Великое открытие Лобачевского

Квант 1976, №2 с. 16, 18, 21 Тег TEGG

Великое открытие Лобачевского

Легче остановить Солнце, легче двинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению, и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расстояние.

В. Ф. Каган

История великих открытий всегда поучительна. Но как часто остаются неизвестными обстоятельства, при которых они сделаны, и ход мысли, приведший к ним учёного! Вместо этого создаются легенды: об Архимеде, открывшем свой закон в ванне, или о яблоке Ньютона. Известно, однако, что на вопрос о том, как он пришёл к своему открытию, Ньютон отвечал: «Постоянно о нём думая», — но он нигде не описал своих мыслей, пока не привёл их к полной ясности.

В этом году отмечается стопятидесятилетие открытия Николаем Ивановичем Лобачевским неевклидовой геометрии. Датой этого открытия условно считается день 24-го февраля 1826 года, когда молодой профессор представил свой доклад физико-математическому факультету Казанского университета. Текст доклада не сохранился, но, по словам автора, его содержание было опубликовано в 1829 году в статье под заголовком «О началах геометрии».

Открытие Лобачевского позволило уже во второй половине прошлого века называть его «Коперником геометрии», но только теперь становится ясным всё его значение для математики в целом и для физики. Постараемся вкратце описать идеи великого геометра и осветить ход мыслей, который привёл к ним.

История вопроса, разрешённого Лобачевским, занимает два тысячелетия. В третьем веке до нашей эры, в Александрии появилась рукопись «Начал» Евклида, в которой геометрия излагалась в строго систематическом виде, мало отличающемся от того, который до самого последнего времени был принят в учебниках гєометрии. В основу построения Евклида положен ряд первоначальных утверждений (аксиом), которые не доказываются. Все остальные утверждения (теоремы) выводятся из аксиом логически. Среди всех аксиом Евклида выделяется «аксиома о параллельных»: Две прямые $a$ и $b$ , пересечённые третьей, пересекаются между собой с той стороны, где сумма внутренних односторонних углов $\alpha$ и $\beta$ меньше суммы двух прямых углов (рис. 1).

Рис. 1

Это положение привлекло внимание продолжателей и комментаторов Евклида по разным причинам. Во-первых, оно было сложнее всех остальных аксиом — например, таких, как «Через две точки проходит прямая» или «Все прямые углы равны». Во-вторых, обратное утверждение «Сумма двух углов треугольника меньше двух прямых», легко доказывалось. И вот создалось мнение, что евклидова «аксиома о параллельных» доказуема, но это доказательство ещё нужно найти.

Такое убеждение стало всеобщим, и поиски доказательства аксиомы Евклида продолжались в течение двух тысячелетий в Греции и Византии, на Востоке и в Западной Европе. Все эти поиски не привели ни к чему. «Начала» по-прежнему считались образцом научного изложения, и только теория параллельных казалась требующей улучшения.

К концу XVIII века интерес к этой теории возрос. Во Франции, по почину Даламбера, одного из авторов знаменитой «Энциклопедии», были сделаны первые попытки улучшить изложение Евклида в методическом отношении. Этому требованию отвечал учебник геометрии Лежандра, и в каждом из десяти его изданий приводились всё новые и новые «доказательства» аксиомы Евклида, пока в последнем издании автор не признал все эти доказательства ошибочными.

В Германии интерес к аксиоме Евклида получил философскую окраску. Как утверждал выдающийся философ-идеалист И. Кант (1724—1804), неизменность арифметики и геометрии в течение тысячелетий свидетельствует о том, что они не основаны на опыте, а являются учениями о времени и пространстве, которые, по Канту, не существуют во внешнем мире, а лишь соответствуют особенностям человеческого познания. Поэтому аксиомы вполне обоснованы, если они «самоочевидны»; поскольку аксиома Евклида лишена этой самоочевидности, она должна быть доказана.

Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) подошёл к теории параллельных иначе, чем его предшественники. Геометрию он начал преподавать сразу после окончания Казанского университета. Записки его лекций 1816—17 годов, дошедшие до нас, ещё содержат остроумную попытку доказательства аксиомы Евклида, но уже в 1823 году он пишет в своём учебнике геометрии: «Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать». Где же искать обоснование теории параллельных, если аксиому Евклида никак не удаётся логически вывести из других аксиом геометрии? В ответе на этот вопрос Лобачевскому помогает его последовательная материалистическая установка. «Оставьте, — пишет он, — трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам непременно и удовлетворительно». В другом месте он пишет, чётко отвергая идеалистическую априорную концепцию Канта: «Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врождённым — не должно верить».

Итак, аксиомы, как и все результаты познания, имеют опытное происхождение. Но если другие аксиомы геометрии опираются на простое повседневное наблюдение, то аксиома о параллельных носит более сложный характер. Для её обоснования требуется эксперимент и теория этого эксперимента. Этой теорией, однако, не может быть геометрия Евклида, поскольку именно её мы и хотим обосновать. Она должна быть более общей и глубокой.

Такую теорию и создаёт Лобачевский. Он называет её сначала осторожно «воображаемой» геометрией, а потом, в конце жизни, «Пангеометрией», т. е. геометрией всеобщей.

Вернёмся к рисунку 1, предположив для простоты, что угол $\alpha$ прямой (рис. 2). Через точку $B$ можно провести в правой полуплоскости различные лучи, пересекающие прямую $a$ . При вращении против часовой стрелки мы, наконец, встретим первый из непересекающихся лучей; он называется параллельным прямой $a$ ; угол, который этот луч образует с лучом $BA$ , называется углом параллелизма. Прямая $b$ , содержащая такой луч, тоже называется параллельной $a$ .

Рис. 2

Всё сказанное справедливо независимо от аксиомы Евклида, которая утверждает, что угол параллелизма — прямой, так что при $\beta\lt d$ луч $b$ пересекает прямую $a$ . Если мы не примем этой аксиомы, то нам придётся ограничиться более общим и менее определённым утверждением, что угол параллелизма $\Pi$ не превосходит $d$ . На этом предположении и основывает Лобачевский свои дальнейшие рассуждения.

Если $\Pi=d$ , то аксиома Евклида соблюдается, и из неё вытекают все предложения обычной геометрии — евклидовой, или, как её называет Лобачевский, — «употребительной». Если же $\Pi\lt d$ , то из этого допущения вытекают совершенно иные следствия, которые составляют содержание новой геометрии — её Лобачевский и называет «воображаемой», а мы теперь называем геометрией Лобачевского.

Многие теоремы «воображаемой» геометрии, к которым при этом приходит Лобачевский, явно противоречат нашим привычным представлениям, и нужна была большая сила мысли, чтобы не принять эти противоречия за логические. Лобачевский владел этой силой и развил свою геометрию с большой полнотой, завершив её построением своеобразной тригонометрии (которую принято теперь называть гиперболической).

Рис. 3

Важным разделом геометрии Лобачевского является учение о сумме углов треугольника. Рассмотрим треугольник $ABC$ (рис. 3), и будем вращать прямую $BC$ ( $b$ ) против часовой стрелки вокруг точки $B$ . Если мы не принимаем аксиомы Евклида, то должны предположить, что прямая $b$ «оторвётся» от прямой $a$ и станет параллельной ей ещё прежде, чем сумма углов $\alpha+\beta$ станет равной $2d$ . С другой стороны, легко показать, что при вращении прямой $b$ величина угла $\gamma$ при точке $C$ стремится к нулю. Отсюда следует, что при некотором положении прямой $b$ сумма углов $\alpha+\beta+\gamma$ будет меньше $2d$ . Можно показать также, что неравенство $\alpha+\beta+\gamma\lt2d$ справедливо для любого треугольника, так что в геометрии Лобачевского сумма внутренних углов треугольника меньше двух прямых.

Рассматривая число
$\delta=2d-(\alpha+\beta+\gamma),$
которое называется дефектом треугольника, Лобачевский выводит следующую замечательную формулу:
$\delta=\dfrac S{R^2},\tag1$
где $S$ — площадь треугольника, а $R$ — число, одинаковое для всех треугольников. Величину $R$ , имеющую размерность длины, называют радиусом кривизны пространства Лобачевского, а отрицательную величину $K=-\dfrac1{R^2}$ — кривизной этого пространства. В пространстве Евклида $\delta=0$ , и его кривизна считается равной нулю.

