Con lắc có hệ thống treo rung

28

Phòng thí nghiệm “Quenta”

A. Natanzon, M. Plotkin

Con lắc có hệ thống treo rung

Như đã biết, một vật đứng yên ở trạng thái cân bằng ổn định khi thế năng của nó là nhỏ nhất. Đặc biệt, đối với một ma trận toán học (hoặc vật lý), thế năng là tối thiểu khi trọng tâm của nó nằm dưới điểm treo. Tất nhiên, ma trận như vậy cũng có vị trí cân bằng ở trạng thái nghịch đảo, khi trọng tâm nằm phía trên điểm treo, nhưng vị trí này không ổn định. Chúng ta hãy đồng ý rằng chúng ta sẽ xem xét một ma trận toán học trong đó sợi dây vô tận được thay thế bằng một lõi cứng nhắc vô tận. Tuy nhiên, vị trí trọng tâm của cơ thể phía trên điểm tựa không phải lúc nào cũng loại trừ sự cân bằng ổn định. Ví dụ, con quay đồ chơi của trẻ em không rơi miễn là nó quay khá nhanh. Và không chỉ động tác xoay mới có thể cải thiện độ ổn định của cơ thể.

Hóa ra là với sự dao động nhanh theo phương thẳng đứng của hệ thống treo ma trận (tức là điểm gắn), vị trí đảo ngược của ma trận trở nên ổn định. Trong những điều kiện này, anh ta có thể đứng ở tư thế thẳng đứng hoặc xoay người xung quanh mình (Hình 1). Số lượng nghiên cứu về hiện tượng này gắn liền với những khó khăn toán học đáng kể. Năm 1951, Viện sĩ P.L. Kapitsa đã mô tả gần đúng hoạt động của ma trận có hệ thống treo rung trong trường hợp khi chiều dài của ma trận $L$ lớn hơn nhiều so với biên độ dao động của hệ thống treo $x_0$ và tần số rung vượt xa tần số dao động tự nhiên của ma trận. Chúng tôi sẽ chỉ giới hạn ở lý luận định tính.

Nếu khi quan sát, bạn không chú ý đến chuyển động nhỏ của ma trận gắn liền với dao động của hệ thống treo thì chuyển động lơ lửng của nó sẽ giống như có một mô men lực tác dụng lên ma trận, có xu hướng đưa nó lại gần hơn.

29

đây là hướng rung động. Khoảnh khắc lực hư cấu này của P. L. Kapits được gọi là “rung động”.

Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu nguyên nhân của khoảnh khắc rung động. Đầu tiên chúng ta giả sử rằng không có lực hấp dẫn. Cho ma trận lơ lửng dao động theo phương dao động với biên độ $x_0$ và tần số $\omega$ theo định luật điều hòa $x = x_0 \cos \omega t$. Giả sử rằng ma trận tạo một góc $\varphi$ với hướng dao động (Hình 2). Chuyển động của hệ thống treo có thể được chia thành hai chuyển động: dọc theo ma trận và vuông góc với nó. Cái thứ nhất chỉ trộn tải dọc theo đường của thanh, còn cái thứ hai làm quay thanh mà không trộn tải (góc quay được coi là nhỏ). Do đó, với độ lệch lớn nhất, ma trận sẽ chiếm vị trí I và II (xem Hình 2).

Sẽ thuận tiện hơn khi xem xét hành vi của ma trận trong hệ thống báo cáo liên quan đến việc đình chỉ. Vị trí của ma trận I và II trong hệ thống này được hiển thị trong Hình 3. Hệ thống báo cáo được chọn là không quán tính*), do đó, trong đó, một lực quán tính bằng $F = -ma$ sẽ tác dụng lên nam châm (tức là lên khối lượng chứa ở đầu của nó), trong đó $a$ là gia tốc của hệ thống treo tại một thời điểm nhất định.

Vì hệ thống treo dao động theo định luật điều hòa nên hình chiếu gia tốc của nó cũng thay đổi theo định luật điều hòa: $a = -\omega^2 x = -\omega^2 x_0 + \omega^2 x_0$. Do đó, lực $F$, hình chiếu của nó bằng $F = \pm m\omega^2 x_0$ ở các vị trí này, được định hướng như trong Hình 3. Rõ ràng, mômen của lực $F$ so với điểm treo ở vị trí I lớn hơn ở vị trí II, và vì thời gian tác dụng của nó “lên” bằng thời gian tác dụng “xuống” (theo vị trí của chu kỳ dao động, nên cuối cùng ma trận sẽ trộn lên trên, tức là dọc theo đường đi ngắn nhất tới hướng dao động.

