Решения задач М343—М350; Ф353—Ф357

29

горели. Нарисуйте возможность схему выполненного монтажа, объясните наблюдаемые эффекты. (8 класс)

Ф399. Три небольших одинаковых металлических шарика, находящихся в вакууме, помещены в вершинах равностороннего треугольника. Шарики поочередно по одному разу соединяют с удаленным проводником, потенциального поддерживается постоянным. В результате на первом шарике оказывается заряд $Q_1$, а на втором — $Q_2$. Определить заряд третього шарика. (9 класс)

Ф400. Две заряженные частицы имели первоначально одинаковые по величины и направлениях. После того как на некоторое время было включено однородное электростатическое поле, вектор скорсти одной из частиц повернулся на $60^\circ$, а численное значение скорсти уменьшилось вдвое. вектор скорсти другой частицы повернулся на $90^\circ$. Во сколько раз изменилось численное значение скорсти второй частицы? Определите отношение заряда к массе для второй частицы, если для первой частицы оно равно $k_1$. (9 класс)

Ф401. Схему, изобразенную на рисунке 1 (мостик Уитстона), применяют обычно для измерения неизвестного сопротивления $x$. Как, используя подобную схему, измерить сопротивление $R_G$ самого галванаметра $G$, если второго галванаметра нет? (10 класс)

Ф402. Рассенвающая линза с фокусным расстоянием $F = -0,6$ м расположена так, что один из ее фокусов совпадает с полюсом вогнутого зеркала. Каково фокусное расстояние $F_1$ зеркала, если известно, что система дает действительное изображение предмета, помещенного на любом расстоянии перед линзой? Изображение создается лучами, вторично прошедшим через линзу после отражения от зеркала. (10 класс)

Решения задач

M343—M350; Ф353—Ф357

М343. В некоторых государстве города соединены дороги. Для любой дороги меньше 500 км и из любой города в любой можно по дорогам

Будем обозначать города буквами $A, B, C, D, \dots$. Прежде всего заметим, что: 1) если какой-то путь $A$ — … — $B$ — … — $C$ — … — кратчайший между городами $A$ и $C$, то часть его, например, от $A$ до $B$ — кратчайший путь между соответствующими городами; 2) кратчайший путь не проходит по одной дороге дважды.

30

менее 500 км. Коеда одну дорогу закрыли на ремонт, выяснили, что из любого города можно проехать в любой другой по оставшимся дорогам. Доказим, что это можно сделать, проехав не более 1500 км.

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

M344. На шахматной доске отмещены цепи всех 64 полей. Можно ли проверить на доске 13 прямых так, чтобы в каждой из частей, на коморье эти прямы делят доску, оказалось не более одной отмещенной точки? (Прямы не должны проехать через цепи полей.)

M345. В последовательности 1 9 7 5 2 3 … каждый цифра, начиная с пямы, равна последней цифре суммы предыдущего цепи. Встречается ли в этой последовательности подряд

Допустим теперь, что закрыли дорогу, соединяшую города A и B; обозначим ее через AB. Поделим все города на две группы: к первой группе отнесем город A и те города, кратчайший путь из которых в город A не проходил по дороге AB, а ко второй — все остальные. Нужно считать, что город B оказывается во второй группе — иначе во второй группе не будет вообще ни одного города; ведь если AB — не кратчайший путь из A и B, то ни один из кратчайших путь не может проехать по дороге AB, то есть дорога AB тогда — бесполезная.

Пусть M и N — города, кратчайший путь между которыми составляет теперь больше 500 км. Значит, равные кратчайший путь между M и N проходил по дороге AB. Но тогда кратчайший путь в город A из одного из этих городов проходил по дороге AB, а из другого — нет (см. замечание в начале решения); следовательно, города M и N принадлежат разным группам. Рассуждая от противного, получаем, что любые два города, принадлежащие одной и той же группе, могут быть соединены путем длины меньше 500 км.

Поскольку из города A по-прежнему можно проехать в город B, то найдется два города C и D такие, что C принадлежит первой группы, а D — второй, и город C соединен дорогой с D. Тепер понятно, как из любого города M первый группы попасть в любой город N второй группы, проехав меньше 1500 км: нужно из M поехать вначала в город C (это путь меньше 500 км, так как M и C принадлежат одной и той же группе), затем — из C в D (длина дороги CD меньше 500 км по условию), и, наконец, из города D — в город N (города D и N — из одной группы, поэтому путь из D в N снова меньше 500 км) — см. рисунок 1.

