Удивительные числа

12

§ 6. Эпиклог

В отличие от романа и пьесы преждевременное раскрытие замысла не является недостатком научного исследования.

Дж. Гэлбрейт

Итак, вопрос о существовании конечных аффинных плоскостей данного порядка несколько проясняется: есть запрещенные значения (красные числа на рис. 6), есть неисследованные значения (черные числа там же) и есть разрешенные значения — простые числа и их степени (синные числа), для которых существует способ построения плоскости.

Но вот единственный ли этот способ?! Нет ли каких-либо других плоскостей для данного порядка $q=p^m$?

В самом деле, Теорема о конечных полях (§ 5) запрещает существование полей, отличных от неокоторых стандартных полей $F_q$ (их называют в честь Эвариста Галуа полями Галуа); с простейшим из этих полей—полями $F_p$ — вы на самом деле уже встречались на страницах «Кванта»—в стате А. Бельского и Л. Садовского «Кольца» («Квант», 1974, № 2—см. задачи 2 и 3 на с. 7. этого номера), но не превращает существование плоскостей того же порядка $q=p^m$, отличных от стандартных. Удалось показать, что все плоскости, чей порядок не превосходят числа 8, могут быть лишь стандартными, и построить нестандартную плоскость порядка 9.

Прощаясь с читателем, автор трактата горячего рекомендает ему прочесть две замечательные книги Э. Артина и М. Холла*), где предмет трактата освещен одинаково интересно, хотя и с разных сторон.

Удивительные числа

Напишите четыре трехначных числа:

360, 351, 362, 402.

Возьмите теперь любое число января, например, 15/1, прибавьте к числу 15 первого цифру из написанных — 3, и сумму 15+3 разделите на 7 (число дней недели): $(15+3):7$. В остатке вы получите 4 — 15/1 — 76 приходимся на 4-й день недели, т. е. на четверг.

Если взять какое-нибудь число февраля, например 15, и прибавить вторую цифру из ряда трехначных чисел, разделить на 7, то в остатке получится 0, что указывает, что 15 февраля приходимся на воскресевне.

Если взять 7/1V, то по этому правилу к 7 придется прибавить 3, тогда получим $(7+3):7$ — в остатке 3, значит, 7/1V будет третьим днем недели, т. е. средой.

Словом, записанный ряд трехначных чисел — это 12 постоянных слагаемых (записанных поквартально) для всех двенадцатей месяцев 1976 года, с помощью которых можно быстро определить день недели любой даты года по очень простому правилу:

Интересующое вас число + постоянное слагаемое данного месяца: 7 = частное и остаток — ответ.

Попробуйте по календарю на 1976 года определить, откуда взялись эти 12 цифр, и составить такие 12 цифр для 1977 года.

П. Сорокин (Астрахань)