Расчёт цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм

51

Г. Мякищев

Расчет цепей переменного тока значительно сложнее, чем цепей постоянного тока. Однако в случае, если направление и сила тока изменяются по гармоничческому закону, существует довольное простой и наглядный метод расчета цепей — метод векторных диаграмм. С ним мы и хотим познакомить читатель в этой статье.

Уравнение, описывающее вынужденные колебания в колебательном контуре

Промышленный переменный ток — это вынужденные электромагнитные колебания. Если направление $u = u(t)$ на концах цепи меняется по гармоничческому закону
$$u = U_0 \cos \omega t,$$
(1)
то сила тока $i$ также меняется гармоничски с той же частотой $\omega$, но в общем случае ток свинут по фазе относительно направления на постоянную величину $\varphi$:
$$i = I_0 \cos (\omega t + \varphi).$$
(2)

Впрочем, в первый момент после замыкания цепи колебания тока имеет гораздо более сложную форму. При замыкании электрическая цепь как бы получает «толчок», и если она обладает собственной частотой колебаний $\omega_0$, то в ней возникают свободные электромагнитные колебания. Эти колебания накладывают на вынужденные колебания частоты $\omega$, но постепенно затухают из-за наличия в цепи активного сопротивления $R$ (на котором проискudit выделение энергии в виде тепла). Лишь после того как свободные колебания затухут, вынужденные колебания можно считать установленными. Амплитуда сила тока $I_0$ в формуле (2) — это амплитуду установленных механических колебаний (более подробно об этом см., например, в статье Г. Я. Мякищева «Вынужденные механические колебания», «Квант», 1974, № 11).

Довольно простой, но очень важный частный случай представляют собой вынужденные колебания в цепи, состоящей из последовательно соединенных проводника с активным сопротивлением $R$, катушки индуктивности $L$ и конденсатора емкости $C$ (рис. 1). Такую цепь называют последовательным колебательным контуром. Пусть направление $u$ на концах цепи меняется по закону, описываемой уравнением (1); тогда сила тока $i$ в цепи меняется в соответствии с выражением (2). Чему равна амплитуда тока $I_0$ и сдвиг фаз $\varphi$?

Как известно, уравнение, описывающее вынужденные колебания тока в этом контуре, имеет следующий вид:
$$L \frac{\Delta i}{\Delta t} + Ri + \frac{q}{C} = U_0 \cos \omega t.$$ (3)
Здесь $q$ — заряд конденсатора. (Это

52

Уравнение аналогично уравнению, описывающего вынужденные механические колбания, например, колбания груза наружне.)

Уравнение (3) можно использовать следующим образом. В любой момент времени полное напряжение ($u = U_0 \cos \omega t$) на концах цепи равно сумме напряжений на активном сопротивлении ($u_R = Ri$), на катушке индуктивности ($u_L = L \frac{\Delta i}{\Delta t}$) и на конденсатор ($u_C = \frac{q}{C}$):

$$u_L + u_R + u_C = u.$$ (4)

Колебания всех трех напряжений происходит с одной и той же частотой, но имеют различные амплитуды и сdwнуты по фазе друг относительно друга.

Чтобы найти амплитуду колбаний силы тока и сdwиг фаз между током и напряжением, нужно уметь складывать гармоничские колбания, сdwинутые по фазе. Для этого надо знать амплитуды напряжения $u_R$, $u_L$ и $u_C$, а также сdwиг фаз этих напряжений относительно силы тока. Об этом и пойдет речь в следующих трех параграфах.

Напряжение на активном сопротивлении

Нибольшее простой случай электрической цепи — это, цепь, содержащая только активное сопротивление $R$. Для такой цепи основное уравнение (3) будет иметь следующий вид:

$$Ri = U_0 \cos \omega t.$$ (5)

Отсюда

$$i = \frac{U_0}{R} \cos \omega t = I_0 \cos \omega t.$$ (6)

Амплитуда напряжения связана с амплитудой силы тока соответствием

$$U_0 = I_0 R.$$ (7)

Колебания силы тока и напряжения на активном сопротивлении совпадают по фазе. Заметим, что равенство (7) ничего не отличается от закона Ома для постоянного тока.

