Tính chất chung của đường conic

31

Mặt cắt hình nón

Trong các bài viết “Ellipse”, “Hyperbola” và “Parabola”*), những đường cong này được xác định theo nhiều cách khác nhau: đường cong đầu tiên là kết quả của việc kéo dài hoặc lăn một vòng tròn, đường cong thứ hai và thứ ba là đồ thị của một số hàm nhất định. Mỗi trong số chúng có đặc tính tiêu cự riêng, thường được coi là định nghĩa của đường cong. Chúng ta hãy nhớ lại những “định nghĩa tiêu điểm” này (giả định rằng tất cả các điểm đang xét cho mỗi đường đều nằm trong cùng một mặt phẳng):

Hình elip là tập hợp tất cả các điểm, tổng khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm (tiêu điểm) là như nhau.

Hyperbol là tập hợp tất cả các điểm, sự khác biệt về khoảng cách từ mỗi điểm đến hai điểm (tiêu điểm) là như nhau.

Parabol là tập hợp tất cả các điểm có khoảng cách bằng nhau tính từ một điểm (tiêu điểm) và từ một đường thẳng không đi qua nó (hướng).

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Menaechmus, người đã phát hiện ra những đường cong này, đã định nghĩa chúng theo cách khác: là các phần của một hình nón tròn bởi một mặt phẳng vuông góc với một trong các đường sinh. Ông gọi các phần đường cong thu được là một hình nón có góc nhọn, hình chữ nhật và góc myno, tùy thuộc vào góc của hình nón. Cái đầu tiên, như chúng ta thấy bên dưới, là một hình elip, cái thứ hai là parabol, cái thứ ba là một nhánh của hyperbol (Hình 1, a, b và c). Những cái tên “Ellipse”, “Hyperbola” và “Parabola” được giới thiệu bởi Apollo*. Trước mắt chúng ta sẽ nhận được (7 trên 8 cuốn) bài tiểu luận “Về các phần Conchex” của Apollo. Trong tác phẩm này, Apollonius xem xét cả hai nửa của hình nón (Hình 2) và giao hình nón với các mặt phẳng không nhất thiết phải vuông góc với một trong các đường sinh.

Định lý. Nếu mặt phẳng cắt cắt tất cả các đường sinh của hình nón (chỉ một nửa của nó), thì đường giao nhau (đường màu đỏ trong Hình 2) là một hình elip;

nếu mặt phẳng song song với một đường sinh (và có thể cắt một tầng) thì đường giao nhau (màu xanh) là một parabol;

nếu mặt phẳng song song với hai máy phát điện (chúng ta giao nhau cả hai tầng), thì đường giao nhau (màu đen) là một eperbola.

Một bằng chứng tao nhã của định lý này đã được đề xuất vào năm 1822 bởi kỹ sư Dandel người Selgian, người đã sử dụng những quả cầu mà ngày nay được gọi một cách vui vẻ là những quả cầu Dandelen.

Hình elip. Chúng ta hãy nội tiếp hai hình cầu trong hình nón, tiếp xúc với mặt phẳng cắt.

*) Xem Quiet, 1975, số 1, 3 và 4. Có thể giả định rằng người đọc đã quen thuộc với những bài viết này.

32

rời đi $M$; tương tự, $MF_2 = MP_2$. Vì vậy, $MF_1 + MF_2 = MP_1 + MP_2 = P_1P_2$.

Độ dài của đoạn $P_1P_2$ là như nhau đối với tất cả các điểm $M$ trong phần của chúng ta: đây là ma trận của một hình nón cụt được giới hạn bởi các mặt phẳng song song $I$ và $II$, trong đó các đường tròn $k_1$ và $k_2$ nằm. Do đó, đường thẳng cắt hình nón với mặt phẳng $\Pi$ là một hình elip có tiêu điểm $F_1$ và $F_2$.

Cường điệu. Trường hợp này tương tự như trường hợp vừa thảo luận. Mời độc giả chứng minh, sử dụng Hình 4, a, 6, rằng mặt cắt ngang tạo ra một hyperbol.

Parabol. Trường hợp này được thảo luận trong bài “Parabola” *), dựa trên định nghĩa tương tự về đường cong này. Nhưng bạn cũng có thể kiểm tra sự xa lánh từ hình cầu của Dandelen (Hình 5).

*) «Kvant», № 4, c. 16.