Оценку 1500 км нельзя улушить. Действительно, если четыре города A, B, C и D расположены так, как показано на рисунке 2 (ABCD — трапецная такая, что при проджении ее боковых сторон получается равносторонний треугольник), то, закрыв дорогу AB, получим, чтолина кратчайшего пути между A и B равна (500+2a) км, где a можно сделать скольгу уголно близким к 500.

С. Елисеев

На рисунке 3 показано, как проверсти 14 прямы (на рисунке эти прямы — красные), разделяющих все центры полей шахматной доски.

Однако 13 прямы для этого недостаточно.

Действительно, рассмотрим квадрат, проходящий через цепи всех 28 граничных клеток (на рисунке 4 это квадрат из черных точек). Ясно, что 13 прямы пересекают его не более чем в 26 точках, и поэтому разрезают не более чем на 26 частей, то есть два «граничных» центра окажутся в одной части. Значит, для разделения 28 граничных, а следовательно, и всех центров попадения не менее 14 прямы.

Ю. Лысов

Для решения задачи пункта a) достаточно заметить, что в последовательности 1975… после каждой четверной цифры идут подряд четыре цифры. Поэтому четверка 1 2 3 4 в этой последовательности встретиется не может.

Пункты 6) и в) разберем более подробно.

В условиях данной правли, как по четырем рядом стоящим цифрам определять следующую цифру. Попробуем

31

а) цетыре цифры 1 2 3 4?
б) вторичное цифры 1 9
7 5?
e) цифры 8 1 9 7?

сделать «наоборот»: по четырем рядом стоящим цифрам $a b c d$ определять предшествующее им цифру $x$. Поскольку цифра $d$ следует за четверкой цифра $x a b c$, то цифра $d$ равна последней цифре суммы $x + a + b + c$, значит, $x + a + b + c = 10k + d$ при некотором целом $k$. Отсюда, $x = 10k + (d - a - b - c)$. Поскольку $x$ — цифра, то из последнего выражения следует, что $x$ равно остатку от деления на 10 числа $(d - a - b - c)$. Разделить число $p$ на число $q$ с остатком, — значит, найти числа $s$ и $r$ также, что $p = sq + r$ и $0 \leqslant r < q$. (Обратите внимание, что остаток от деления числа — 13 на 10 равен 7, а не — 3!) Остаток от деления одного числа на другое определяется однозначно; значит, цифра $x$ также определяется однозначно.

Например, чтобы определить цифру, предшествующее четверке 1 9 7 5, надо от 5 отнять 1, 9, 7 и разделить полученное число (-12) с остатком на 10. В остатке получим 8; значит цифра 8 предшествует четверке 1 9 7 5.

Рис. 4.

1 9 7 5 2 3 … x a b c d … y a b c d … (*)

Рис. 5.

Поскольку под последовательностью (*) эту же последовательность еще раз, но «сдвинутую», так, чтобы под первой четверкой $a b c d$ оказалась вторяя (см. рис. 5). Согласно доказанному выше утверждению, цифры в первом столбце, расположенном левее красной линии, совпадают, т. е. $x = y$. Аналогично, совпадают цифры и в предшествующем $x$ и $y$ столбце, и так далее. Таким образом, в каждом из столбцов, расположенных левее красной линии, цифры совпадают. Поэтому под четверкой 1 9 7 5 в «верхней» последовательности стоит четверка 1 9 7 5 в «низней» последовательности. А это и означает, что четверка 1 9 7 5 встречает в последовательности 1 9 7 5 2 3… вторичное.

Как было показано выше, перед четверкой цифра 1 9 7 5 встречает в последовательности 1 9 7 5 2 3… во второй раз, будет стоять цифра 8. Значит, в рассматриваемой последовательности встреется и четверка 8 1 9 7.

Г. Гуревич

♦

Положим квадрат на клетчатую бумагу со стороны клетки, равной $1/4$ стороны квадрата, так, как показано на рисунке 6 (точки $K$ и $L$ при этом попадут в узлы решетки!). Очевидно, что треугольники $KNL$ и $MLD$ конгруэнтны, $\Rightarrow LDM \cong KLN$, и значит, $DLM + KLN = 90^\circ$. Поэтому $DLK = 180^\circ - (DLM + KLN) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Л. Лиманов

32

М347. Двое церам в макую церру. Первый заадываем два числа от 1 до 25, а второй должен их уедать. Он может назвать любые два числа от 1 до 25 и узнать у первого, сколько из названных им чисел — 0,1 или 2 — совпадает с зааданными. За какое минимальное число вопросов он-smожет наерняка определить зааданные числа?

| Ответ | Зааданные числа |
| :— | :— |
| 1,1 | 2i,25 |
| 1,0 | 2i-1,23 |
| 0,1 | 2i-1,24 |
| 0,0 | 2i-1,25 |

Рис. 7.

