Về bàn tính

72

Bạn nghĩ hóa đơn này bao nhiêu tuổi?
100? 200? 300? Hóa ra còn có nhiều hơn thế nữa! Tổ tiên của bàn tính - nó được gọi là bàn tính - đã được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại. Đúng vậy, đây không phải là những chiếc bàn tính được truyền cho chúng ta mà là một tấm bảng thông thường, rắc một lớp cát đen mỏng, trên đó bạn có thể vẽ bằng ngón tay hoặc một cây gậy nhọn. Theo truyền thuyết, Archimedes đã bị một người lính La Mã giết chết khi anh ta đang thực hiện các phép tính trên một “tấm cát” như vậy.

Một loại tài khoản sau này, đã được biết đến vào thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. e., có một “bảng đếm” (những bảng như vậy được sử dụng vào thời Phục hưng). Tuy nhiên, có lý do để cho rằng những tấm ván như vậy đã được biết đến trước đó và chúng được sử dụng vào thế kỷ 18 trước Công nguyên. đ. ở Babylon. Một số hình ảnh của một bàn đếm đã được bảo tồn và một bàn đếm của Hy Lạp đã được tìm thấy trên đảo Salamis (Hình 1). Bảng đếm là một hình chữ nhật có các đường thẳng song song thể hiện thứ hạng của một hệ thống số, thường là số thập phân. Linni được vẽ trên giấy da, chạm khắc trên gỗ, khắc trên gramora, và đôi khi còn được thêu trên vải. Các nhà vật lý lỏng lẻo đã đi theo hướng này và do đó đã thực hiện được những phép tính đơn giản. Các nhà vật lý có thể là một viên sỏi tròn hoặc thứ gì đó tương tự, và từ phép tính trong tiếng Latin - viên sỏi - từ này nảy sinh

73

số mới viết bằng chữ số La Mã. Bạn sẽ thấy ngay rằng việc này khó hơn nhiều so với việc cộng số bằng ký hiệu thông thường. Và phép nhân và chia trở thành những phép toán đơn giản và áp đảo! Đó là lý do tại sao, hơn thế kỷ 15 ở châu Âu, hầu như mọi phép tính đều được chia thành bàn tính. Vì vậy, đồng thời có hai cách ghi số - một cách cực kỳ cồng kềnh và bất tiện, được sử dụng khi viết số, và cách thứ hai, thuận tiện và thiết thực, được sử dụng khi tính toán. Trên thực tế, phương pháp thứ hai này không khác gì phương pháp ghi âm hiện đại quen thuộc với chúng ta. Rõ ràng, không phải bàn tính ra đời sau khi phát minh ra hệ thống số vị trí, mà là hệ thống vị trí ra đời nhờ bàn tính.

Người đầu tiên giới thiệu hệ thống số Ấn-Ả Rập ở châu Âu là Leonardo người Pisa, hay còn gọi là Fibonacci. Ông đã phác thảo nó trong cuốn sách hay “Liber Abaci” (1202). Sự phổ biến của chữ số Ả Rập ở châu Âu đã dẫn đến sự xuất hiện của các thuật toán tính toán loại bỏ hoàn toàn hệ thống ký hiệu La Mã cho các con số để chuyển sang hệ thống Ấn Độ-Ả Rập tiên tiến hơn. Thuật toán tên xuất phát từ tên của nhà toán học Ả Rập thế kỷ thứ 9 Al-Khwarizmi và là tiền thân của thuật toán từ hiện đại. Những người bàn tính, những người tuân theo các chữ số La Mã trong các phép tính bằng văn bản, nhưng chủ yếu tính toán trên các bàn tính và các thuật toán thường được biên soạn lẫn nhau với tốc độ tính toán. Trong bức vẽ lấy từ cuốn sách “Margarita philosophica” xuất bản năm 1504 (xem trang thứ hai của bìa), bạn sẽ thấy một trạng thái như vậy.

