Bài toán M416—M420; F428—F432

26

Bài toán
M416 — M420; F428 — F432

M416. Có $n$ điểm $A_1, \dots, A_n$ trên mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có thể kiểm tra được số đoạn thẳng có điểm cuối tại các điểm này tối đa là bao nhiêu để không thu được hình tam giác nào có đỉnh tại các điểm này?

A. Grigoryan, M. Primak, S. Fishbein

M417. Trên bề mặt của hình lập phương có cạnh 1 có một đường đứt nét khép kín. Trên mỗi mặt của khối lập phương có ít nhất một mắt xích của đường đứt nét. Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng ít nhất là $3\sqrt{2}$.

B. Provozvolov

M418. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ đều có bất đẳng thức sau:

$$n \left( \sqrt[n]{n+1} - 1 \right) \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq 1 + n \left( 1 - \frac{1}{n\sqrt{n}} \right).$$

M419. Có 650 điểm trong một đường tròn bán kính 16. Chứng minh rằng có một tập hợp có bán kính trong bằng 2 và bán kính ngoài bằng 3, chứa ít nhất 10 điểm trong số này.

A. Gein

M420. a) Từ phân số $\frac{a}{b}$ có thể suy ra từ ba phân số $\frac{a-b}{b}, \frac{a+b}{b}, \frac{b}{a}$. Có thể thu được phân số $\frac{67}{91}$ từ phân số $\frac{1}{2}$ bằng cách sử dụng các phép biến đổi như vậy không?

6)* Từ một cặp phân số $\left( \frac{a+b}{b}, \frac{c+d}{d} \right), \left( \frac{a-b}{b}, \frac{c-d}{d} \right),$

27

$\left(\frac{b}{a}, \frac{d}{c}\right)$. Có thể lấy các cặp sau từ một cặp phân số $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{7}\right)$: $\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{9}\right); \left(\frac{1}{4}, \frac{3}{8}\right); \left(\frac{4}{5}, \frac{7}{8}\right); \left(\frac{5}{19}, \frac{13}{50}\right); \left(\frac{39}{50}, \frac{60}{77}\right)$ không? (Ở đây chúng ta coi phân số $a/b$ đơn giản là một cặp số nguyên tố tương đối: cho phép “phân số” có số âm hoặc số 0 trong số hoặc giá trị của lớp.) c*) Cố gắng tìm ra loại phân số nào (tương ứng là các cặp phân số) có thể thu được từ dữ liệu trong bài toán a) và 6).

G. Gurevich, B. Makarevich

F428. Một quả cầu có bán kính $R = 0,5$ m quay quanh đường kính thẳng đứng của nó với vận tốc góc không đổi $\omega = 5 \text{rad/сек}$ (Hình 1). Cùng với quả cầu, một vật nhỏ quay trên bề mặt bên trong của nó, nằm ở độ cao bằng một nửa bán kính.

1. Xác định giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát tại đó điều kiện này có thể xảy ra.
2. Xác định giá trị nhỏ nhất của hệ số ma sát nếu vận tốc góc của quả cầu bằng $\omega = 8 \text{rad/сек}$.
3. Khảo sát tính ổn định của trạng thái trong trường hợp các giá trị hệ số ma sát tìm được ở trên với: a) những thay đổi nhỏ về vị trí của vật; b) những thay đổi nhỏ về vận tốc góc của quả cầu.

F429. Các ngăn xếp xi lanh, piston và vách ngăn bên trong có diện tích $1 \text{dm}^2$ được làm bằng vật liệu cách nhiệt thân xe (Hình 2). Van trong vách ngăn sẽ mở nếu áp suất bên phải lớn hơn áp suất bên trái. Ở trạng thái ban đầu, ở phần bên trái của hình trụ có chiều dài $11,2 \text{dm}$ có ​​$12 \text{гелия}, в правой части, имеющей ту же длину, —$2 \text{helium}, ở cả hai phía nhiệt độ là $0^{\circ}\text{C}$. Áp suất bên ngoài là $10^5 \text{н/м}^2$. Nhiệt độ riêng của một vật ở thể tích không đổi là $c_V = 3,15 \cdot 10^3 \text{дж/(кг·эрад)}$ và ở áp suất không đổi $c_p = 5,25 \cdot 10^3 \text{дж/(кг·эрад)}$.
Từ từ di chuyển piston về phía vách ngăn (có dừng lại một chút tại thời điểm van mở) và cẩn thận đưa piston vào vách ngăn. Công việc chúng tôi thực hiện là gì?