Hình 1.

niya P từ các phía khác nhau (Hình 3, a, 6). Chúng ta hãy biểu thị bằng $F_1$ và $F_2$ các điểm tiếp tuyến của mặt phẳng này với các hình cầu. Lấy một điểm tùy ý $M$ trên đường thẳng của tiết diện hình nón theo mặt phẳng P. Đánh dấu trên tọa độ của hình nón đi qua $M$ các điểm $P_1$ và $P_2$ nằm trên đường tròn $k_1$ và $k_2$ mà các quả cầu tiếp xúc với hình nón. Rõ ràng $MF_1 = MP_1$ là các đoạn của hai tiếp tuyến với hình cầu thứ nhất,

33

Hình 3.

Hình 4.

3 «Kvant» № 5

34

Mặt phẳng П cắt hình nón tròn song song với đường sinh $St$. Ta vẽ một hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng P vào trong hình nón. Điểm tiếp tuyến $F$ là tiêu điểm. Hình nón và hình cầu tiếp xúc dọc theo một đường tròn $k$, mặt phẳng I cắt P dọc theo đường thẳng $d$. Đây là giám đốc.

Để chứng minh điều này, ta vẽ mặt phẳng II song song với I đi qua điểm $M$ nằm trên đường sinh $SHM$ của hình nón. Nó sẽ cắt hình nón dọc theo vòng tròn thứ hai $k'$. Sau đó, chúng ta hạ đường vuông góc $MD$ từ $M$ xuống đường thẳng $d$. Dễ dàng nhận thấy nó song song với ma trận $St$ và hình $MDEB$ là hình bình hành. Chúng ta có: $MF = MH$ (là hai tiếp tuyến từ điểm $M$ đến hình cầu); $MH = BE$ (là hai thế hệ của hình nón cụt được giới hạn bởi mặt phẳng I và II); $BE = MD$ (giống như các cạnh đối diện của hình bình hành). Từ đẳng thức $MF = MD$ cho bất kỳ điểm $M$ nào của đoạn thì suy ra đoạn này là một parabol.

Tính chất định hướng của đường conic. Độ lệch tâm

Thuộc tính tiêu điểm của parabol có thể được đưa ra theo công thức sau: tỷ lệ $\dfrac{MF}{MD}$ của khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của parabol đến tiêu điểm $F$ và với đường chuẩn $d$ (Hình 5) là một giá trị không đổi (bằng đơn vị).

Tính chất tương tự cũng áp dụng cho hình elip và hyperbol.

Trong mặt phẳng của một hình elip (hyperbola) cho mỗi tiêu điểm $F$ có một đường thẳng $d$ (directrix) sao cho tỷ lệ khoảng cách từ bất kỳ điểm $M$ của hình elip (hyperbola) đến tiêu điểm $F$ và đến đường chuẩn $d$ là một giá trị không đổi. Nó được gọi là độ lệch tâm của đường cong hình elip (hyperbolas) và được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp $\varepsilon$ (epsilon). Do đó, đối với một parabol, $\varepsilon = 1$; từ những gì sau đây hóa ra rằng đối với một hình elip $\varepsilon$ nhỏ hơn 1, và đối với một hyperbola $\varepsilon$ thì lớn hơn 1. Một parabol có một đường chuẩn và một hình elip (siêu-

bolas) - hai, một cho mỗi tiêu điểm (Hình 6).

Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh tính chất này cho hình elip. Đường chuẩn $d_1$ và $d_2$ là các đường giao nhau của mặt phẳng P với mặt phẳng I và II (xem Hình 3). Đối với hình elip, chúng nằm bên ngoài hình nón và do đó nằm ngoài đường cong. Từ sự giống nhau của các tam giác $MD_1P_1$ ($MD_1 \perp d_1$) và $MD_2P_2$ ($MD_2 \perp d_2$) ta có: $MP_1 : MD_1 = MP_2 : MD_2$. Chúng ta hãy biểu thị các mối quan hệ này bằng $\varepsilon$. Vì $MP_1 = MF_1$, $MP_2 = MF_2$, rồi $MF_1 = \varepsilon \cdot MD_1$, $MF_2 = \varepsilon \cdot MD_2$. Cộng các đẳng thức này, ta được

$$MF_1 + MF_2 = \varepsilon (MD_1 + MD_2) = \varepsilon \cdot D_1D_2.$$

Nhưng cạnh trái, theo tính chất tiêu cự của hình elip, không đổi và bằng $2a$, độ dài $D_1D_2$ (khoảng cách giữa các đường chuẩn) cũng không đổi. Vì vậy, $\varepsilon = \mathrm{const}$.

Lý do tương tự đối với hyperbol.

Hình 5.

35

Các tiêu điểm của hình elip phân kỳ nhau theo độ dài 2a của trục tiêu cự của nó, tức là độ giãn dài của hình elip là bao nhiêu.

