Lời giải bài toán VZMSH

24

A. Tom

Lời giải bài toán H 3 MW

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải một số bài toán từ tác phẩm giới thiệu về VZMSH năm 1976 (xem «Kvant» Số 1, trang 68).

Bài tập 2. Ba đường thẳng cắt nhau tại một điểm sao cho mỗi đường thẳng tạo thành một góc 60°. Điểm M nằm cách một đường thẳng 3 cm và cách đường kia 5 cm. Điểm M có thể nằm cách một đường thẳng bao nhiêu?

Lời giải bài toán dựa trên thực tế sau, chúng tôi hứa cho tất cả các điểm của mặt phẳng. Đối với bất kỳ điểm nào, khoảng cách đến một trong các đường được chỉ định trong điều kiện bằng tổng khoảng cách đến hai đường còn lại. Do đó, khoảng cách cần thiết có thể bằng 5 + 3 = 8 cm hoặc 5-3 = 2 cm. Thật dễ dàng để kiểm tra xem những giá trị này có thực sự khả thi hay không.

Bài tập 3. Chúng ta sẽ giới thiệu số nào trong các chữ cái M, I, L, A, N trong đẳng thức BALMAN × 4 = LIMAN?

Rõ ràng là H<2, vì nếu không thì số NALM × 4 sẽ là số có sáu chữ số. Mặt khác, H là số chẵn vì chữ số cuối cùng của số LIMAN được tạo thành 4. Do đó, H = 2. Từ đó suy ra A<5, nếu không chúng ta sẽ có tích có sáu chữ số. Ngoài ra, A=1 hoặc 3 vì A2 là hai chữ số cuối của số, làm cho

25

Hình 2.

kov hoặc trỗi dậy trên đường đi - nếu người đầu tiên quay trở lại
a) cháu trai,
b) ông nội?
Chúng ta hãy biểu thị đường đi lên kéo dài bằng x và đường đi xuống kéo dài bằng y. (Bạn có thể sử dụng một nơi bằng phẳng mà không cần tính đến, vì ở đó tốc độ của ông nội và cháu trai là như nhau.)
Khi đó thời gian đi lên và đi xuống của ông nội là $\frac{x}{6} + \frac{y}{8}$, và của cháu trai là $\frac{x}{4} + \frac{y}{20}$. Cho biết số nào trong số này là số kia, chúng ta sẽ viết như sau: $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{y}{20}}$.
Biến đổi, chúng ta nhận được: $9y \sqrt{10} x$. Nếu cháu trai về sớm hơn thì $9y > 10x$, từ đâu $y > x$. Nếu ông nội quay lại sớm hơn thì $9y < 10x$, điều này có thể xảy ra với cả $y < x$ và $y > x$.
Bài toán 6. Một đa giác có thể có bao nhiêu cạnh là:
a) giao lộ;
b) Sự kết hợp của một tam giác và một tứ giác lồi? (Chỉ ra tất cả các ý nghĩa có thể và cho ví dụ.)
a) Hình 2 cho thấy khi cắt nhau ta có thể thu được các đa giác có 3, 4, 5, 6, 7 cạnh. Nó không thể là một cạnh lớn, vì tất cả các cạnh của giao điểm đều nằm trên các cạnh của các hình giao nhau và trên các hình khác nhau, và chỉ có bảy trong số chúng.
b) Hình 3 cho thấy cách, khi kết hợp lại, có thể thu được đa giác có số cạnh bằng 3

Hình 3.

26

Hình 4.

lên đến mười ba. Hợp không thể có nhiều hơn 13 đỉnh, bởi vì mỗi đỉnh của hợp đó là

1. hoặc phần trên cùng của một trong các đoàn thể là một hình, và chỉ có bảy trong số đó;
2. hoặc giao điểm của các cạnh của chúng và không có nhiều hơn hai cạnh của chúng ở mỗi cạnh của tam giác.

Bài toán 7. Vẽ ba đoạn thẳng phù hợp trên mặt phẳng. Tập hợp này có thể có bao nhiêu trục đối xứng (sự kết hợp của ba đoạn thẳng này)?

Hình 4 thể hiện các tập hợp có 0,1, 2, 3, 4, 6 trục đối xứng tương ứng. Hãy chứng minh rằng một hình không thể có số trục đối xứng khác.

Hãy tự đảm bảo rằng nếu có ít hơn ba đoạn không trùng nhau thì không có nhiều hơn bốn trục đối xứng.

Hãy để tập hợp của chúng tôi bao gồm ba phân đoạn không trùng nhau. Dễ hiểu là tính đối xứng của hình sẽ chuyển một trong các đoạn đó thành chính nó.

Đối với mỗi đoạn chỉ có hai đối xứng biến nó thành chính nó (trục của chúng là đường thẳng mà đoạn đó nằm và là đường trung trực của nó). Điều này có nghĩa là tổng cộng không có quá sáu trục đối xứng.

Vẫn còn phải chứng minh rằng không thể có gót của các trục đối xứng. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng thực tế sau đây. Nếu đường thẳng I và II là trục đối xứng của hình Ф thì đường thẳng III đối xứng với đường thẳng II so với đường thẳng I cũng là trục đối xứng của hình Ф. (Xem Hình 5, minh họa cách lấy điểm $A_4$, đối xứng $A_1$ so với III.) Đặt các trục đối xứng là gót chân. Khi đó, tập hợp các trục bao gồm đường thẳng I chứa một đoạn nhất định và đường phân giác vuông góc với nó - nếu không sẽ có ít hơn bốn trục. Nhưng các trục là số chẵn; có thể kết hợp thành các cặp trục đối xứng với I, nhưng không có trục nào vuông góc với I, ngoại trừ trục II - nếu không thì sẽ có vô số trục (xem Hình 6).

Hình 5. Hình 6.