F430. Hình 3 cho thấy mạch chỉnh lưu đơn giản nhất. Một diode được coi là lý tưởng: điện trở của nó theo hướng thuận bằng 0, theo hướng ngược lại thì cao vô cùng. Công suất phân bổ cho điện trở thay đổi bao nhiêu lần?

29

M378. Chứng minh rằng có vô số số đa chiều không thể biểu diễn dưới dạng
a) $x^3 + y^3 + z^3$, trong đó $x, y, z$ là số nguyên;
b) $x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$, trong đó $x_1, \dots, x_n$ không phải là số tự nhiên.
b) Chứng minh rằng mọi số hữu tỉ đều có thể biểu diễn dưới dạng $x^3 + y^3 + z^3$, trong đó $x, y, z$ không phải là số hữu tỉ.

và nối điểm $K$ với đỉnh $B$. Từ giữa $O$ của đoạn $BK$ ta dựng đường vuông góc; điểm giao nhau của đường vuông góc này với các cạnh $AC$ sẽ là điểm mong muốn $[OD] \perp [BK]$ và $O$ - giữa $[BK]$; do đó $|BD| = |DK|$.

Vẫn còn phải tìm hiểu xem bài toán có luôn có lời giải hay không. Trong tam giác $ABD$: $|AD| + |BD| > |AB|$, tức là $P_{\triangle ABC} = |AD| + |BD| + |AB| > 2 |AB|$. Do đó, bài toán có lời giải nếu $|BC| > 2 |AB|$.

S.Okhimin

◆

a) Dễ dàng kiểm tra xem nếu $x$ là số nguyên thì $x^3$, hoặc $x^3 + 1$, hoặc $x^3 - 1$ chia hết cho 9. Thật vậy, nếu $x = 3k$, thì điều này là hiển nhiên; nếu $x = 3k + 1$, thì $x^3 - 1 = (x - 1)^3 + 3x(x - 1) = (3k)^3 + 9kx$; nếu $x = 3k - 1$, thì $x^3 + 1 = (x + 1)^3 + 3x(x + 1) = (3k)^3 + 9kx$. Mặt khác, câu lệnh của chúng ta có thể được phát biểu như sau: khi chia lập phương của một số nguyên cho 9, số dư chỉ có thể là 0, 1 và -1. Từ đây rõ ràng rằng tổng của ba lập phương khi chia cho 9 chỉ có thể có số dư là 0, ±1, ±2, ±3. Do đó, tất cả các số $9k \neq 4$ không thể được biểu diễn dưới dạng tổng của ba lập phương số nguyên.

b) Lấy tất cả các số tự nhiên nhỏ hơn số $N^n$ (trong đó $N > 1$ là một số tự nhiên nào đó). Nếu $a = x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$ (trong đó $x_i$ là số tự nhiên) và $a < N^n$ thì $x_i \leqslant N - 1$. Từ $n$ số $x_1, \dots, x_n$, mỗi số có thể thuộc về $(N - 1)$ giá trị $(1, 2, \dots, N - 1)$, người ta có thể soạn các bộ $(N - 1)^n$ (ví dụ: xem “Quant”, 1971, số 1, bài viết của N. Ya. Vilenkin “Combinatorics”). Trong số các tổng được tạo thành từ lũy thừa $n$ của các số của các bộ này, sẽ có những số giống hệt nhau; nên số lượng các số $a$ của dạng $x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$ nhỏ hơn $N^n$ không lớn hơn $(N - 1)^n$. Do đó, $[N^n - (N - 1)^n] = A_N$ số tự nhiên nhỏ hơn $N^n$ không thể được biểu diễn dưới dạng tổng lũy ​​thừa thứ $n$ của $n$ số tự nhiên. Số $A_N$ có thể được tạo thành một góc, vì $A_N > N^{n-1}$ và $n > 1$. Từ đó suy ra rằng có vô số số tự nhiên không thể biểu diễn dưới dạng $x_1^n + x_2^n + \dots + x_n^n$.

b) Bằng chứng của mệnh đề được nêu trong đoạn c) lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1825. Nó trông thật đáng kinh ngạc: đối với số hữu tỉ $a$ biểu diễn của nó được viết trực tiếp dưới dạng tổng của ba lập phương của các số hữu tỉ:

$$a = \left( \frac{a^3 - 3^6}{3^2 a^2 + 3^4 a + 3^6} \right)^3 + \left( \frac{-a^3 + 3^6 a + 3^6}{3^2 a^2 + 3^4 a + 3^6} \right)^3 + \left( \frac{a^2 + 3^4 a}{3^2 a^2 + 3^4 a + 3^6} \right)^3.$$

Tuy nhiên, vẫn chưa rõ làm thế nào người ta có thể “nghĩ ra” một công thức như vậy (tuy nhiên, có lẽ một trong những độc giả của chúng tôi đã thành công). Chúng tôi chỉ có thể đề nghị bạn kiểm tra xem công thức này có đúng không.