М348. В таблицу 10×10 записаны числа от 1 до 100 по порядку. Затем в каждой строке и в каждом столбцеровно уполовины чисел поставлен знак минус. Доказите, что в получившейся таблице сумма всех чисел равна нулю.

М349. Какому условию должны удовлетворять длины строки треугольника, чтобы треугольник, сосо-

Многие читатели успешно справились с определением зааданных чисел за 14 вопросов. Покажем, что всегда можно определить зааданные числа не более чем за 13 вопросов.

Называя пары (1,2), (3,4),…,(21,22), мы используем 11 вопросов; при этом возможны следующие 4 случая:

a) после какого-то вопроса получен ответ «2»;
b) на все вопросы получены ответы «0»;
b) на какое-то два вопроса — i-й и j-й — получены ответы «1»;
г) только на один i-й вопрос получен ответ «1», на остальные вопросы—«0» (невнимательное рассмотрение этого случая многохаставило считать, что нельзя гарантировать определение зааданных чисел за 13 вопросов).

Укажем дальнейшие действия отгадавающего в каждом из этих случаев.

a) После ответа «2» зааданные числа определены.
b) Загаданы два числа из чисел 23,24,25. Задаем вопрос (23,24). Если ответ «2», то эти числа и зааданы, если ответ «1», то вопросом (23,22) определим, какое из чисел — 23 или 24 — заадано наряду с числом 25.

b) Числа в i-й паре (2i-1) и 2i, в j-й паре —(2j-1) и 2j. Задаем вопросы (25,2i), (25,2j). Ответ «1» на первый (двенадцатый) вопрос означает, что в i-й паре заадано число 2i; ответ «0» указывает на число (2i-1). Аналогично со вторым (тринадцатым) вопросом.

г) Вопросы (2i,23), (2i,24) при всех возможных ответах определяют зааданные числа. В самом деле, ответ «2» на первый или второй вопрос не требует посящения. Для других комбинаций ответов на эти два вопроса мы сообщаем зааданные числа (легко проверяется, что другого мнения о том, какие числа зааданы, не может быть)—см. таблицу на рисунке 7.

Итак, мы показали, что за 13 вопросов всегда можно определить зааданные числа; естественно, как следует из решения, иногда хватает и меньше количество вопросов.

Для завершения решения доказем, что нельзя гарантировать определение зааданных чисел за 12 вопросов. После 11 вопросов все ответы могут быть «0»; при этом всегда существует три числа, не включенные в вопросы. Если двенадцатый вопрос не содержит ни одного из этих трех чисел, то ответ «0» позволяет любым двум из них быть зааданнымми. Если же в двенадцатый вопрос входит одно или два из этих трех чисел, то после ответа «1» также нельзя однозначно указыть зааданные числа.

Ю. Лисов

◆ Представим данную таблицу A в виде суммы двух таблиц B и C (рис. 8). Расставим знаки в каждой из таблиц A, B и C одинаковым образом — так, что в каждой строке и в каждом столбцеровно уполовины чисел будет минут минус. Тогда в полученной таблице B сумма чисел будет равна нулю в каждом столбце, а в полученной таблице C сумма чисел будет равна нулю в каждом столбце. Следовательно, сумма чисел в таблицах B, C, а значит, и в A=B+C будет равна нулю.

Н. Васильев

◆ Обозначим данный треугольник через ABC, длины его стороны BC, AC и AB — через a, b и c, величины противления этих сторон углов — через A, B и C соответствующего. Предположим, что a≤b≤c (тогда и A≤B≤C). Пусть h_a, h_b, h_c—

34

Если $a=c$, то треугольник $ABC$ — равносторонний: $a=b=c$ (так как $a \leq b \leq c$), и мы получаем это условие как частный случай условия $2b^2=a^2+c^2$.

Легко видеть, что если $2b^2=a^2+c^2$, то справедливо и условие (2). Поэтому если длины $a, b$ и $c$ ($a \leq b \leq c$) сторона треугольника $ABC$ связаны соотношениям $2b^2=a^2+c^2$, то этот треугольник подобен треугольнику, составленному из его медиан.