Mômen rung $M_B$, dưới tác động của nó xảy ra sự thay đổi này, tỷ lệ thuận với chênh lệch mô men của lực $F$ ở vị trí I và II. Hãy tìm sự khác biệt này.

Để nam châm lệch một góc $\varphi$ so với phương dao động của hệ thống treo. Như có thể thấy trên Hình 2, biên độ góc của các dao động nhỏ của ma trận

30

ka $\alpha \approx \frac{x_0 \sin \varphi}{L}$, trong đó $L$ là độ dài của ma trận. Biên độ tương tự được thể hiện trong Hình 3. Sau đó
$$M_1 - M_{11} = FL \left[ \sin (\varphi + \alpha) - \sin (\varphi - \alpha) \right] = 2FL \sin \alpha \cos \varphi.$$
Vì $\frac{x_0}{L} \ll 1$ thì
$$\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x_0 \sin \varphi}{L}$$

Có nghĩa,
$$M_n \sim M_1 - M_{11} \approx m\omega^2 x_0^2 \sin 2\varphi.$$
Việc xem xét định tính như vậy cho phép chúng ta tìm ra lý do xuất hiện mômen rung và thiết lập sự phụ thuộc chính xác của mômen này vào biên độ dao động của hệ thống treo, tần số rung, khối lượng ma trận và góc lệch $\varphi$, nhưng không cho phép chúng ta tìm giá trị của hệ số tỷ lệ. Một phân tích chặt chẽ hơn được thực hiện bởi P. L. Kapitsa dẫn đến sự tương ứng
$$M_B = \frac{m\omega^2 x_0^2}{4} \sin 2\varphi. \quad (1)$$

Sử dụng mômen dao động có thể hiểu được, bây giờ chúng ta sẽ viết các điều kiện cho sự cân bằng của ma trận trong trường hấp dẫn. Chúng ta giả sử rằng dao động của hệ thống treo xảy ra theo phương thẳng đứng

Hình 4.

phương hướng. Ngoài mômen dao động $M_B$, mômen hấp dẫn $M_T = mgL \sin \varphi$ còn tác dụng lên nam châm. Ở vị trí cân bằng các mô men này bằng nhau:
$$mgL \sin \varphi = \frac{m\omega^2 x_0^2}{4} \sin 2\varphi,$$
hoặc
$$\sin \varphi \left( \frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} - \cos \varphi \right) = 0. \quad (2)$$

Các giá trị $\varphi$ thỏa mãn phương trình này là các vị trí cân bằng. Họ là:
$$\varphi_1 = 0, \quad \varphi_2 = 180^\circ, \quad (3)$$
$$\varphi_3, 4 = \pm \arccos \frac{2gL}{\omega^2 x_0^2}.$$

Ở đây $\varphi_1 = 0$ là vị trí phía trên của quả cân, $\varphi_2 = 180^\circ$ là vị trí phía dưới của quả cân.

Sau khi xem xét sự tương ứng giữa độ lớn của mômen dao động và mômen trọng trường gần các vị trí cân bằng, chúng ta có thể tin rằng $\varphi_1$ và $\varphi_2$ là các vị trí ổn định, còn $\varphi_3$ và $\varphi_4$ là không ổn định. Do đó, nếu nam châm nằm trong vùng $A$ (Hình 4) thì nó sẽ dao động quanh vị trí $\varphi_1$, còn nếu nằm trong vùng $B$ thì xung quanh vị trí $\varphi_2$. Từ (3) rõ ràng là nếu $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} = 1$ thì $\varphi_1 = \varphi_3 = \varphi_4$ và vị trí $\varphi_1$ trở thành trường hợp hướng dao động tạo một góc nhất định với phương thẳng đứng. Nhưng hóa ra là có thể có được vị trí ổn định của ma trận nghịch đảo theo bất kỳ hướng dao động nào. Đúng, các tham số của ma trận không thể tùy ý. Tính toán cho thấy rằng nếu $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} < 0,5$ thì vị trí