Tuy nhiên, các nhà toán học không nghiên cứu bài toán tổng ba lập phương để thu được công thức (*); bản thân nó, mặc dù trông rất ấn tượng nhưng lại không đáng nể lắm. Điều quan trọng hơn nhiều là phải hiểu điều gì “ẩn giấu” đằng sau danh tính này. Nhưng đây là một câu hỏi hoàn toàn chuyên biệt; nó đề cập đến một trong những nhánh toán học khó nhất - hình học đại số.

I. Glumanov

30

F383. Một sợi dây có khối lượng m, chiều dài l được đặt trên một hình nón tròn đàn hồi có góc ở đỉnh là 2α. Hình nón cùng với dây xích được dẫn động với vận tốc góc w dọc theo trục thẳng đứng, trùng với trục đối xứng của hình nón. Mặt phẳng của dây xích nằm ngang. Tìm lực căng của xích.

Chúng ta hãy xem xét các lực tác dụng lên một phần nhỏ của chuỗi có chiều dài Δl. Đây là lực hấp dẫn G = mg Δl/l, lực N của phản lực pháp tuyến của bề mặt hình nón và lực căng của dây F tác dụng lên tiết diện Δl từ các tiết diện lân cận (Hình 2). Tổng các hình chiếu của tất cả các lực lên trục tung OY phải bằng 0, vì dây xích hoàn toàn không chuyển động theo phương thẳng đứng:

$$N \sin \alpha - G = 0.$$

(1)

Tổng các hình chiếu của tất cả các lực lên trục hoành OX tạo ra gia tốc hướng tâm của phần tử dây chuyền:

$$2F \sin \varphi - N \cos \alpha = \frac{m}{l} \Delta l \omega^2 r.$$

(2)

Ở đây r = \frac{l}{2π} và sin φ = \frac{\Delta l}{2r} = \pi \frac{\Delta l}{l} (Hình 3). Giải các phương trình (1) và (2) cùng nhau, ta thu được

$$F = \frac{m}{2\pi} \left( \frac{g}{\text{tg} \alpha} + \frac{\omega^2 l}{2\pi} \right).$$

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

F384. Hai hạt tương tác 1 và 2 có khối lượng lần lượt là m1 và m2 tạo thành một hệ kín. Hình 4a cho thấy quỹ đạo của hạt 1 và vị trí của cả hai hạt tại thời điểm thời gian, hệ số của hạt 1 là v và tốc độ của hạt 2 là −3v. Xây dựng quỹ đạo của hạt 2 nếu $\frac{m_1}{m_2} = 3$.

Theo điều kiện bài toán xung lực (lượng chuyển động) của hệ này bằng 0:

$$m_1 v + m_2 (-3 v) = 0,$$

vì động lượng bằng không của một hệ kín có nghĩa là khối tâm của nó luôn đứng yên.

Trong trường hợp có hai hạt, khối tâm nằm trên đoạn nối các hạt và chia đoạn này theo tỷ lệ nghịch với tỷ lệ khối lượng. Do đó, việc xây dựng quỹ đạo của hạt 2 trùng khớp như sau (Hình 4, 6). Chúng ta vẽ đoạn AB nối các hạt 1 và 2 tại một thời điểm nhất định (khi v_m2 = −3v_m1). Chia đoạn thẳng thành bốn phần và dành một phần từ hạt 1. Điểm O tìm thấy xác định vị trí của khối tâm cố định. Tiếp theo, chúng ta nối một điểm tùy ý thuộc quỹ đạo của hạt 1 (ví dụ điểm A1) với khối tâm theo đoạn A1O và tiếp tục

31

F385. Một tấm dẫn điện mỏng lớn có diện tích S và độ dày d được đặt trong một điện trường đều E, phân bố lại tấm đó. Hỏi nhiệt lượng tỏa ra trong vật dẫn là bao nhiêu nếu tắt từ trường?

Khi một tấm dẫn điện được đưa vào một điện trường, dưới tác dụng của trường này, nó sẽ tạo ra sự phân bố lại các điện tích tự do trong tấm dẫn điện. Ở các mặt đối diện của tấm, vuông góc với hướng của từ trường ngoài, các điện tích trái dấu tích tụ. Bên trong tấm cường độ trường bằng không. Điều này có nghĩa là các điện tích tự do phân bố trên các bề mặt của tấm tạo ra một trường có cường độ bằng -E ở bên trong tấm và bằng 0 ở bên ngoài.