Nguồn gốc của hình elip và hyperbol được đặt tên. Đường cong bậc hai

Chúng ta hãy gọi dây cung chính của hình elip, hyperbol hoặc parabol là dây cung đi qua tiêu điểm vuông góc với trục tiêu (đây là tên của trục đi qua tiêu điểm của đường cong). Hình elip và hình hyperbol, không giống như parabol, có hai dây chính. Chúng ta sẽ ký hiệu độ dài của một nửa hợp âm chính bằng chữ p và gọi đó là tham số tiêu điểm của phần cuối *).

Đối với bất kỳ điểm M nào của phần hữu hạn, chúng ta dựng hình chữ nhật ABCD màu vàng (chiều cao bằng dây chính) và hình vuông màu xanh NMEH (Hình 7, a, 6, b). Như chúng ta đã biết**), đối với parabol, hình chữ nhật và hình vuông này có cùng diện tích.

Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng đối với một hình elip, hình vuông có diện tích nhỏ hơn hình chữ nhật, tức là hình vuông này không có đủ diện tích (elleipsis). Đối với hyperbol, hình vuông có diện tích lớn hơn hình chữ nhật, nghĩa là nó có phần dư (hyperbol). Thực tế này, được Apollo biết đến, là cơ sở cho tên của cả hai đường cong.

Bằng chứng. Phương trình chính tắc của elip có dạng

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$$

Tuy nhiên, nếu chúng ta hợp nhất hình elip sang bên phải một đơn vị (sao cho tại gốc tọa độ không có tâm mà là đầu bên trái của trục tiêu của hình elip), thì ở vị trí mới này (hình elip màu xanh lam trong Hình 8,a) nó sẽ có một phương trình khác, thu được

*) Chúng tôi khuyên bạn nên tiếp tục thông tin liên quan về hợp âm chính và parabol tham số tiêu điểm («Kvant», Số 4, trang 12).

**) «Kvant», № 4, c. 12.

36

Hình 7.

tiếp theo từ trước nếu $x$ được thay thế bằng $x - a$:

$$\frac{(x - a)^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

hoặc

$$y^2 = \frac{2b^2}{a} x - \frac{b^2}{a^2} x^2.$$

Nhận thấy rằng $p = \frac{b^2}{a}$ (chúng ta có thể tính trực tiếp giá trị này; xem Hình 7.6)

Hình 8.

và $\frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 - c^2}{a^2} = 1 - \varepsilon^2$, chúng ta có thể viết phương trình này như sau:

$$y^2 = 2px + (\varepsilon^2 - 1)x^2.$$

Phương trình hyperbol được rút gọn về dạng giống hệt nhau (ở đây đường cong được dịch chuyển sao cho đầu bên phải của trục tiêu điểm nằm ở gốc tọa độ (xem Hình 8, 6) và $x$ được thay thế bằng $x + a$).

Lưu ý rằng parabol (Hình 8, c), có $\varepsilon = 1$, có cùng phương trình:

37

$y^2=2px$). Do đó, cả ba đường cong đều được biểu thị bằng cùng một phương trình (2). Nó được gọi là phương trình đỉnh tương đối, vì gốc tọa độ trong trường hợp này là ở đỉnh của đường cong (Hình 9).

Số hạng thứ hai ở vế phải của (2) là số âm đối với hình elip, bằng 0 đối với hình parabol

*) Trong «Kvant» Số 4 (tr. 13), phương trình của parabol thu được có dạng $x^2=2py$, và ở đây chúng ta viết nó như thế này: $y^2=2px$. Thực tế là chúng ta đã sắp xếp lại các trục tọa độ ở đây (so sánh hình 8 trong bài viết này và hình 6 trong bài “Parabola” ở «Kvant» số 4).

Điều quan trọng là phương trình phần hữu hạn (2) phải ở bậc hai đối với các biến có trong nó. Điều này áp dụng cho các phương trình hữu hạn của cả ba đường cong. Nói chung, bất kỳ đường cong nào có phương trình trong hệ tọa độ chữ nhật đều có bậc hai, tức là $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$, là một phần hữu hạn *). Vì vậy, các phần hữu hạn còn được gọi là đường cong bậc hai.

