Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova

57

Tùy chọn
giới thiệu
kỳ thi đại học

Mátxcơva
tình trạng
trường đại học
họ. M. V. Lomonosova

Ngày nay, các phương pháp nghiên cứu toán học ngày càng trở nên phổ biến không chỉ trong khoa học tự nhiên và công nghệ mà còn trong lĩnh vực nhân văn. Đó là lý do tại sao tại một số khoa nhân văn của trường đại học, ứng viên phải làm bài kiểm tra viết về toán. Trong số này, chúng tôi giới thiệu với độc giả những lựa chọn dành cho những sinh viên vào khoa nhân văn của Đại học quốc gia Moscow năm 1975.

Khoa Kinh tế Chính trị
Khoa Kinh tế

1. Máy quay thuộc loại 1, 2 và 3 làm việc tại nhà máy. Một số công việc có thể được hoàn thành bởi hai thợ tiện loại 3 và một thợ tiện loại 1, làm việc cùng nhau, nhanh hơn 15 phút so với ba thợ tiện loại 2. Trong thời gian một thợ tiện loại 1 và một thợ tiện loại 2 có thể làm cùng một công việc thì một thợ tiện hạng 3 chỉ làm được 5/7 công việc đó. Một thợ tiện loại 2 và một thợ tiện loại 3 cùng nhau có thể hoàn thành công việc này cùng lúc với ba thợ tiện loại 1. Hỏi một đội gồm một người quay của mỗi hạng mục sẽ hoàn thành công việc trong bao lâu?

2. Giải phương trình
   $(\sin x + 2\cos x + 2)(1 - 2\cos x) = 4\sin^2 x - 3$.

3. Giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} \sqrt{3 + \log_{2x} y^2} = -\log_{2x} y, \\ x + y = \frac{3}{2}. \end{cases}$$

4. Một tam giác có góc nhọn α nằm bên trong đường tròn bán kính r sao cho cạnh huyền là dây cung của đường tròn và đỉnh của góc vuông nằm trên đường kính song song với cạnh huyền. Tìm diện tích của hình tam giác.

5. Tại giá trị nào của x biểu thức
   $$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$$

nhận giá trị nhỏ nhất?

Khoa Kế hoạch và Điều khiển kinh tế, Khoa Kinh tế

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^{\cos x} + (\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^{\cos x} = \frac{5}{2}$.

2. Cho tam giác ABC có AB = AC và A = 110°. Trong tam giác ABC lấy điểm M sao cho MBC = 30° và MCB = 25°. Tìm AMC.

3. Giải bất đẳng thức
   $$\sqrt{x - 1} + x - 3 \geq \sqrt{2(x - 3)^2 + 2x - 2}$$.

4. Ba loại phiếu du lịch hiện đang được bán. Một phiếu loại 1 có giá 4 rúp, một phiếu loại 2 có giá 6 rúp, một phiếu loại 3 có giá 9 rúp. Với voucher loại 1 bạn có thể nghỉ trong 8 ngày, với voucher loại 2 trong 14 ngày, với voucher loại 3 trong 20 ngày. Phải mua bao nhiêu phiếu mỗi loại để tổng số ngày nghỉ ồn ào nhất và số tiền chi cho việc mua tất cả các phiếu là 100 rúp?

Khoa Ngôn ngữ học kết cấu và ứng dụng, Khoa Ngữ văn

1. Một người vận chuyển ô tô đi từ điểm A đến điểm B, đồng thời một xe tải và một người đi xe đạp rời điểm B để gặp người vận chuyển ô tô này. Sau khi gặp xe tải tại điểm C, người lái xe đi được một đoạn đường bằng quãng đường AC thì gặp người đi xe đạp. Nếu xe tải sau khi gặp người vận chuyển ô tô đi từ điểm C theo hướng ngược lại thì gặp người đi xe đạp ở giữa điểm B và C. Vận tốc của người vận chuyển ô tô lớn hơn vận tốc của người đi xe đạp bao nhiêu lần?

2. Tìm tất cả các giá trị của x thỏa mãn phương trình
   $$\log_2 (a^2x^3 - 5a^2x^2 + \sqrt{6 - x}) = \log_2 + a^2(3 - \sqrt{x - 1})$$
   với mọi giá trị của a.

3. Giải phương trình
   $$\text{tg} \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg} \frac{4\pi}{3} + 3 \text{ctg} 2x.$$