Những người bán buôn sớm phát hiện ra rằng những con số mới cực kỳ thuận tiện cho việc giữ tài khoản. Tuy nhiên, ở một số nước châu Âu việc sử dụng immi bị pháp luật cấm nên việc sử dụng chữ số Ả Rập chỉ có thể được sử dụng một cách tinh tế. Ví dụ, vào năm 1299, một sắc lệnh xuất hiện ở Florenzini cấm sử dụng chữ số Ả Rập, và thậm chí vào năm 1594 ở Antwerp, các thương gia ở Antwerp không được phép viết chữ số Ả Rập trong hợp đồng và hóa đơn. Chèn borba với số ngay cả ở một số nước Ả Rập. Hệ thống ghi số mới cuối cùng chỉ giành được chiến thắng vào thế kỷ 16-17, khi việc sản xuất hàng loạt giấy bắt đầu, và chẳng bao lâu sau, chữ số Ả Rập đã có được loại tiêu chuẩn nhờ in ấn.

Nhưng hãy quay lại với hóa đơn. Bàn tính hiện đại về cơ bản là một bảng đếm đã được sửa đổi, trên đó các bộ đếm trượt dọc theo dây hoặc thanh. Hiện nay, có 3 loại bàn tính được sử dụng: bút suan Trung Quốc, bàn tính soroban của Nhật Bản và bàn tính của Nga.

Bút suan Trung Quốc (Hình 2) có cấu tạo trượt gần như không ma sát trên thanh tre. Mỗi thanh đặt năm hạt (đơn vị) dưới dải phân cách và hai (năm hạt) phía trên dải phân cách. Trong Hình 3 bạn thấy tiếng Trung Quốc-

74

算

Hình 3.

glyph “suan” - “đếm”. Nó mô tả một bàn tính được giữ bởi hai nhân vật “bàn tay” phía trên nhân vật “tre”.
Nguồn gốc của suan pen không rõ. Mô tả chính xác của nó có từ thế kỷ 16, nhưng chắc chắn nó đã xuất hiện sớm hơn nhiều thế kỷ.

Soroban của Nhật Bản (Hình 4) cũng có từ thế kỷ 16, rất có thể nó được mượn từ Trung Quốc. Xương của nó có cạnh nhọn: hai hình nón nối với nhau ở đáy. Trên mỗi thanh chỉ có một (năm) xương phía trên dải phân cách (người Nhật gọi khu vực này là bầu trời) và chỉ có bốn xương (đơn vị) bên dưới - trên mặt đất. Thiết kế ban đầu có năm xương ở phía dưới, giống như bút suan của Trung Quốc, nhưng chiếc thứ năm đã bị loại bỏ vào khoảng năm 1920.

Ở Nhật Bản, họ vẫn tiến hành tổng hợp điểm soroban hàng năm. Người ta thường so sánh giữa máy tính Nhật Bản hoặc Trung Quốc trên bàn tính và máy tính Mỹ trên máy số học. Sáng tác nổi tiếng nhất như vậy được biên soạn vào năm 1946, khi Thomas Wood được đặt cạnh Kioshi.

Mazaki. Hóa ra Mazzaks thực hiện tất cả các phép tính, ngoại trừ việc nhân các số nhỏ, nhanh hơn.

Bàn tính của Nga khác hẳn với bàn tính của phương Đông. Có lẽ chúng được mượn từ người Ả Rập. Cho đến nay, bàn tính tương tự vẫn được sử dụng ở một số nơi ở Ấn Độ và Trung Đông, nơi người Thổ Nhĩ Kỳ gọi chúng là kulba và người Armenia gọi chúng là khoreb. Các thanh có bốn xương mà bạn thấy trong Hình 5 được sử dụng để đếm các phần lẻ của rúp và kopecks.