в) Снова нужно выяснить, какие стороны у треугольника $ABC$ и у треугольника из его биссертрис могут быть сходственными (в предположении, что эти треугольники подобны). Например, что у нас $a \leq b \leq c$. Докажем, что тогда $l_a \geq l_b \geq l_c$.

Выразим $l_a, l_b$ и $l_c$ через $a, b$ и $c$. По теореме косинусов и теореме о биссертриссе внутри него угла треугольника имеем (рис. 10):

$$l_a^2 = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - 2c \frac{ac}{b+c} \cos B = c^2 + \left( \frac{ac}{b+c} \right)^2 - \frac{2ac^2}{b+c} \cdot \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = bc \left[ 1 - \frac{a^2}{(b+c)^2} \right].$$

Аналогично

$$l_b^2 = ac \left[ 1 - \frac{b^2}{(a+c)^2} \right] и l_c^2 = ab \left[ 1 - \frac{c^2}{(a+b)^2} \right].$$

Поскольку $a \leq b$, получаем $b+c \geq a+c$, то есть $\frac{a}{(b+c)^2} \leq \frac{b}{(a+c)^2}$, и $\frac{a^2b}{(b+c)^2} \leq \frac{ab^2}{(a+c)^2}$; следовательно, $c \left[ b - \frac{a^2b}{(b+c)^2} \right] \geq c \left[ a - \frac{ab^2}{(a+c)^2} \right],$ то есть $l_a \geq l_b$. Неравенство $l_b \geq l_c$ доказывает аналогично.

Итак, если треугольник $ABC$ ($a \leq b \leq c$) подобен треугольнику из биссертриссе, то должны быть выполнены равенства $l_c:l_b:l_a = a:b:c$, то есть $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$ и $\frac{l_b}{l_a} = \frac{b}{c}$.

Посмотрим, когда эти условия выполнются.

Если $\frac{l_c}{l_a} = \frac{a}{c}$, то $al_a = cl_c$. Но аналогичное соотношение всегда имеет место для высот: $ah_a = ch_c$ (см. пункт a). Значит (рис. 11), прямоугольные треугольники $AH_aL_a$ и $CH_cL_c$, где $|AH_a| = h_a$, $|AL_a| = l_a$, $|CH_c| = h_c$, $|CL_c| = l_c$, подобны, причем стороны длины $h_a, h_c$ и $i_a, l_c$ у них сходственные. Следовательно, углы, образуемые сторонами $AH_a$, $AL_a$ и $CH_c$, $CL_c$, будут равны: $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$. Посчитаем эти углы.

Напомним, что у нас $a \leq b \leq c$, то есть $A \leq B \leq C$. Из этого условия следует, что $L_c \in [AH_c]$, а $L_a \in [BH_a]$.

Позмоту $H_a\widehat{AL_a} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2} - B$, $H_c\widehat{CL_c} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2} - A$,

и так как $H_a\widehat{AL_a} = H_c\widehat{CL_c}$, то $\frac{A}{2} + B = \frac{C}{2} + A$, то есть

36

М350. С белого углового поля шахматной доски размерми $n \times m$ ($n$ и $m$ больше 1) начинает дв歧аться слон. Дойдя до края доски, слон поворачиваем под прямым углом. Попав в угол, он останавливается.

a) При каких $n$ и $m$ слон обойдем все белые поля доски?
b) Сколько всего полей он обойдем на доске $n \times m$?
Рассмотрим в качестве примеров доски размерми $10 \times 15, 10 \times 25, 15 \times 25$.

Рис. 13.

Рис. 14.

Рис. 15.

a) Рассмотрим прямой угловый к $A_{00}A_{01}A_{11}A_{10}$ с вершинами в центрах угловых полей (рис. 13) $|A_{00}A_{10}| = n - 1, |A_{00}A_{01}| = m - 1$. Возьмем решетку, порождаем его прямойником (рис. 14). Обозначим узлы такой решетки через $A_{ij}$, $i,j = 0,1,2,...$ (Узел $A_{ij}$ — это точка пересечения прямой, проходящей через $A_{i0}$ параллельно ($A_{00}A_{01}$), с прямой, проходящей через $A_{0j}$ параллельно ($A_{00}A_{10}$); точки $A_{i0}(i = 1,2,...)$ лежат на прямой $A_{00}A_{10}$, точки $A_{0j}(j = 1,2,...)$ — на прямой $A_{00}A_{01}$, причем $|A_{(i-1)}A_{i0}| = |A_{i0}A_{(i+1)}| = |A_{00}A_{10}|$, $|A_{(j-1)}A_{0j}| = |A_{0j}A_{(j+1)}| = |A_{00}A_{01}|$.