Напряжение на индуктивном сопротивлении

Пусть цель состоит из катушки с индуктивностью $L$. Активным сопротивлением катушки пребрежем. Вместо уравнения (3) будем иметь в этом случае более простое уравнение

$$L \frac{\Delta i}{\Delta t} = U_0 \cos \omega t,$$

или

$$\frac{\Delta i}{\Delta t} = \frac{U_0}{L} \cos \omega t.$$ (8)

Тепер скорость изменения силы тока ($\frac{\Delta i}{\Delta t}$) совершает гармоничские колбания, совпадающие по фазе с колбаниями напряжения. Амплитуда этих колбаний равна $\frac{U_0}{L}$.

Для того чтобы выражение для силы тока, воспользоваться аналогичей между электромагнитными колбаниями в контуре и механическими колбаниями груза наружне. Как известно, сила тока $i$ соответствует скорости колбаний груза $v$, а скорость изменения силы тока $\frac{\Delta i}{\Delta t}$ соответствует ускорению груза $a$. Но колбания скорости отстают от колбаний ускорения на $\pi/2$, и амплитуда скорости $v_0$ связана с амплитудой ускорения $a_0$ соответствием $v_0 = a_0/\omega$. Это справедливо для гармоничских колбаний любой природы. Поэтому если скорость изменения силы тока удовлетворяет уравнению (8), то сила тока изменяется со временем по закону

$$i = \frac{U_0}{L \omega} \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right) = I_0 \cos \left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right).$$ (9)

Амплитуда напряжения связана с амплитудой силы тока соответствием

$$U_0 = I_0 L \omega = I_0 R_L.$$ (10)

Величину $R_L = L \omega$ называют индуктивным сопротивлением.

53

Итак, совласно выражением (1) и (9) сила мока на индуктивном сопротивлении отстаем по фазе от напряжения на π/2.

Напряжение на конденсаторе

Рассмотрим цепь, состоящую из конденсатора emкости C. Активным сопротивлением и индуктивностью цепи претензейем. Вынужденные колебания в этой цепи будут описывать уравнение

$$\frac{q}{C} = U_0 \cos \omega t. \tag{11}$$

Заряд конденсатора колебляется в фазе с напряжением, и амплитуда этих колебаний равна $U_0 C$:

$$q = U_0 C \cos \omega t. \tag{12}$$

В случае электромагнитных колебаний заряд соответствует координате тела, совершающего механическое колебания, а сила тока, представляющая собой скорость изменения заряда ($i = \frac{\Delta q}{\Delta t}$), аналогична скорости этого тела. Так как при любых гармоничских колебаниях амплитуда скорости величины в $\omega$ раз больше амплитуды самой величины и скорость операяет величины по фазе на π/2, то в нашем случае

$$i = \frac{\Delta q}{\Delta t} = U_0 C \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right) = I_0 \cos \left( \omega t + \frac{\pi}{2} \right). \tag{13}$$

Следовательно, сила мока определяем напряжение на конденсаторе на π/2, или, что же самое, напряжение от стыма мока на π/2.

Амплитуда напряжения равна

$$U_0 = \frac{I_0}{C \omega} = I_0 R_C, \tag{14}$$

где $R_C = \frac{1}{C \omega}$ — сопротивление конденсатора, называемое емкостьным сопротивлением.

Сложение гармоничских колебаний с помощью векторных диаграмм

Складывать гармоничские колебания можно по-разному (аналитических, графических и т. д.). Однако в частичке случае, когда частоты колебаний одинаковы, удобнее всего воспользоваться методом векторных диаграмм. В чем же состоит этот метод?

