Маятник с вибрирующим подвесом

28

Лаборатория «Кваenta»

А. Натанзон, М. Плоткин

Маятник с вибрирующим подвесом

Как известно, неподвижное тело находится в состоянии устойчивого равновесия, когда его потенциальная энергия минимальная. В частности, для математического (или физического) матрика потенциальная энергия минимальная, когда его центр тяжести находится под точкой подвеса. Конечно, у такого матрика есть положение равновесия и в перевернутом состоянии, когда центр тяжести расположен выше точки подвеса, но это положение неустойчиво. Договоримся, что мы будем рассматривать такой математический матрик, у которого нерастижная неиссметная нить заменена жестким неиссметным стержнем. Однако не всегда положение центра тяжести тела над точкой опоры исключает устойчивое равновесие. Например, детская игрушка юла не падает, пока вращается достагоно быстро. И не только вращение может повысить устойчивость тела.

Оказывается, при быстрых вертикальных колебаниях подвеса матрика (т. е. точки закрепления) перевернутое положение матрика становится устойчивым. В этих условиях он способен стоять в вертикальном положении или плавано качаться около него (рис. 1). Количество исследовании этого явления связано со значительными математическими трудностями. В 1951 году академику П. Л. Капице удалось приближенно описать поведение матрика с вибрирующим подвесом для случая, когда длина матрика $L$ много больше амплитуды вибраций подвеса $x_0$ и частота вибраций намного превозходит собственную частоту колебаний матрика. Мы же ограничимся лишь качественными рассуждениями.

Если при наблюлении не обращать внимание на мелкое движение матрика, связанное с вибрацией подвеса, то его плавание движение будет таким, как если бы на маттник действовал момент сил, стремящийся приблизить

29

это к направлению вибрации. Этот фиктивный момент сил П. Л. Капица называют «вибрационным».

Попробуем понять причину возникновения вибрационного момента. Предположим сначала, что силы тяжести отсутствуют. Пусть подвеся матрика колеблется вдоль направления вибрации с амплитудой $x_0$ и частотой $\omega$ по гармоничскому закону $x = x_0 \cos \omega t$. Допустим, что матрик составляет с направлением вибраций угол $\varphi$ (рис. 2). Перемешение подвеса можно разложить на два перемешения: вдоль матрика и перpendикулярно к нему. Первое лишь смешает груз вдоль линни стержня, а второе поворачивает стержень, не смешая груза (углы поворота предполагаются малими). Поэтому при наибольших отклонениях матрик займет положения I и II (см. рис. 2).

Удобнее рассматривать поведение матрика в системе отчета, связанной с подвесом. Положения матрика I и II в этой системе показаны на рисунке 3. Выбранная система отчета является неинерциальной*), поэтому в ней на магнитик (т. е. на массу, содержитную на его конце) будет действовать сила инерции, равная $F = -ma$, где $a$ — ускорение подвеса в данной момент времени.

Так как подвеся колеблется по гармоничскому закону, то проектия его ускорения изменяется тоже по гармоничному закону: $a = -\omega^2 x = -\omega^2 x_0 + \omega^2 x_0$. Поэтому сила $F$, проектия которой равна в этих положениях $F = \pm m\omega^2 x_0$, направлена, как показано на рисунке 3. Очевидно, что момент силы $F$ относительно точки подвеса в положении I больше, чем в положении II, а так как время действия ее «вверх» равно времени действия «вниз» (по положение перiodа вибрации, то в итоге матрик должен смешаться вверх, т. е. по кратчайшейему пути к направлению вибрации.

Вибрационный момент $M_B$, под действием которого происходит это смение, пропорционален разности моментов силы $F$ в положениях I и II. Найдем эту разность.

Пусть магнитик отклонен на угол $\varphi$ от направления вибраций подвеса. Как видно из рисунка 2, угловая амплитуда мелких вибраций матрии-

30

ка $\alpha \approx \frac{x_0 \sin \varphi}{L}$, где $L$ — длина матрика. Эта же амплитуда изображена и на рисунке 3. Тогда
$$M_1 - M_{11} = FL \left[ \sin (\varphi + \alpha) - \sin (\varphi - \alpha) \right] = 2FL \sin \alpha \cos \varphi.$$
Так как $\frac{x_0}{L} \ll 1$, то
$$\sin \alpha \approx \alpha \approx \frac{x_0 \sin \varphi}{L}$$

Значит,
$$M_n \sim M_1 - M_{11} \approx m\omega^2 x_0^2 \sin 2\varphi.$$
Такое качественное рассмотрение позволяет получить причины появления вибрационного момента и установить правильную зависимость этого момента от амплитуды вибраций подвеса, частоты вибраций, массы матрика и угла отклонения $\varphi$, но не позволяет найти значения коэффициента пропорциональности. Более строое рассмотрение, проведенное П. Л. Капицей, приводит к соответствии
$$M_B = \frac{m\omega^2 x_0^2}{4} \sin 2\varphi. \quad (1)$$

Пользовясь понятным вибрационно-моента, написем теперь условия равновесия матрика в поле силы тяжестei. Будем считать, что вибрации подвеса проинсходят в вертикальном

Рис. 4.

направлении. Кроме вибрационного момента $M_B$ на магнитке действует еще момент силы тяжестei $M_T = mgL \sin \varphi$. В положении равновесия эти моменты равны:
$$mgL \sin \varphi = \frac{m\omega^2 x_0^2}{4} \sin 2\varphi,$$
или
$$\sin \varphi \left( \frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} - \cos \varphi \right) = 0. \quad (2)$$

Удовлетворяющие этому уравнение значения $\varphi$ являются положения равновесия. Они таковы:
$$\varphi_1 = 0, \quad \varphi_2 = 180^\circ, \quad (3)$$
$$\varphi_3, 4 = \pm \arccos \frac{2gL}{\omega^2 x_0^2}.$$

Здесь $\varphi_1 = 0$ — верхнее положение грузика, $\varphi_2 = 180^\circ$ — нижнее положение грузика.

Рассмотрев соответствие величины вибрационного момента и момент силы тяжестei около положений равновесия, можно убедиться, что $\varphi_1$ и $\varphi_2$ — устойчивые положения, а $\varphi_3$ и $\varphi_4$ — неустойчивые. Таким образом, если магнитка находится в области $A$ (рис. 4), то он будет колбааться около положения $\varphi_1$, а если в области $B$, — около положения $\varphi_2$. Из (3) видно, что если $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} = 1$, то $\varphi_1 = \varphi_3 = \varphi_4$ и положение $\varphi_1$ становится анализа случай, когда направление вибраций составляет некоторый угол с вертикальным. Но, оказывается, что устойчивое положение перевернутого матрика возможно при любом направлении вибраций. Правда, параметры матрика не могут быть при этом произвольными. Расчет дает, что если $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2} < 0,5$, то положение