Lobachevsky và vật lý

Lobachevsky và vật lý

Toán học luôn phục vụ các nhà vật lý như một công cụ nghiên cứu. Kepler sẽ không thể xây dựng các định luật của mình nếu ông không biết lý thuyết về đường cô-nic. Newton, để giải bài toán cơ học, đã phải tạo ra một nhánh mới của toán học: phép tính vi phân và tích phân. Nhưng ngay cả trên nền tảng của những khám phá vĩ đại này, việc khám phá ra hình học phi Euclid vẫn nổi bật do ảnh hưởng của nó đối với ý tưởng của chúng ta về bức tranh vật lý về thế giới.

Trong những năm Nikolai Lobachevsky làm việc, không ai nghi ngờ tính đúng đắn của cơ học Newton, và những câu hỏi về bản chất của không gian và thời gian, mặc dù được các nhà khoa học quan tâm, dường như hoàn toàn trừu tượng và không có ý nghĩa thực tiễn.

Lobachevsky được so sánh với Copernicus. Bằng cách tước bỏ vị trí trung tâm thế giới của Trái đất, Copernicus đã mở ra Vũ trụ để khám phá. Lobachevsky, khi đã chỉ ra rằng hình học Euclide không phải là hình học duy nhất, đã khiến các nhà khoa học tự nhiên nghĩ rằng không gian mà Vũ trụ phát triển cũng phải là một đối tượng nghiên cứu. Hình học sau Lobachevsky đã mất đi tính không thể sai lầm tuyệt đối của nó và chuyển sang kinh nghiệm để xác nhận hoặc phủ nhận các định luật của nó.

Lobachevsky hiểu rằng khả năng thay đổi các định luật hình học có thể kéo theo khả năng thay đổi các định luật cơ học. “…Một số lực trong tự nhiên,” ông viết, “theo một lực, những lực khác tuân theo hình học đặc biệt của riêng chúng… các lực đều tạo ra những lực giống nhau: chuyển động, tốc độ, thời gian, khối lượng, thậm chí cả khoảng cách và góc.”

Các nhà vật lý đã bỏ qua những cảnh báo này trong một thời gian rất dài. Chỉ sau khi phát hiện ra lý thuyết tương đối đặc biệt (SRT) và thuyết tương đối rộng (GTR), người ta mới biết rõ ý nghĩa sâu xa ẩn chứa trong những lời này của Lobachevsky. Các nhà vật lý nên coi Lobachevsky là một trong những người sáng tạo vĩ đại cho khoa học của họ. Lịch sử của hình học phi Euclid vẫn là một ví dụ nổi bật về việc những lý thuyết trừu tượng nhất có thể dẫn đến sự xem xét lại hoàn toàn các quan điểm về thế giới thực của chúng ta như thế nào.

Chúng ta hãy đưa ra một số ví dụ cho thấy những ý tưởng về hình học của Lobachevsky được phản ánh như thế nào trong thuyết tương đối. Hãy bắt đầu với một lý thuyết đặc biệt.

STO: bổ sung tốc độ

Khi giải bài toán bằng động học, chúng ta sử dụng các quy tắc cộng vectơ do hình học Euclide quy định. Trong trường hợp này, chúng ta cộng cả vectơ dịch chuyển và vectơ vận tốc theo cùng một cách.

Với việc phát hiện ra thuyết tương đối đặc biệt, người ta thấy rõ rằng việc cộng vận tốc theo các quy luật của hình học Euclide chỉ mang lại kết quả đáp số đúng về mặt thực tế nếu vận tốc xảy ra trong bài toán nhỏ so với tốc độ ánh sáng $c$. Khi tốc độ tương đương với tốc độ ánh sáng, để thu được kết quả chính xác cần phải sử dụng các quy tắc khác. Hãy xem xét ví dụ này.

Giả sử rằng chúng ta đang quan sát từ ngọn hải đăng một con tàu đang di chuyển ra xa với tốc độ không đổi $\bm{u}$. Tên lửa được bắn thẳng đứng lên trên từ tàu với các tốc độ khác nhau $\bm{v}_i$ so với tàu ($i=1$, 2, 3, $\ldots$). Làm thế nào để tìm vận tốc của tên lửa so với ngọn hải đăng (tức là vận tốc của tên lửa $\bm{v}_i'$ trong hệ quy chiếu gắn liền với ngọn hải đăng)?