Ngay sau khi trường bên ngoài của các trường bên trong biến mất, chỉ còn lại trường điện tích bề mặt mang năng lượng

$$W = \frac{E^2}{2} \varepsilon_0 Sd.$$

Dưới ảnh hưởng của trường này, nó tạo ra sự phân phối lại điện tích “ngược lại” trong toàn bộ thể tích của tấm. Trong trường hợp này, toàn bộ năng lượng của điện trường sẽ được giải phóng dưới dạng nhiệt:

$$Q = \frac{E^2}{2} \varepsilon_0 Sd.$$

F386. Tại các đỉnh của một tam giác vuông cân có cạnh bằng a có các quả cầu kim loại giống hệt nhau có bán kính r (r<a). Mỗi quả bóng đều được tích điện q. Bi 1 và 2 nối dây dẫn, sau đó dây dẫn được tháo ra. Sau đó, làm tương tự với quả bóng 2 và 3, và cuối cùng, với quả bóng 3 và 1. Những quả bóng nào được tích điện?

Lời giải bài toán phụ thuộc vào quả bóng nào ở đỉnh của góc vuông.

Sẽ thuận tiện hơn cho Pozny khi giải hai câu phụ bài toán trước. bài toán đầu tiên nói về sự phân bố tổng điện tích Q của hai quả bóng nhỏ nằm ở hai đầu chân. Các quả bóng nối dây dẫn với sự có mặt của cùng một quả bóng có điện tích Q0 nằm ở đỉnh thứ ba của một tam giác vuông cân (Hình 5). Đặt điện tích của các quả bóng trở thành Q1 và Q2 sau khi nối. Các quả bóng được kết nối sẽ có cùng một quả bóng, có thể được định nghĩa theo nguyên lý chồng chất là tổng các điện thế được tạo ra bởi mỗi điện tích riêng biệt. Điều kiện r<a cho phép bạn không phải lo lắng về việc các điện tích Q1, Q2, Q0 được phân bổ chính xác như thế nào trên bề mặt của các quả bóng.

Hệ thống điều khiển

$$\frac{Q_1}{4\varepsilon_0\varepsilon r} + \frac{Q_2}{4\varepsilon_0\varepsilon a} + \frac{Q_0}{4\varepsilon_0\varepsilon a} = \frac{Q_2}{4\varepsilon_0\varepsilon r} + \frac{Q_1}{4\varepsilon_0\varepsilon a} + \frac{Q_0}{4\varepsilon_0\varepsilon a\sqrt{2}},$$

$$Q_1 + Q_2 = Q$$

kết quả là lời giải

$$Q_1 = \frac{Q}{2} - \frac{(2-\sqrt{2})r}{4(a-r)} Q_0 = \frac{Q}{2} - kQ_0,$$

$$Q_2 = \frac{Q}{2} + \frac{(2-\sqrt{2})r}{4(a-r)} Q_0 = \frac{Q}{2} + kQ_0,$$

Ở đâu

$$k = \frac{(2-\sqrt{2})r}{4(a-r)} \approx \frac{(2-\sqrt{2})r}{4a}$$ (vì r<a).

Phụ trợ thứ hai bài toán nói về sự phân bố tổng điện tích Q của hai quả bóng nằm ở hai đầu cạnh huyền. Khi những quả bóng này được nối với nhau trước sự có mặt của cùng một quả bóng có điện tích Q0 nằm ở đỉnh

32

góc vuông, do tính đối xứng nên tổng điện tích của các quả bóng được phân bố đều giữa chúng:

$$Q_1 = Q_2 = \frac{Q}{2}.$$

Lời giải hai phụ bài toán cho phép bạn nhanh chóng tìm thấy lời giải ba cái chính. Khoảng cách, ví dụ như trường hợp quả bóng 1 nằm ở đỉnh của một góc vuông (Hình 6). Sau đó kết nối $q_1 = q, q_2 = q, q_3 = Q_0 = q$ với mọi người.