Bàn tính tốt nhất được thiết kế để cộng và trừ. Phép nhân và chia trong bàn tính được thực hiện bằng cách lặp lại các thao tác này nhiều lần. Việc cộng, trừ trên tài khoản được thực hiện tương tự như trên giấy khi thực hiện các thao tác trên một cột. Để nhanh chóng làm việc trên bàn tính, chuyển động của ngón tay phải hoàn toàn tự động: bạn không thể dừng lại và báo cáo! Nếu bạn học kỹ các chuyển động ngón tay cần thiết cho phép cộng thì không cần phải học các chuyển động cần thiết cho phép trừ. Vấn đề là, ví dụ: bạn cần trừ 9213 từ 456.789:

$$456\ 789 - 9213 = = 456\ 789 + 786 - 999 = = 456\ 789 + 786 + 1 - 10\ 000.$$

Vì vậy, chúng ta đã giảm phép trừ thành phép cộng và phép trừ lũy thừa mười. (Sắp xếp nó ra)

Hình 4. Soroban. Con số 4620 được đặt sang một bên.

75

độc lập, cách hành động trong trường hợp số tùy ý.)

Phương pháp này được gọi là phương pháp cộng trừ. Nó cũng sử dụng máy tính hoạt động nhanh. Ở đây nó đặc biệt dễ sử dụng vì máy hoạt động theo hệ thống số kép. Chúng ta hãy áp dụng phương pháp này trong hệ thống số với cơ số bất kỳ. Cố gắng hiểu nó sẽ trông như thế nào trong trường hợp hệ có cơ số $q$. (Tất nhiên, nhiệm vụ này chỉ áp dụng cho những người biết hệ có cơ số $q$ là gì. Nếu bạn không biết điều này, tôi khuyên bạn nên đọc bài viết “Hệ thống số”, xuất bản trên «Kvant» Số 6 năm 1970.) Nhân tiện, trên bàn tính, bạn cũng có thể thực hiện các phép tính tùy ý với các số không được viết trong hệ thập phân. Ví dụ: khi đếm với số kép, bạn cần sử dụng xương ngoài cùng bên trái trong mỗi hàng, với số ba - hai

xương trái và vân vân. Khi làm việc với số thập phân, bạn có thể bỏ qua chín ô và chỉ cần tất cả mười ô cho cùng một hệ thống số bậc bốn.

Một bài tập thực hành tuyệt vời về phép cộng bàn tính liên quan đến thủ thuật số này. Bạn viết con số “ma thuật” 12.345.679 và yêu cầu người có mặt gọi tên bất kỳ con số nào. Giả sử số 7 được đặt tên. Sau đó, bạn đề xuất nhân số ma thuật với 63. Hóa ra - có lẽ là để mọi người thích thú - rằng kết quả chỉ bao gồm các số bảy (để xác định hệ số nhân, bạn chỉ cần nhân số đã đặt tên với 9).

Đây là cách sử dụng con số “thần kỳ” này cho bài tập bàn tính. Đặt 12.345.679 vào tài khoản và cộng số đó vào tám lần. Nếu bạn không mắc bất kỳ sai lầm nào trong quá trình bổ sung này, thì bạn sẽ nhận được một số trên bàn tính chỉ bao gồm các đơn vị. Thêm số ma thuật đó chín lần nữa để có số hai và chín lần nữa để có số ba. Cuối cùng, sau 80 phép cộng, bạn sẽ thu được một số toàn là số chín. Bài tập này được thay thế bằng thực tế là với sự trợ giúp của nó, bạn có thể dễ dàng kiểm tra tính chính xác của công việc ở từng giai đoạn trong số chín giai đoạn.

Ngoài 12.345.679 còn có vô số con số “ma thuật”. Ví dụ: $37 \times 3 \times d$, trong đó $d$ là số có một chữ số, chỉ bao gồm $d$. Con số kỳ diệu thấp nhất cho số bảy là 15.873; cho 13 - 8 547, cho 99 - 1 122 334 455 667 789. Tìm số “ma thuật” nhỏ nhất không đổi nhất cho 17. Cố gắng tìm ra số nào bạn có thể chỉ định là số “ma thuật” và số nào bạn không thể.