Hình 1

Theo quan điểm của cơ học Newton
$$\bm{v}_i'=\bm{u}+\bm{v}_i\tag{*}$$
— có thể tìm thấy vectơ tổng $\bm{v}_i'$ bằng quy tắc tam giác (Hình 1).

Lời giải của bài toán này trong thuyết tương đối đặc biệt chứa đựng những khó khăn toán học mà hầu hết độc giả của chúng tôi sẽ không thể vượt qua. Vì vậy, chúng tôi sẽ chỉ cung cấp đáp số:
$$\bm{v}_i'=\bm{u}+\bm{v}_i\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}.\tag{**}$$

Trong trường hợp tốc độ $\bm{u}$ và $\bm{v}_i$ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng $c$, công thức (**) thực tế sẽ chuyển thành công thức (*).

Nhưng khi $\bm{u}$ và $\bm{v}_i$ trở nên tương đương với tốc độ ánh sáng, giá trị chính xác của tốc độ $\bm{v}_i'$ chỉ có thể được tìm thấy bằng công thức (**) - chính động học của SRT mô tả chuyển động của các vật thể ở tốc độ cao.

Rõ ràng khi cộng các vectơ $\bm{u}$ và $\bm{v}_i$ theo quy tắc tam giác Euclide thì không thể thu được đáp số (**).

Chúng ta hãy một lần nữa lưu ý đến thực tế là chúng ta sử dụng các thuật ngữ và quy tắc hình học, nhưng áp dụng chúng không phải cho không gian thông thường mà cho một tập hợp vận tốc, được cho là tạo thành không gian vận tốc. Sử dụng thuật ngữ này, từ tất cả những gì đã nói, chúng ta có thể kết luận: chừng nào chúng ta còn ở trong khuôn khổ của cơ học cổ điển, thì không gian vận tốc trùng với không gian Euclide; trong cơ học SRT, hình học Euclide không được chấp nhận để mô tả không gian vận tốc.

Hình ảnh hình học nào có thể được so sánh với không gian vận tốc trong cơ học tương đối tính? Hóa ra không gian Lobachevsky có thể đóng vai trò là hình ảnh hình học này. Nhưng sự chuyển đổi từ các đại lượng vật lý sang hình ảnh hình học của chúng trong trường hợp tương đối tính không đơn giản như trong trường hợp cổ điển. Bằng cách mô tả vận tốc trên mặt phẳng Euclide (trên một tờ giấy), chúng ta vẽ các đoạn có độ dài (theo thang tuyến tính nhất định) bằng vận tốc. Để hình dung cách chuyển từ vận tốc sang các đoạn trên mặt phẳng Lobachevsky, chúng ta hãy quay lại bài toán về ngọn hải đăng, con tàu và tên lửa.

Hình 2

Vì vậy, đối với tốc độ $\bm{v}'$ của tên lửa trong hệ quy chiếu gắn với ngọn hải đăng, thuyết tương đối đặc biệt cho đáp số (**). Hóa ra trên mặt phẳng Lobachevsky, các vận tốc $\bm{u}$, $\bm{v}$, $\bm{v}'$ tương ứng với một tam giác vuông, độ dài các cạnh của chúng bằng giá trị của một hàm phi tuyến nào đó $f$ của các vận tốc $u$, $v$, $v'$. Chúng ta sẽ giả sử rằng tam giác $BAD$ (Hình 2) được vẽ trên mặt phẳng Lobachevsky,
$$a=f(|\bm{u}|),\quad b=f(|\bm{v}|),\quad d=f(|\bm{v}'|).$$
Việc tìm tốc độ $\bm{v}'$ được rút gọn thành việc tìm, theo các quy tắc hình học Lobachevsky, cạnh $d$ của tam giác $BAD$ sử dụng hai cạnh đã biết $a$ và $b$ và góc vuông giữa chúng. Góc $\beta$ của tam giác $BAD$ là góc mà vận tốc $\bm{v}'$ tạo với đường chân trời. Quy tắc xây dựng cạnh $d$ là quy tắc tam giác mà chúng ta đã quen thuộc. Tuy nhiên, các công thức cho phép chúng ta xác định độ dài cạnh $d$ trong hình học Lobachevsky khác với trong hình học Euclid (ví dụ: trong bài toán mà chúng ta đang xem xét, định lý Pythagore không áp dụng được). Nhưng trong trường hợp khi tốc độ $u$ và $v$ nhỏ hơn nhiều so với $c$, thì những công thức này thực tế trùng khớp với các công thức của hình học Euclide. Chúng ta có thể nói rằng STR có cùng mối quan hệ với cơ học cổ điển của Newton cũng như hình học của Lobachevsky có mối quan hệ tương tự với hình học Euclid.

