Задачи наших читателей

31

устойчивого равновесия перевернутого магнитка всегда найдется.

В заключение предложаем вам проведение самостоятельные исследования поведения магнитка с вибрирующим подвесом.

Влабораторных условий обусловлено использование легкий металлической стержень или кусок толстой проволоки длиной 15—20 см. При скорости вращения 3 000 об/min достаточно амплитуды вибраций подвеса 5—6 мм.

Следует обратить внимание на то, что для стержня, являющегося физическим, а не математическим магнитком, во всех формулах выражение $\frac{2gL}{\omega^2 x_0^2}$ необходимо заменить на $\frac{4gL}{3\omega^2 x_0^2}$.

《Необычное》поведение магнитка с вибрирующим подвесом легко можно наблюдать и в домашних условиях. Нужно только иметь электробритву типа «Нева», «Москва» или «Эра» и два пустьх стержня от шариковой ручки. Сияв ножи с электробритвы, надо надеть на ножки вибратора бритвы по отрезку стержня длиной 3—3,5 см и проткнуть их концы проволочной или бульавкой (см. заставку кстатье). (Такая длина отрезков обеспечивает их резонанс при колебаниях, что увечивает амплитуду вибраций до нескольких миллиметров.) Эта же проводочка произвела конец целого стержня, который и является магнитком.

Заметим, что этот опыт совершенно безопасен для электробритвы.

Задачи наших читателей

1. Докажите, что в квадрате чисел
   $* \times * = b$
   $: \times -$
   $* : * = *$
   $* + * = *$

в котором * заменяет некоторые натуральные числа, число * b всегда равно шести. Скольники разными способами можно расшифровать эту запись?

У. Шулте (е. Сцезулда)

2. Ни одно из трех целых чисел a, b, c не делится на три. Докажите, что тогда делится на три
   a) $a^2 + b^2 + c^2$;
   b) $a^{2k} + b^{2n} + c^{2m}$.

3. Докажите, что если существуют такие натуральные числа m и k, что $A = 12^{4k} + 3^{11m} < 200$, то число A — простое.
   С. Охитин (е. Оренбург)

4. Известно, что для данного * n* любой набор из * k* натуральных различных чисел, ни одно из которых не больше * n*, содержит хотя бы три таких элемента, что существует треугольник со стороны * n*, длины которых выражаются этими числам.

Какое наименьшее значение может принять * k* как функция от * n*?

О. Беридзе (е. Батуми)

5. На сторонах AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и T такие, что
   $\frac{|AM|}{MB|} = m$, $\frac{|BN|}{NC|} = n$, $\frac{|CT|}{TA|} = t$.

Известно, что прямые MN и BT пересекаются в точке O. Найти отношение $|BO|:|OT|$.

Г. Сверчков (е. Москва)