Решения задач ВЗМШ

Квант 1976, №6 с. 24-26 Тег 2ACM

А. Тоом

Решения задач В 3 М Ш

В этом номере мы публикуем решения некоторых задач из вступительного работы в ВЗМШ 1976 года (см. «Квант» № 1, с. 68).

Задание 2. Три прямые пересекаются в одной точке马克, что каждые две из них образуют угол 60°. Точка М находится на расстоянии 3 см от одной прямой и на расстоянии 5 см — от другой. На каком расстоянии от прямой прямой может находиться точка М?

Решение задачи основано на следующем факте, обещем для всех точок плоскости. Для любой точки расстояние до одной из прямых, указанных в условиям, равно сумме расстояний до двух других. Поэтому искомое расстояние может быть равно либо 5+3=8 см, либо 5-3=2 см. Легко проверить, что она эти значения действительно возможны.

Задание 3. Какую цифру ознакомим какдая из букв М, И, Л, А, Н в равенстве НАЛИМ × 4 = ЛИМАН?

Ясно, что Н≤2, так как иначе число НАЛИМ × 4 было бы шестиначным. С другой стороны Н четно, как последняя цифра числа ЛИМАН, делается на 4. Поэтому Н=2. Отсюда следует, что А<5, иначе получим шестиначное произведение. Кроме того, А=1 или 3, поскольку A2—последние две цифры числа, делая

Рис. 2.

ков или подъем на их пути, — если первым вернулся
a) внук,
b) дедушка?
Обозначим протяженное подъем через x, а протяженное спуск через y. (Ровное место можно воспользоваться не учитьвать, так как на нем скорости деда и внука одинаковы.)
Тогда время деда на подъемах и спусках равно $\frac{x}{6} + \frac{y}{8}$ , а внука равно $\frac{x}{4} + \frac{y}{20}$ . Пусть известно, какое из этих чисел другого, что мы запишем так: $\frac{x}{6} + \frac{y}{8} \sqrt{\frac{x}{4} + \frac{y}{20}}$ .
Преобразуя, получаем: $9y \sqrt{10} x$ . Если внук вернулся равше, то $9y > 10x$ , откуда $y > x$ . Если же дед вернулся равше, то $9y < 10x$ , что возможно как при $y < x$ , так и при $y > x$ .
Задача 6. Сколько сторон может иметь многоугольник, являющийся:
a) пересечением;
b) объединением треугольника и выпуклого четырехугольника? (Указите все возможные значения и парисуйте примеры.)
a) На рисунке 2 показано, как при пересечении могут получиться многоугольники с 3, 4, 5, 6, 7 сторонами. Большое сторон получится не может, так как все стороны пересечения лежат на сторонах пересекающих фигур, причем на разных, а их всего семь.
b) На рисунке 3 показано, как при объединении могут получиться многоугольники с числом сторона от трех

Рис. 3.

Рис. 4.

до тринадцати. Большие тринадцати вершин объединение имеет не может, потому что каждая вершина объединения — это

либо вершина одной из объединениях фигура, а их всего семь;
либо точка пересечения их стороны, а их не более чем по две на каждой стороне треугольника.

Задача 7. На плоскости нарисованы три конгерзимных отрезка. Сколько осей симметрины может иметь это множество (объедение данных трех отрезков)?

На рисунке 4 показаны множества, имеющие 0,1, 2, 3, 4, 6 осей симметрики соответственно. Доказем, что инного числа осей симметрики фигура имеет не может.

Убедитесь самостояльно, что если несовпадающих отрезков меньше трех, то осей симметрины не больше четырех.

Пусть наше множество состоит из трех несовпадающих отрезков. Легко понять, что симметрия фигуры переводит один из отрезков в себя.

Для каждого отрезка есть лишь две симметрики, переводящие его в себя (их осями служат прямая, на которой лежит отрезок, и его серединный перпендикуляр). Значит, всего осей симметрини не более шести.

Остается доказать, что не может быть пяты осей симметрини. Для этого мы воспользуемся следующим фактом. Если прямые I и II являются осями симметрики фигуры Ф, то прямая III, симметричная прямой II относительно прямой I, тоже является осью симметрики для Ф. (См. рис. 5, на котором показано, как получить точку $A_4$ , симметрично $A_1$ относительно III.) Пусть осей симметрины пяты. Тогда множество осей включает прямую I, содержащую неокоторый отрезок, и серединный перпендикуляр к нему — иначе осей было бы меньше четырех. Но тогда осей — четное число; можно объединить в пары оси, симметричные относительно I, а осей, перпендикулярных I, кроме оси II, нет — иначе их было бы бесконечное число (см. рис. 6).

Рис. 5. Рис. 6.