Hình 3

Trong bài toán mà chúng ta đã xem xét, chúng ta có thể đưa ra một biểu diễn “vật lý” của khái niệm hình học về sự song song. Tốc độ của tên lửa $\bm{v}_i$ càng lớn thì góc $\alpha$ mà tốc độ $\bm{v}_i'$ tạo ra với đường chân trời càng lớn. Trong cơ học cổ điển, tốc độ $\bm{v}_i$ có thể cao như mong muốn. Tại $v_i\to\infty$ $\alpha\to90^\circ$. Nghĩa là, trong trường hợp giới hạn này, hướng $\bm{v}_i$ và $\bm{v}_i'$ gần như song song. Do đó, các đường thẳng song song của hình học Euclide theo quan điểm vật lý là vectơ vận tốc của một tên lửa cực nhanh, được xem xét từ các hệ quy chiếu khác nhau, chuyển động tương đối với nhau đều với tốc độ hữu hạn (Hình 3, a).

Theo SRT, tốc độ của tên lửa $\bm{v}_i$ không thể lớn hơn tốc độ ánh sáng $c$. Trong trường hợp khi $|\bm{v}_i|=c$—một lượng tử ánh sáng (photon) được giải phóng khỏi con tàu—độ lớn của tốc độ $\bm{v}_i'$ cũng bằng $c$. Thật vậy (xem (**)),
$$(v_i')^2=u^2+v_i^2{\left(1-\dfrac{u^2}{c^2}\right)}.$$
Thay thế $v_i=c$ vào biểu thức này, chúng ta nhận được $v_i'=c$.

Trên mặt phẳng lobachevsky trong trường hợp này, các cạnh $b$ và $d$ (tương ứng với vận tốc $v_i$ và $v_i'$) trở nên dài vô hạn (xem Hình 3, b). Nhưng góc $\beta$ mà cạnh $d$ tạo với cạnh $a$ (tương ứng với vận tốc $u$), vẫn nhỏ hơn $90^\circ$. Trong hình học Lobachevsky, góc này được gọi là góc song song và được ký hiệu là $\Pi(a)$. Nhưng $\beta$ là góc mà trong hệ quy chiếu gắn với ngọn hải đăng tạo nên vận tốc $v'$ với đường chân trời. Độ lớn của góc này được xác định bởi điều kiện
$\cos\beta=\dfrac u{v'}=\dfrac uc$. Đây là góc tối đa, giới hạn mà tại đó người quan sát trong hệ thống này có thể “nhìn thấy” tốc độ của một photon. Do đó, hình ảnh “vật lý” của các đường thẳng song song trong hình học của Lobachevsky xuất hiện một cách tự nhiên: đây là những vận tốc photon được quan sát từ các hệ quy chiếu chuyển động đều khác nhau.

Đối với tất cả những gì chúng tôi đã nói, chúng tôi có thể nói thêm rằng lý thuyết tương đối hẹp được phát triển độc lập với hình học Lobachevsky. Tất cả các công thức của nó đều được Einstein thu được bằng phương pháp cơ học. Chỉ đến năm 1909, nhà vật lý người Đức Sommerfeld mới phát hiện ra sự đồng nhất của toàn bộ bộ máy toán học của SRT với hình học của Lobachevsky.

