Bài toán độc giả của chúng tôi

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Ở đáy của hình bình hành bên phải $ABCDA_1B_1C_1D_1$ nằm
   hình bình hành $ABCD$ có góc nhọn $\widehat{DAB}=\gamma$. Đường chéo
   $AB_1$ và $BC_1$ của các mặt bên tạo thành các góc $\alpha$ với mặt phẳng đáy
   và $\beta$. Xác định góc giữa các đường chéo này.
2. Cho trước tọa độ địa lý của hai điểm trên một mặt cầu có bán kính $R$:
   $\phi_1$, $\theta_1$ và $\phi_2$, $\theta_2$ ($\phi$ là vĩ độ, $\theta$ là
   kinh độ). Xác định khoảng cách trên quả cầu giữa các điểm này.
   V. Khrenov
   (Voronezh)
3. Để các đường cao của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$. Chứng minh rằng
   $|AH|=2R|{\cos\widehat A}|$, trong đó $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp
   hình tam giác;
   $|AH|=|BC|\cdot|{\ctg\widehat A}|$.
   Đặc biệt,
   nếu $|AH|=R$ thì $\widehat A=60^\circ$ hoặc $\widehat A=120^\circ$;
   nếu $|AH|=|BC|$ thì $\widehat A=45^\circ$ hoặc $\widehat A=135^\circ$.
   Lưu ý rằng hai ví dụ này được đưa ra là bài toán 5.1 và 5.3 trong tập tài liệu “Các cuộc thi toán học. Hình học” (“Khoa học”, 1974), trong đó đáp số không chính xác được chỉ ra (các góc tù bị quên). Xem thêm tạp chí
   “Toán học ở trường”, 1970, số 4, tr. 44; 1974, số 5, tr. 73.
   E. Gotman
   (Arzamas)
4. Cho một hình tam giác $ABC$ có các cạnh $a$, $b$, $c$; $r$ — bán kính
   vòng tròn ghi trong đó, $R$ - đường tròn ngoại tiếp, $S$ - diện tích của nó. Chứng minh,
   Cái gì
   $$\tg\dfrac{\widehat A}2+\tg\dfrac{\widehat B}2+\tg\dfrac{\widehat C}2 \le\dfrac{9R^2}{4S};$$
   $$\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat A}2}a+\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat B}2}b +\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat C}2}c\ge\dfrac{27r}{8S}.$$
   Tam giác nào đạt được đẳng thức?
   T. Raikov
   (Bulgaria)