Из курса физики для 10-го класса известно, что проекция на любое направление вектора, врашающего с постоянной угловой скоростью $\omega$, совершает гармоничское колебание. Если модель вектора $x_0$ равен $x_0$, то его проекция на ось $OX$ равна $x = x_0 \cos \varphi$ (рис. 2). При равномерном врашении вектора $x_0$ угол $\varphi$ меняется со временем по закону

$$\varphi = \omega t + \varphi_0,$$

где $\varphi_0$ — значение угла $\varphi$ в начальной момент времени $t=0$. Следовательно, проекция врашающего вектора колебляется по закону

$$x = x_0 \cos \left( \omega t + \varphi_0 \right). \tag{15}$$

Рис. 2.

Рис. 3.

54

Рассмотрим теперь сложение двух гармоничческих колебаний, произходящих с одинаковыми частотами $\omega$, но с различными амплитудами $x_{0_1}$ и $x_{0_2}$ и различными начальные фазами $\varphi_{0_1}$ и $\varphi_{0_2}$:

$$x_1 = x_{0_1} \cos(\omega t + \varphi_{0_1}),$$
$$x_2 = x_{0_2} \cos(\omega t + \varphi_{0_2}).$$

Складываемые колебания в любой момент времени имеют разность фаз $\varphi = \varphi_{0_1} - \varphi_{0_2}$. Эти колебания можно представить как колебания проекций векторов $x_{0_1}$ и $x_{0_2}$, повернуть друг относительно друга на угол $\varphi$ и врашающся с угловой скоростью $\omega$ (рис. 3).

Сложив векторы $x_{0_1}$ и $x_{0_2}$, получим суммарный вектор $x_0 = x_{0_1} + x_{0_2}$. Проекция $x$ этого вектора на направление $OX$ тоже совершает гармоничное колебание. Но проекция суммарного вектора равна сумме проекций складываемых векторов. Следовательно,

$$x = x_1 + x_2 = x_0 \cos(\omega t + \varphi_0),$$

(16) где $x_0$ — амплитуда, а $\varphi_0$ — начальная фаза результатующего колебания. Величины $x_0$ и $\varphi_0$ можно найти, зная $x_{0_1}, x_{0_2}, \varphi_{0_1}$ и $\varphi_{0_2}$. Нетрудно показать (см. рис. 3), что

$$x_0^2 = x_{0_1}^2 + x_{0_2}^2 + 2x_{0_1}x_{0_2} \cos(\varphi_{0_1} - \varphi_{0_2}),$$
$$tg \varphi_0 = \frac{x_{0_1} \sin \varphi_{0_1} + x_{0_2} \sin \varphi_{0_2}}{x_{0_1} \cos \varphi_{0_1} + x_{0_2} \cos \varphi_{0_2}}.$$

Итак, каждое гармоничное колебание можно представить с помощью вектора, врашающегося с постоянной угловой скоростью, а сумму гармони-

Рис. 4.

ческих колебаний — с помощью результирующего (суммарного) вектора, врашающегося с той же скоростью. Графическое изображение с помощью значений гармоничческих изменяющих величины и соответствий между ними и называют векторной диаграмой.

Векторная диаграмма последовательного колебательного контура

Вернемся снова к цепи, изображенной на рисунке 1, и построим для нее векторную диаграмму токов и напряжений. Это позволяет нам определить амплитуду силы тока в цепи и сdwг фаз между силой тока и приложенным напряжением.

Сила тока в данной момент времени одинакова во всех участках цепи*). Поэтому удобно построение векторной диаграммы на basis с вектора $I_0$, соответствующего силе тока. Его можно орентировать произвольно. Для орентирования изобразим вектор $I_0$ вертикальной стрелкой (рис. 4).

Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с силой тока. Поэтому вектор $U_{0R}$, изображенной это напряжением, совпадает по направлению с вектором $I_0$. Его модуль $U_{0R} = I_0R$. Колебания напряжения на индуктивном сопротивлении определяют колебания силы тока на $\pi/2$, и соответствующей вектор $U_{0L}$ должен быть поверхности вектора $I_0$ на $\pi/2**$. Его модуль $U_{0L} = I_0L\omega$. И наконец, вектор $U_{0C}$, соответствующий напряжению на конденсаторе,

*) Ток, удовлетворяющий данному условияю, называют квазистационным. При частоте промышленного тока 50 $2\pi$ его практические всегда можно считать квазистационным.
**) Положительному сdwг фаз на рис. 4 соответствует поворот вектора против частей стрелки. Можно было, конечно, отсчитывать угол $\varphi$ в противоположном направлении.