Sự phát triển của vật lý hiện đại, những lĩnh vực như vật lý hạt nhân và vật lý hạt cơ bản, là không thể nếu không có thuyết tương đối. Nếu bạn đọc một cuốn sách giáo khoa về hình học phi Euclide, thì mỗi định lý, mỗi bài toán có thể được liên kết với một bài toán từ vật lý hạt cơ bản. Và khi tính toán đường đi của các hạt trong máy gia tốc, quá trình va chạm của các hạt cơ bản, các công thức hình học của Lobachevsky hóa ra rất hữu ích - các phép tính trở nên ngắn hơn và đơn giản hơn.

GTR: độ cong của không gian

Có lẽ mọi người đều có thể tưởng tượng bề mặt của một quả bóng trông như thế nào từ góc nhìn của một con bọ hai chiều đang bò trên đó. Rõ ràng, nhận thức của anh ấy không trùng với nhận thức của chúng ta. Chúng ta có thể nhìn quả bóng “từ một phía” từ không gian ba chiều và thấy rằng bề mặt của nó là một hình cầu. Nhưng đối với một con bọ hai chiều, nó không thể làm được điều này - không có chiều thứ ba cho nó - bề mặt của một quả cầu dường như là một mặt phẳng. Và nếu kích thước của con bọ nhỏ hơn nhiều so với bán kính của hình cầu thì anh ta sẽ kết luận rằng mặt phẳng này là Euclide. Nhưng nếu con bọ “biết chữ”, thì sau khi thực hiện một số phép đo, nó có thể chắc chắn rằng hình học trên mặt phẳng của nó khác với hình học Euclide. Ví dụ, nếu anh ta đo tổng các góc của một tam giác rất lớn, anh ta sẽ thấy rằng nó khác $180^\circ$.

Sống trong không gian ba chiều, ở một mức độ nào đó chúng ta ở vị trí của một con bọ. Chúng tôi lập mô hình hình học của không gian này dựa trên kinh nghiệm hàng ngày. Và chừng nào chúng ta còn xử lý những khoảng cách trên trái đất thông thường đối với chúng ta, thì kinh nghiệm cho thấy rằng không gian xung quanh chúng ta là không gian Euclide. Chúng ta có thể nói gì về hình học của không gian trên quy mô thiên hà của chúng ta, toàn bộ Vũ trụ? Về bản chất, câu hỏi này được Lobachevsky đặt ra lần đầu tiên. Các định luật hình học của Euclid có đúng ở những khoảng cách rất lớn (theo quan điểm của Trái đất) không? Chẳng hạn, có đúng tổng các góc của một tam giác rất lớn là $180^\circ$ không? Dựa trên dữ liệu thu được từ các quan sát thiên văn, lobachevsky đã cố gắng tìm đáp số để trả lời câu hỏi này. Kết luận của ông như sau: “… trong một tam giác có các cạnh gần bằng khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời, tổng các góc không thể chênh lệch với hai đường thẳng quá 0,0003 giây một độ.”

Mặc dù Lobachevsky không tìm thấy những sai lệch so với các định luật Euclide, nhưng chính ý tưởng cho rằng thế giới chúng ta đang sống có thể không phải là Euclide đã thực sự mang tính cách mạng.

Hình 4. Trong mặt phẳng đi qua Mặt trời, tổng các góc của một tam giác lớn có các đỉnh là các ngôi sao lớn hơn $180^\circ$.

Hình 5. Thí nghiệm này được thực hiện trong thời gian nhật thực toàn phần. Theo tính toán, ngôi sao lúc đó nằm ngoài rìa Mặt trời. Tuy nhiên, do sự bẻ cong của các tia sáng phát ra từ ngôi sao trong trường hấp dẫn của Mặt trời, ngôi sao được quan sát ở một khoảng cách nào đó so với đĩa mặt trời (khi nhật thực, ánh sáng mặt trời bị Mặt trăng “chặn” và các ngôi sao nằm gần Mặt trời trở nên nhìn thấy được). Theo thuyết tương đối rộng, độ dịch chuyển góc của các ngôi sao trực tiếp ở rìa Mặt trời phải là $\approx1''\mathord,75$ ($1''$ là góc mà hộp diêm có thể nhìn thấy được từ khoảng cách $\sim10$ km). Các thí nghiệm được thực hiện trong thời gian nhật thực cho giá trị lớn hơn một chút. Tuy nhiên, những kết quả này chắc chắn xác nhận độ cong của không gian.