Проведем из точки $A_{00}$ луч $d$ под углом $45^\circ$ к прямой $A_{00}A_{01}$ (бисекторсу прямого угла решетки). Тогда пути слона $A_{00}B_1B_2B_3...$ по доске будет соответствовать последовательность точки $A_{00}, B_1, B_2', B_3',...$, в которых луч $d$ пересекается со стороны решетки. Слон остановливается на $l$-м ходу (попав в угол) тогда и только тогда, когда точка $B'_l$ попадает в узел решетки.

Пусть $A_{pq}$ — первый (не считая $A_{00}$) узел решетки, лежащий на луче $d$ (он соответствует достигнутому слоном угловому полю доски). Поскольку $A_{00}A_{0q}A_{pq}A_{p0}$ — квадрат, $p(n-1) = q(m-1) = a$; (1) и число $a$ — наименьшее общее кратное число $m-1$ и $n-1$ (напомним, что узел $A_{pq}$ — первый).

Между узлами $A_{00}$ и $A_{pq}$ луч $d$ пересекает стороны решетки $p+q$ раз, и соответствует $p+q$ раз слон попадет на край доски. На границе доски $2m+2n-4$ полей — поровну белых и черных. Слон побивает на всех белых полях доски в том и только том слуаче, если он побивает на всех граничных белых полях, т. е. если $p+q = m+n-2$.

(2)

Из (1) и (2) следует, что $\frac{a}{m-1} + \frac{a}{n-1} = (m-1)+(n-1)$, откуда $a = (m-1)(n-1)$. Но наименьшее общее кратное двух чисел равно их произведение тогда и только тогда, когда они взаимно просты; и мы получаем ответ на пункт a) задачи: слон обойдет все белые поля доски тогда и только тогда, когда числа $m-1$ и $n-1$ взаимно просты.

6. Если бы каждое «внутреннее» белое поле доски, через которого слон проходит два раза, считалось дважды, то число белых полей, проходимых слоном, было бы равно $a+1$ (поскольку для стороны квадрата $|A_{00}A_{0q}| = a$, $a$ — целое число, на диагонали $A_{00}A_{pq}$ лежат центры $a+1$ квадратической со стороны единица). Чтобы найти, сколько белых полей обойдет слон на самом деле, нужно из $a+1$ вычесть число внутренних белых полей, проходимых слоном дважды. Посчитаем, сколько таких полей.

Обозначим через $b$ наибольший общий делитель чисел $m-1$ и $n-1$ (сейчас мы уже предполагаем, что числа $m-1$ и $n-1$ не взаимно просты; тогда $b > 1$ и $(m-1) \times (n-1) = ab$). Положим $M = \frac{m-1}{b} + 1$, $N = \frac{n-1}{b} + 1$. Числа $M-1$ и $N-1$ взаимно просты, поэтому, если взять доску размерми $N \times M$, то слон, начав дв歧аться с белого углового поля, обойдет все ее белые поля. Примогутыни $A_{00}A_{10}A_{11}A_{01}$ и $A_{00}A_{10}'A_{11}'A_{01}'$ (рис. 15) подобны, поэтому числа самопересечений пути слона на обеих досках (размерми $n \times m$ и $N \times M$) одинаковы. Но так как слон попадает на все граничные белые поля доски $N \times M$ и проходит по всем ее диагоналям, то во

38

2,1 квт. Напряжение семи равно 220 в, сопротивление подводящих проводов 1 ом. Каким необходимо сделать сопротивление наревательного элемента печи?

Ф355. На pV-диа грамме (рис. 17) изображен замкнутый процесс, проведенный с одной молем заза. Участки 1→2 и 3→4 графика — прямы, проходящие через начало координат, а участки 2→3 и 4→1 — изотермы. Нарисовать график этого процесса на TV-диа грамме. Найти объем $V_3$, если известны объемы $V_1$ и $V_2 = V_4 = V$.

Рис. 17.

Рис. 18.

Здесь $U = 220$ в — напряжение сети, $I$ — ток в цепи.

Тепловая мощность, выделяющая на нагрузке, равна $P = I^2R$. (2)

Исключая из уравнения (1) и (2) ток $I$, получим квадратное уравнение для $R$:

$$PR^2 + R(2rP - U^2) + Pr^2 = 0.$$

Из этого уравнения неосредственно находится $R_1 \approx 21$ ом, $R_2 \approx 0,05$ ом.