55

отстает по фазе от вектора $I_0$ на $\pi/2$ (см. рис. 4). Его модуль $U_{0C} = I_0/C\omega$.

Для того чтобы найти суммарное напряжение (см. уравнение (4)), нужно сложить три вектора: $U_{0R}$, $U_{0L}$ и $U_{0C}$. Вначале удобно сложить векторы $U_{0L}$ и $U_{0C}$ (рис. 5). Модуль этой суммы $|U_{0L} + U_{0C}| = I_0\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)$,

если $L\omega > \frac{1}{C\omega}$. Именно такой случай изображен на рис. 5. После этого, сложив вектор $U_{0L} + U_{0C}$ с вектором $U_{0R}$, получим вектор $U_0$, изображющий колебания напряжения на концах цепи.

Треугольник ABD прямогольный. По теореме Пифагора

$$U_0^2 = U_{0R}^2 + \left(U_{0L} - U_{0C}\right)^2 = I_0^2 R^2 + I_0^2 \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2.$$

Отсюда амплитуда силы тока

$$I_0 = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}} = \frac{U_0}{Z},$$

где $Z = \sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}$ — полное сопротивление цепи. Сдвиг фаз между силой тока и напряжением равен углу $\varphi$ между векторами $U_0$ и $I_0$. Из треугольника ABD

$$tg\varphi = \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}.$$

На рисунке 5 изображен случай, когда сила тока отстает по фазе от напряжения (при $L\omega < \frac{1}{C\omega}$ сила тока операжала бы напряжение по фазе).

Формулы (17) и (18) полностью описывают вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре. Расмотрим для примера один частный случай.

Сила тока в колебательном контуре достигает максимального значения $I_0 = \frac{U_0}{R}$ при $L\omega = \frac{1}{C\omega}$, т. е. когда частота приложенного к контуру напряжения равна собственной частоте колебаний контура $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$. Наступает, как говоря, резонанс. При резонансе напряжения $u_L$ и $u_C$ одинаковы по амплитуде, но колеблются в противофазах, поэтому в любой момент времени они компенсируют друг друга. Векторная диаграмма для случая резонанса изображена на рисунке 6. Сдвиг фаз между током и приложенным напряжением становится нулю. Прижжение на активном сопротивлении оказывается равным напряжению на концах цепи: $u_R = iR = U_0\cos\omega t$. Resонанс в последовательном колебательном контуре называют обычно резонансом напряжения. Дело в том, что в реализном контуре индуктивное и емкостью сопротивления всегда городадо большие активного сопротивления, и при резонансе амплитуды напряжения $U_{0L}$ и $U_{0C}$ оказываются большие амплитуды приложенного напряжения $U_0$.

56

Энергия, потребляемая
колебательным контуром

С помощью векторной диаграммы можно легко показать, что потребляемая контурная энергия выделяется только на активном сопротивлении $R$.

Мощность в цепи переменного тока определяется формулой

$$P = \frac{I_0 U_0}{2} \cos \varphi.$$ (19)

Из треугольника $ABD$ на рис. 5

$$U_{0R} = I_0 R = U_0 \cos \varphi.$$ (20)

Подставляя в выражение (19) вместо $U_0 \cos \varphi$ его значение из равенства (20), получим

$$P = \frac{I_0^2 R}{2} = I^2 R,$$ (21)

где $I$ — действующее значение силы тока.

Заметим, что при резонансе, когда амплитуда силы тока достигает максимума, колебательный контур потребляет извне набольшее количество энергии. Создаются оптимальные условия для передачи энергии от источника к колебательной системе.