Từ hình elip đến hyperbol thông qua paraboly

Chúng ta hãy xem xét một mặt phẳng P cắt một hình nón dọc theo một đường tròn và trong mặt phẳng này chúng ta lấy một đường thẳng $l$ tiếp xúc với đường tròn này. Nếu bây giờ chúng ta bắt đầu quay mặt phẳng P quanh đường thẳng $l$, thì nó sẽ là

*) Đúng, với công thức này, chúng ta không chỉ phải coi một đường cong là một phần hữu hạn mà còn phải coi một cặp đường thẳng giao nhau (phương trình $x^2-y^2=0$). Tuy nhiên, điều này là hoàn toàn tự nhiên, vì mặt phẳng đi qua đỉnh của hình nón có thể cắt nó dọc theo hai đường thẳng, tức là dọc theo một tiết diện hữu hạn “suy biến”.

Hình 9.

Hình 10.

38

cắt hình nón dọc theo các hình elip ngày càng dài. Cuối cùng (khi mặt phẳng quay song song với một trong các đường sinh của hình nón), phần này sẽ biến thành một parabol, và sau đó (với sự quay tiếp theo của mặt phẳng) nó sẽ là một hyperbol *). Hình 10 cho thấy các đường cong được xây dựng xuất hiện trong một mặt phẳng quay.

Từ những điều trên, rõ ràng parabol là trường hợp ranh giới giữa hình elip và hyperbol. Đối với một vòng tròn (ε=0), tiêu điểm thứ hai nằm ở tiêu điểm đầu tiên. Với độ lệch tâm tăng dần, tiêu điểm thứ hai di chuyển ra xa tiêu điểm thứ nhất, nhưng miễn là ε nhỏ hơn 1, đường cong vẫn là một hình elip, được kéo dài. Tại ε=1, hình elip bị biến dạng thành một parabol (tiêu điểm thứ hai của nó “đi đến vô cùng”), và sau đó (với ε lớn hơn 1) tiêu điểm thứ hai sẽ lại xuất hiện trên trục tiêu (mặt khác, bên trong nhánh thứ hai của hyperbol).

Bằng cách di chuyển và xoay đèn, các tia bị giới hạn bởi chụp đèn tròn (Hình 11), chúng ta có thể thu được một đường viền ở dạng tiết diện hữu hạn bất kỳ, ngoại trừ các hyperbol có độ lệch tâm lớn (ε > 1/cos α).

Tính chất quang học của mặt cắt hình nón

Hình 12 thể hiện một mạng lưới dày đặc gồm hai chuỗi đường tròn đồng tâm có tâm F₁ và F₂; hiệu giữa bán kính của hai đường tròn liền kề của mỗi dãy bằng d. Mạng chia mặt phẳng thành các hình tứ giác nhỏ, có thể coi là

*) Các phép tính đơn giản (chúng tôi không trình bày) cho thấy rằng độ lệch tâm của hyperbol, có thể thu được bằng cách cắt một hình nón tròn cho trước bằng một mặt phẳng, không thể chuyển đổi thành 1/cos α, trong đó α là góc giữa trục và ma trận của hình nón. (Điều này xuất phát từ thực tế là góc giữa các tiệm cận của hyperbol thu được trong phần này không chuyển thành 2α.)

Hình 11.

39

Điều này suy ra từ đặc tính tiêu điểm của cả hai đường cong: đối với hình elip $F_1N = F_1M + d$, $F_2N = F_2M - d$ và $F_1N + F_2N = F_1M + F_2M$; tương tự đối với hyperbol. Đây là một cách mới để dựng hình elip và hyperbol bằng tiêu điểm và một điểm! Chúng ta có thể bắt đầu từ bất kỳ nút nào trong mạng và chúng ta có hai họ hình elip và hyperbol “tiêu điểm”. Cách xây dựng này càng chính xác thì $d$ càng nhỏ.

Các đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau, có nghĩa là mỗi cặp hình elip đồng tiêu và hyperbol cắt nhau một góc vuông $*$). Đường chéo của hình thoi chia góc của hình thoi làm đôi, có nghĩa là tiếp tuyến của hình elip (hyperbola) là một bissertrix của mỗi góc của mạng hình thoi mà nó đi qua. Từ thực tế là mỗi bán kính của đường tròn cắt nó theo một góc vuông, suy ra tiếp tuyến $MN$ tại mỗi điểm $M$ của hình elip tạo thành các góc bằng nhau với các đường thẳng $F_1M$ và $F_2M$. Điều này có nghĩa là theo định luật “góc tới bằng góc phản xạ”, tia $F_1M$ tới từ $F_1$ đến điểm $M$ của hình elip được phản xạ từ nó dọc theo đường thẳng $MF_2$ (Hình 13, a). Điều này sẽ áp dụng cho từng điểm của hình elip.