Hơn 150 năm đã trôi qua kể từ khi Lobachevsky tạo ra hình học của mình, khoa học đã đạt được một bước tiến lớn trong việc tìm hiểu thế giới thực. Và giai đoạn quan trọng nhất trên con đường này là việc Einstein tạo ra thuyết tương đối rộng. Cô đã thiết lập mối liên hệ giữa lực hấp dẫn phổ quát và các tính chất của không gian. Kết luận chính rút ra từ Thuyết tương đối rộng là không gian chúng ta đang sống bị cong. Ví dụ, ở gần các vật nặng, gần Mặt trời, cơ học trở thành phi Newton và hình học của không gian trở thành phi Euclid (xem Hình 4).

Ánh sáng khi đi ngang qua Mặt trời sẽ chuyển động theo một đường cong tương tự như một parabol. Vì đường thẳng, theo định nghĩa, là tia sáng truyền trong môi trường đồng nhất, nên trong không gian gần Mặt trời, đường thẳng là tia sáng cong. Mức độ cong của không gian được đặc trưng bởi độ cong của chùm tia. Bán kính cong của chùm sáng tại một điểm cách Mặt trời một khoảng $r$ được gọi là bán kính cong của không gian tại điểm này. Thuyết tương đối rộng đưa ra công thức sau cho nó:
$$R=\sqrt{\dfrac{r^3}{2R_{\text{гр}}}}.$$
Ở đây $r$ là khoảng cách tới Mặt trời và $R_{\text{гр}}$ là cái gọi là bán kính hấp dẫn của Mặt trời, giá trị đặc trưng cho mức độ ảnh hưởng của Mặt trời đến hình dạng của không gian xung quanh nó:
$$R_{\text{гр}}=\dfrac{2\gamma M}{c^2}\approx3~\text{км},$$
trong đó $M\sim10^{33}$ g là khối lượng của Mặt trời, $c=3{,}00\cdot10^8$ $\dfrac{\text{м}}{\text{с}}$ là tốc độ ánh sáng, $\gamma=6{,}67\cdot10^{-11}$ $\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{кг}^2}$ là hằng số hấp dẫn.

Năm 1919, trong một lần nhật thực, các quan sát thiên văn đã được thực hiện, kết quả đã xác nhận kết luận của Thuyết tương đối rộng (Hình 5).

Thuyết tương đối là một bộ máy không thể thiếu trong việc nghiên cứu các tính chất của Vũ trụ. Hiện nay có rất nhiều mô hình của Vũ trụ. Giá trị của chúng, cái nào trong số chúng thực sự mô tả các tính chất của Vũ trụ, có thể được đánh giá bằng kết quả thí nghiệm. Nhưng những thí nghiệm này cực kỳ phức tạp, nhiều trong số đó vẫn chỉ mang tính chất “tinh thần”, và khoa học hiện đại không đủ khả năng thực hiện chúng. Nhưng trong số những mô hình này có những mô hình theo đó hình học của không gian là hình học của lobachevsky.

Các đặc tính hình học của Vũ trụ thay đổi theo thời gian; các nhà thiên văn học nhìn thấy các thiên hà và chuẩn tinh đang tán xạ; khá gần đây, “lỗ đen” đầu tiên được phát hiện trong chòm sao Cygnus - điểm mà mật độ chuyển sang vô cực và độ dài bằng không. Và khoa học chỉ có thể giải thích những hiện tượng này bởi vì 150 năm trước, trên bờ sông Volga, nhà toán học trẻ người Kazan Nikolai Lobachevsky đã hỏi: có phải hiển nhiên rằng thông qua một điểm bên ngoài một đường thẳng chỉ có thể vẽ được một đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho? Ai có thể nghĩ rằng đây là một trong những câu hỏi hóc búa nhất mà con người từng hỏi thiên nhiên.