Радиус кривизны участвует во всех формулах гиперболической тригонометрии; так, например, имеет место формула
$\tg\dfrac\Pi2=e^{-\frac{\scriptstyle\rho}{\scriptstyle R^2}},\tag2$
в которой $\Pi$ — угол параллелизма (рис. 2), $\rho$ — «стрелка», — длина перпендикуляра $AB$ .

Стоит теперь предположить, что $R=\infty$ , т. е. что кривизна равна нулю, и мы получим
$\tg\dfrac\Pi2=1,$
а это значит, что угол параллелизма — прямой, — утверждение, равносильное аксиоме Евклида. Вот почему Лобачевский считал, что евклидова геометрия является частным (а лучше сказать, «предельным») случаем его «воображаемой» геометрии.

Формулы (1) и (2) показывают, что различия между евклидовой и неевклидовой геометрией тем меньше, чем больше радиус кривизны пространства. С другой стороны, эти различия будут прежде всего сказываться на фигурах больших размеров: так, для треугольника эти различия увеличиваются вместе с его площадью, а для параллельных прямых — вместе с ростом «стрелки» (Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского не существует подобных фигур. Два треугольника, например, с соответственно конгруэнтными углами конгруэнтны между собой.)

Всё это было ясно Лобачевскому, когда он поставил вопрос об опытной проверке теории параллельных. Вот что он писал по этому поводу: «Напрасные старания со времён Евклида, в продолжении двух тысяч лет, заставили меня подозревать, что в самих понятиях ещё не заключается той истины, которую хотели доказывать, и которую проверить могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения».

Почему же именно астрономические наблюдения? Да потому, что астрономия наблюдает наибольшие из доступных нам фигур.

Рассмотрим же одну из них. Пусть $B$ — точка, в которой находится Земля, а $B'$ — другая точка, в которую она приходит через полгода, так что $|BB'|=2|AB|$ — диаметр земной орбиты, $A$ — центр орбиты, а $|AB|$ — радиус (рис. 4). Предположим, что в точке $C$ находится неподвижная звезда, и допустим для простоты, что прямая $CA$ перпендикулярна к плоскости земной орбиты (эклиптики). Если $(BM)$ тоже перпендикулярна этой плоскости, то угол $\eps=\widehat{CBM}$ называется годичным параллаксом звезды $C$ — иными словами, параллаксом называют половину угла $2\eps$ , на который отклоняется за полгода луч зрения, идущий от земного наблюдателя к неподвижной звезде. (В учебниках астрономии параллаксом называется угол, под которым был бы виден со звезды радиус земной орбиты; но доступен наблюдению только угол $\eps$ , а такое определение предполагает заранее, что пространство евклидово.)

Рис. 4

Построим луч $BN$ , параллельный лучу $AC$ , и назовём дефектом параллелизма угол $\delta=d-\Pi$ , дополняющий угол параллелизма $\Pi$ до прямого. Дефект параллелизма обращается в нуль, если пространство евклидово, и во всяком случае удовлетворяет неравенству
$\delta\lt\eps.\tag3$

Таким образом, дефект параллелизма, соответствующий стрелке $\rho$ , равной радиусу земной орбиты, меньше любого годичного параллакса.

Астрономы используют параллаксы при определении расстояний до неподвижных звёзд. Параллаксы измерены в большом количестве и с хорошей точностью; наименьшие из них имеют порядок $0{,}05''$ (одна двадцатая угловой секунды). Учитывая это и неравенство (3), можно получить из формулы (2), что с помощью прямых астрономических наблюдений нельзя обнаружить различие между евклидовой и неевклидовой геометриями, если радиус кривизны последней больше шестидесяти световых лет. С другой стороны, оказывается, что если геометрия космического пространства и отличается от евклидовой, то это отличие незначительно.

Основываясь на подобных рассуждениях, говорит Лобачевский, «наша теория параллельных оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяет принятые начала этой последней рассматривать как бы строго доказанными».