Примеры расчета
целей переменного тока
с помощью векторных диаграмms

Рассмотрим две конкретиные задачи.

Задача 1. К магистрали переменного тока с напряжением $U = 120$ в (U — действующее значение напряжения) через дроссель с индуктивностью $L = 0,05$ г и активным сопротивлением $R = 1$ от подключена осветимельная семь квартиры (рис. 7).

Каково напряжение $U_1$ на входе в квартиру, если потребляемый ток $I = 2a$? Напряжение меняется с частотой $v = 50$ гц. Индуктивность и емкость электрической цепи квартиры можно преберечь.

Дроссель и осветительная сеть квартиры подключены к магистрали последовательно, поэтому ток одинаков

57

на всех участках цепи. Напряжение $U_1$ и напряжение $U_R$ на активном сопротивлении дросселя совпадает по фазе с силой тока $I$. Напряжение $U_L$ на индуктивном сопротивлении дросселя определяет ток на $\pi/2$. Следовательно, векторная диаграмма цепи имеет вид, изображенный на рисунке 8. По теореме Пифогора
$$U^2 = U_L^2 + (U_R + U_1)^2 = I^2 \omega^2 L^2 + (IR + U_1)^2.$$
Отсюда
$$U_1 = -IR \pm \sqrt{U^2 - I^2 L^2 \omega^2},$$
где $\omega = 2\pi v$. Так как действующее значение напряжения всегда положительное, т. е. $U_1 > 0$, то
$$U_1 = -IR + \sqrt{U^2 - I^2 L^2 4\pi^2 v^2} \approx 114\theta.$$
Задание 2. При какой частоте $\omega$ отсутствует соль мока $i$ и напряжение $u$ цепи, изображенной на рисунке 9?
В этой задаче рассматривается электрическая цепь, состоящая из двух ветвей, соединенных параллельно. Одна ветвь содержит активное и индуктивное сопротивление, другая—емкость сопротивление. Данную цепь называют параллельным колебательным контуром.
Построение векторной диаграммы начинаем с вектора, соответствующего приложению напряжения, поскольку именно напряжение одинаково для обенных ветвей цепи. Направим вектор $U_0$ вертикально вверх (рис. 10). Ток $i$ является суммой токов $i_1$ и $i_2$ (см. рис. 9). Колебания тока $i_1$ отстают по фазе от колебаний напряжения, так как верхий участок цепи содержит индуктивное сопротивление. Вектор $I_{01}$ повернуть относительно вектора $U_0$ на угол $\varphi$ в отрицательную сторону. Согласно формулам (17) и (18)
$$I_{01} = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}}$$ и $tg\varphi = \frac{L\omega}{R}$.
Так $i_2$, текущий через конденсатор, определяет по фазе напряжение на $\pi/2$. Соответствующий вектор $I_{02}$ повернуть на угол $\pi/2$ в положительной стороне. Его модель $I_{02} = U_0 C\omega$. По условию задачи ток $i$ совпадает по фазе с приложенным напряжением, следовательно, вектор $I_0$ направлен так же, как вектор $U_0$. Окончательная векторная диаграмма представляет на рисунке 10. Из этой диаграммы следует, что амплитуды токов в ветях связи соответствуют.
$$I_{02} = I_{01} \sin \varphi.$$ (22)
Подставляя значения $I_{01}$, $I_{02}$ и $\sin\varphi = \frac{tg\varphi}{\sqrt{1 + tg^2\varphi}} = \frac{L\omega}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}}$ в равенство (22), получим
$$U_0 C\omega = \frac{U_0}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}} \frac{L\omega}{\sqrt{R^2 + L^2 \omega^2}}.$$
Отсюда
$$\omega = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{L^2}}.$$
При такой частоте ток $i$ и напряжение $u$ колебатятся в фазе.
Если активное сопротивление $R$ мало, так что
$$\frac{R^2}{L^2} \ll \frac{1}{LC}$$
(в реализном колебатальном контреле это практический так), то
$$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
— это часть переменного напряжения совпадает с частотой собственных колебаней контура.