Do đó, tất cả các tia đi ra từ tiêu điểm $F_1$ đều bị phản xạ từ hình elip và hoàn thành ở tiêu điểm khác của nó $F_2$. Đây là tính chất quang học

*) Góc giữa hai đường cong là góc giữa các tiếp tuyến với chúng vẽ tại giao điểm của chúng.

40

hình elip, do đó có tên là tiêu điểm (tiêu điểm tiếng Latin - lò sưởi).

Đối với hyperbol, tính chất quang học phát ra như sau: các tia ló ra từ một tiêu điểm, phản xạ từ hyperbola, sẽ phân kỳ giống như mỗi tia ló ra từ tiêu điểm thứ hai (Hình 13, 6).

Trường hợp parabol là trung gian giữa hình elip và hyperbol. Tiêu điểm thứ hai “đi đến vô cực” dọc theo trục tiêu cự và các tia phát ra từ tiêu điểm duy nhất, phản xạ từ parabol, gần như song song với trục *) (Hình 13, c).

Một số tài sản khác

Để kết luận, chúng tôi trình bày thêm một số tính chất của phần hữu hạn mà không cần chứng minh.

Tính chất của đường kính liên hợp, đã được chứng minh cho hình elip **), với một số biến thể, được chuyển sang parabol và hyperbol. Trong một parabol, tập hợp trung điểm của các dây cung song song nằm trên một tia song song với trục đối xứng của parabol - mỗi tia như vậy là đường kính của parabol. Trong một nhánh của hyperbol, trung điểm của các dây song song cũng nằm trên tia. Đường thẳng chứa tia này đi qua tâm của hyperbol và được gọi là đường kính. Hãy tự mình khám phá xem trung điểm của các hợp âm song song thuộc loại khác nằm ở đâu - các đoạn, một đầu của chúng nằm trên đầu này và đầu kia trên nhánh kia của hyperbola.

Nếu chúng ta lấy sáu điểm liên tiếp A, B, C, D, E, F trên một phần conchex (giới hạn ở một nhánh trong trường hợp hyperbol), thì trong hình lục giác nội tiếp ABCDEF khi chúng ta moki giao điểm ngủ trưa

*) Thiết kế của máy chiếu dựa trên đặc tính này của parabol - bề mặt gương bên trong của chúng có được bằng cách xoay parabol quanh trục của nó (paraboloid quay). Nếu một nguồn sáng đặt tại tiêu điểm của một parabol thì tia sáng đó sẽ bị cắt khỏi gương bởi một tia song song.

**) Xem «Kvant» Số 1 của năm nay, tr. 5.

phía công nghiệp AB và DF, BC và EF, CD và FA nằm trên cùng một gia vị (định lý Pascal). Có thể có những trường hợp ngoại lệ khi có một cặp cạnh đối diện song song hoặc hai cặp cạnh như vậy (khi đó các cạnh của cặp thứ ba song song). Hãy xem xét những gì có thể nói về ba điểm giao nhau trong những trường hợp này.

Đây là hai tính chất thú vị hơn - một là hình elip, một là tính chất hyperbol.

Nếu đoạn AB có chiều dài không đổi trượt với các đầu của nó dọc theo hai thiên thể - hành tinh, sao chổi, vệ tinh. Nếu một điểm vật chất M chỉ chuyển động trong không gian dưới tác dụng của trọng lực của một điểm vật chất C khác (mà chúng ta coi là đứng yên), và lực hấp dẫn tuân theo định luật Newton F = a/r² (trong đó r là khoảng cách giữa C và M, a là hằng số), thì quỹ đạo của chuyển động là một tiết diện hữu hạn có tiêu điểm tại điểm C (hoặc điểm M di chuyển dọc theo một đường thẳng đi qua C). Kepler đi đến định luật thực nghiệm này bằng cách nghiên cứu những quan sát của Tycho Brahe; Định luật này sau đó đã được Newton chứng minh về mặt toán học. Các hành tinh và vệ tinh tự nhiên của chúng di chuyển dọc theo các hình elip, sao chổi di chuyển dọc theo các hình elip, hyperbol và parabol**). Tàu vũ trụ có thể được cung cấp bất kỳ quỹ đạo nào trong số này.

*) Người đọc «Kvant» có thể tìm thấy bằng chứng cho thực tế này trong lần xuất bản đầu tiên của bài báo “Hình elip” («Kvant», 1970, số 9).

**) Một cung nhỏ của một hình elip có độ dài cao, gần tiêu điểm, khó có thể phân biệt được với một cung tương tự của parabol và hyperbol (ε≈1, xem trang 37). Vì điều này, sẽ nảy sinh khó khăn trong việc xác định quỹ đạo của sao chổi – liệu nó có quay trở lại hay không?