Это высказывание, так же как и другие из первых сочинений Лобачевского, показывает, что первоначально он смотрел на свою «воображаемую» геометрию только как на средство для обоснования евклидовой теории параллельных. Однако в середине 30-х годов, к моменту издания его «Новых начал геометрии с полной теорией параллельных», у него появляется иная точка зрения. «В природе, — говорит Лобачевский, — мы познаём собственно только движение, без которого чувственные впечатления невозможны. Итак, все прочие понятия, например, геометрические, произведены нашим умом искусственно, будучи взяты в свойствах движения, а потому пространство само собой, отдельно, для нас не существует. После чего в нашем уме уже не может быть никакого противоречия, когда мы допускаем, что некоторые силы в природе следуют одной, другие своей, особой геометрии».

Идеи Лобачевского не встретили понимания среди его современников. Только великий немецкий математик Гаусс («король математиков») оценил их по достоинству, но он писал об этом своим друзьям в частных письмах, которые были опубликованы после смерти Лобачевского. В России сочинения Лобачевского встречали только грубые отрицательные отзывы и даже оскорбительные насмешки. Лишь один математик, младший товарищ Лобачевского по кафедре, казанский профессор П. И. Котельников решился в публичной речи произнести пророческие слова: «Труд Лобачевского рано или поздно найдёт своих ценителей».

Однако Лобачевский не сдавался, публикуя работы, содержащие различные подходы к новой геометрии и её приложения к вычислению интегралов. В последней из работ — «Пангеометрии», — которую он, уже слепой, диктовал незадолго до смерти, обсуждается вопрос об осуществимости «воображаемой» гесметрии в космическом пространстве.

Идеи великого русского геометра получили всемирное признание только после его смерти. Чтобы понять, как это произошло, нужно вернуться назад. В 1828 году вышла книга Гаусса «Исследования о кривых поверхностях», в которой строится «геометрия на поверхности» или её внутренняя геометрия. Гаусс дал формулы, позволяющие вычислять длины дуг кривых линий на поверхности, определять углы между кривыми или площади ограниченных ими областей, находить геодезические (т. е. кратчайшие) линии на поверхности и определять так называемую гауссову кривизну — величину, характеризующую отклонение внутренней геометрии поверхности от геометрии плоскости.

Ученик Гаусса, Ф. Миндинг (1806—1885), работавший в Дерпте (ныне город Тарту), изучая так называемую псевдосферу, т. е. поверхность постоянной гауссовой кривизны, получил ещё в 30-х годах прошлого века некоторые формулы тригонометрии геодезических треугольников на этой поверхности. В 1868 году итальянский геометр Э. Бельтрами обратил внимание на то, что формулы. Миндинга совпадают с формулами гиперболической геометрии Лобачевского. Отсюда следовало, что внутренняя геометрия псевдосферы является геометрией Лобачевского.

Таким образом, оказалось, что в евклидовом пространстве можно построить модель плоскости Лобачевского; этот-то факт и рассеял сомнения в непротиворечивости неевклидовой геометрии и быстро привёл её к всеобщему признанию.

Интерес, вызванный знакомством с идеями Лобачевского, имел важные последствия. С 70-х годов прошлого века начали интенсивно разрабатываться проблемы оснований геометрии. К началу нашего столетия были построены вполне строгие изложения этой науки (Д. Гильберт, В. Ф. Каган), и началась работа по обоснованию арифметики, теории множеств, теории вероятностей и логики, которая продолжается и в настоящее время. В последние десятилетия эта работа стала весьма актуальной, получив приложения к теории математических машин.

Настоящий краткий очерк не даёт, конечно, полного представления о геометрии Лобачевского. Желающим более обстоятельно ознакомиться с «восбражаемой» геометрией и её применениями можно рекомендовать в первую очередь книги:

П. А. Широков. Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1955. Содержит наиболее доступное изложение геометрии Лобачевского.
В. Ф. Каган. Лобачевский и его геометрия. Общедоступные очерки. — М.: Гостехиздат, 1955.
А. П. Норден. Элементарное введение в геометрию Лобачевского. — М.: Гостехиздат, 1953.
А. П. Норден. Вопросы обоснования геометрии в работах Лобачевского //
Историко-математические исследования. Выпуск XI. — М.: Физматгиз, 1958.