При обихах значения $R$ на нагрузке будет выделяться мощность 2,1 квт, но при $R=0,05$ ом на подводящих проводах выделяется мощность в $\frac{I^2r}{I^2R} = \frac{1}{0,05} = 20$ раз больше, чем на нагрузке! Ясно, что это недопустимо. Следовательно, нужно выбрать сопротивление наревательного элемента $R=21$ ом.

Н. Слободецкий

Для того чтобы построить график данного процесса на диаграмме зависимости абсолютиной температуры от объема, найдем прежде всего зависимости между $T$ и $V$ для процессов 1→2 и 3→4. На pV-диаграмме графики этих процессов — прямы, проходящие через начало координат, поэтому можно записать:

для процесса 1→2 $p=\alpha V$, где $\alpha =$ const;
для процесса 3→4 $p=\beta V$, где $\beta =$ const ($\beta<\alpha$).

Сопоставляя эти уравнения процессов с уравнением состояния идеального газа $pV = vRT$ ($v = 1$ mol), получим, что в процессе 1→2 $T = \frac{\alpha}{vR} V^2$,

а в процессе 3→4 $T = \frac{\beta}{vR} V^2$.

Таким образом, оба процесса на TV-диаграмме изображаются параболами (рис. 18), причем парабола для процесса 1→2 идет более крупу, так как $\alpha > \beta$. Состояния 2 и 4 характеризуются одинаковыми объемами $V_2=V_4=V$ (по условияю), следовательно, на TV-диаграмме они лежат на одной вертикальной прямой $V =$ const, пересекающей обе парабoles. Изотермы 2→3 и 4→1 на TV-диаграмме изображаются горизонтальные отрезки, начиная ширими в точках 2 и 4 и душими до пересечения с соседней параболой в точках 3 и 1.

Теперный найдем объем $V_3$. Поскольку участки 2→3 и 4→1 — изотермы,

$$T_2 = T_3 \text{ и } T_1 = T_4.$$

Перепишем эти равенства, воспользовавшись уже известными нам выражениями температур через соответствующие объемы:

$$\frac{\alpha}{vR} V^2 = \frac{\beta}{vR} V_3^2$$

и

$$\frac{\alpha}{vR} V_1^2 = \frac{\beta}{vR} V_2^2.$$

Поделив первое равенство на второе, найдем

$$V_3 = \frac{V^2}{V_1}.$$

39

Ф356. С какой скорость движется мень Луны по земной поверхности во время полного солнечного затмения? Затмение наблюдается на экваторе. Для простоты считать, что расстояние Луны до Земли $R_1 = 384\ 000$ км, а период обращения вокруг Земли $T_1 = 28$ сут. $cym = 2\ 419\ 200$ сек. Аналогично применяем, что радиус Земли $R_2 = 6\ 400$ км и Земля делает полный оборот вокруг своей оси за время $T_2 = 1$ сут. $cym = 86\ 400$ сек. Тогда скорость движения Луны по круговой орбите

$$v_1 = \frac{2\pi R_1}{T_1} \approx 995\ m/sec,$$

Свет от Солнца

Рис. 19.

а линейная скорость точек земной поверхности

$$v_2 = \frac{2\pi R_2}{T_2} \approx 465\ m/sec,$$

причем, для той области поверхности Земли, где наблюдается тень от Луны, обе скорости направлены в одну сторону (рис. 19).

Поскольку солнечные лучи можно считать параллельными и размеры Луны малы, тень Луны движется относительно земной поверхности в полдень со скоростью

$$v = v_1 - v_2 = 2\pi \left( \frac{R_1}{T_1} - \frac{R_2}{T_2} \right) \approx 530\ m/sec.$$

Ф357. Кубик массы m прикреплен к двум пружинам с жесткостьми $k_1$ и $k_2$ и длинами внедеформированном состоянии $l_1$ и $l_2$ соответствующего. Прикрепленные другие концы (рис. 20), так что кубик

Введем систему координат с началом в точке $O$ (на левой стенке) и с положительным направлением оси $OX$ вправа. Пусть координата кубика равна $x$ ($0 < x < L$); следовательно, он находится на расстоянии $x$ от левой стены и на расстоянии $L - x$ от правой стены (см. рис. 20).

Обозначим через $F_1$ проекцию силы, действующей на кубик со стороны левой пружины. По закону Гука

$$F_1 = k_1(l_1 - x).$$

Рис. 20.