) được gọi là epicyclopes. Sự xuất hiện của chúng phụ thuộc vào $k = \frac{R}{r}$ (Hình 9). Nếu $k$ là một số nguyên, thì vòng tròn di động, sau khi lăn một lần dọc theo đường viền của vòng tròn cố định, sẽ thực hiện $k$ vòng quay và ngoại thiên văn sẽ có $k$ điểm và $k$ vòm. Một epicyclope với $k = 1$ được gọi là cardioid (nó giống với hình ảnh cách điệu của một trái tim). Nếu $k = \frac{p}{q}$ là một phân số tối giản thì vòng tròn chuyển động sau khi quay $q$ sẽ lăn trên vòng tròn đứng yên $p$ lần. Nếu $k$ là số hữu tỷ thì sẽ không có tính tuần hoàn và điểm quan sát sẽ không bao giờ trở về vị trí ban đầu.

Có thể chứng minh rằng quỹ đạo vô hạn dẫn đến trường hợp này lấp đầy vòng ($R \leqslant OA \leqslant R + r$), tiếp cận mọi điểm của nó càng gần càng tốt, nhưng không chạm vào mọi điểm.

Các tiếp tuyến của ngoại xích đạo có thể dễ dàng được xây dựng bằng cách sử dụng tâm quay tức thời - điểm tiếp xúc của đường tròn. Chứng minh rằng tiếp tuyến của ngoại tâm (tại một số điểm) sẽ đi qua điểm của đường tròn di động tương ứng, đối diện hoàn toàn với điểm tiếp xúc với đường tròn cố định.

Bình luận. Khi xây dựng epicyclops và lời giải bài toán bạn cần nhớ những điều sau. Nếu $A$ là vị trí ban đầu của điểm quan sát (Hình 10) và tại một thời điểm nào đó, vòng tròn chuyển động chạm vào điểm cố định tại điểm $B$, thì ngoại kính thuộc về một điểm trên ranh giới của nó $C$ sao cho cung $BA$ có độ dài bằng các cung $BC$; có tính đến sự khác biệt về bán kính, chúng ta nhận được

$$\frac{BC}{BA} = \frac{R}{r} = k.$$

Quỹ đạo chuyển động của các điểm bên trong (tương ứng, bên ngoài) của vòng tròn chuyển động trong quá trình lăn đang xem xét được gọi là các epicyclopes gốc (tương ứng, có gắn) (Hình 11; chúng tôi giới hạn ở số nguyên $k$).

29

Cơm. 9. Epicycloid.

30

Hypocyclops

Các cuộn thu được bằng cách lăn một vòng tròn có bán kính $r$ dọc theo mặt trong của vòng tròn có bán kính $R > r$ được gọi là hypocyclopses (tương ứng được kéo dài và rút ngắn).

Nếu $r > R$, thì tương tự như một chuyển động như vậy, chúng ta có thể coi việc lăn một vòng có bán kính $r$, mặt trong chạm vào ranh giới của một vòng tròn đứng yên có bán kính $R$. Các cuộn tương ứng được gọi là Pericyclopdes. Nhưng hóa ra chúng lại trùng với các epicyclopds (xem «Kvant», 1975, số 1, bài toán M261).

Loại hypocyclops phụ thuộc vào bản chất số học của $k = \frac{R}{r}$ và người đọc có thể dễ dàng tự mình tìm ra điều này bằng cách tương tự với epicyclops.

Bài toán 5’. Để các phép quay được mô tả ở bài toán 5 xảy ra theo hướng ngược nhau (một hướng ngược chiều kim đồng hồ, một hướng ngược chiều kim đồng hồ). $A$ sẽ di chuyển theo những quỹ đạo nào?

Hãy để tôi nhấn mạnh trong phần kết luận rằng chúng tôi đã không đặt ra mục tiêu chứng minh một cách nghiêm ngặt tất cả các kết quả mà chúng tôi thu được từ các thông điệp động học. Trong một số trường hợp, điều này rất dễ thực hiện: lý luận cơ học được thay thế bằng lý luận toán học. Gần như tự động (đối với điều này, chỉ cần thay thế tốc độ bằng đạo hàm là đủ). Trong các trường hợp khác, khó tìm thấy “chất thay thế” hơn (ví dụ: khi xem xét chuyển động của các tấm hoặc lực thay đổi). Tuy nhiên, những cân nhắc thuần túy về mặt toán học không thể thay thế hoàn toàn cách giải thích máy móc, điều này trong nhiều trường hợp khiến người ta có thể thấy một đáp số đơn giản và màu đỏ.

Cơm. 11. Epicyclops rút ngắn và kéo dài.

Bài toán 5. Cho điểm $A$ quay đều quanh điểm $O_1$, rồi lần lượt quay đều quanh điểm $O; |OO_1| = r_2, |O_1A| = r_1$. Để cả hai phép quay xảy ra theo chiều kim đồng hồ; $v_1$ và $v_2$ là giá trị của tốc độ tuyến tính. Chứng minh rằng chuyển động của điểm $A$ sẽ xảy ra dọc theo một loại bách khoa toàn thư nào đó (có thể rút ngắn hoặc mở rộng). Những mối quan hệ xác định bản chất của đường cong?