Tổng điện tích của quả bóng 1 và 2 là $Q = 2q$. Điện tích ở đỉnh thứ ba là $Q_0 = q$. Do đó, sau khi nối bi 1 và bi 2 sẽ có:

$$Q_1 = \frac{Q}{2} - kQ_0 = q - kq, Q_2 = q + kq, q_3 = q.$$

Bây giờ chúng ta hãy tháo dây dẫn giữa quả bóng 1 và 2 và nối quả bóng 2 và 3. Tổng điện tích của quả bóng 2 và 3 trước khi nối 2-3 là

$$Q = (q + kq) + q = 2q + kq.$$

Những quả bóng này nằm ở cuối cạnh huyền. Do đó, sau khi kết nối 2-3, việc phân bổ điện tích sẽ như sau:

$$q_1 = q - kq, q_2 = \frac{Q}{2} = q + \frac{k}{2} q; q_3 = q + \frac{k}{2} q.$$

Tổng điện tích của quả bóng 3 và 1 sau khi tháo dây dẫn bằng

$$Q = \left( q + \frac{k}{2} q \right) + \left( q - kq \right) = 2q - \frac{k}{2} q,$$

điện tích ở đỉnh cuối cùng (2) là $Q_0 = q_2 = q + \frac{k}{2} q$. Do đó, sau khi kết nối 3-1, cước sẽ được phân bổ như sau:

$$q_1 = \frac{Q}{2} - kQ_0 = \left( q - \frac{k}{4} q \right) - k \left( q + \frac{k}{2} q \right) = q \left( 1 - \frac{5}{4} k - \frac{1}{2} k^2 \right),$$

$$q_2 = Q_0 = q \left( 1 + \frac{1}{2} k \right),$$

$$q_3 = \frac{Q}{2} + kQ_0 = q \left( 1 + \frac{3}{4} k + \frac{1}{2} k^2 \right).$$

Thay thế giá trị $k \approx \frac{(2 - \sqrt{2}) r}{4a}$ và bỏ qua các số hạng chứa các giá trị $\frac{r}{a}$ thành lũy thừa cao hơn giá trị đầu tiên, cuối cùng chúng ta thu được:

$$q_1 \approx q \left( 1 - \frac{5(2 - \sqrt{2}) r}{16a} \right),$$

$$q_2 \approx q \left( 1 + \frac{(2 - \sqrt{2}) r}{8a} \right),$$

$$q_3 \approx q \left( 1 + \frac{3(2 - \sqrt{2}) r}{16a} \right).$$

33

Kết quả cho các trường hợp. thể hiện trong Hình 7 và 8 được tóm tắt trong bảng:

| (Hình 7) | $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ |
| :— | :— | :— | :— |
| Đến mọi kết nối | $q$ | $q$ | $q$ |
| Sau khi kết nối 1-2 | $q + kq$ | $q - kq$ | $q$ |
| Sau khi kết nối 2-3 | $q + kq$ | $q - \frac{3}{2}kq - k^2q$ | $q + \frac{1}{2}kq + k^2q$ |
| Sau khi kết nối 3-1 | $q \left(1 + \frac{3}{4}k + \frac{1}{2}k^2\right)$ | $q \left(1 - \frac{3}{2}k - k^2\right)$ | $q \left(1 + \frac{3}{4}k + \frac{1}{2}k^2\right)$ |
| Xấp xỉ | $q \left(1 + \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{16a}\right)$ | $q \left(1 - \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{8a}\right)$ | $q \left(1 + \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{16a}\right)$ |

| (Hình 8) | $q_1$ | $q_2$ | $q_3$ |
| :— | :— | :— | :— |
| Đến mọi kết nối | $q$ | $q$ | $q$ |
| Sau khi kết nối 1-2 | $q$ | $q$ | $q$ |
| Sau khi kết nối 2-3 | $q$ | $q + kq$ | $q - kq$ |
| Sau khi kết nối 3-1 | $q \left(1 + \frac{1}{2}k + k^2\right)$ | $q(1 + k)$ | $q \left(1 - \frac{3}{2}k - k^2\right)$ |
| Xấp xỉ | $q \left(1 + \frac{(2 - \sqrt{2})r}{8a}\right)$ | $q \left(1 + \frac{(2 - \sqrt{2})r}{4a}\right)$ | $q \left(1 - \frac{3(2 - \sqrt{2})r}{8a}\right)$ |

B. Bukhovce

35

Do đó, nếu $f$ được xác định tại điểm $x_0$ thì nó phải được xác định tại tất cả các điểm $x_n = x_0 + nT$, trong đó $n \in \mathbb{Z}$ (tức là $n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$). Các giá trị của $f$ tại tất cả các điểm này phải giống nhau: $f(x_n) = c$ không phụ thuộc vào $n$. Nếu chúng ta giả sử rằng đối với tất cả các giá trị khác của $x$ (tức là đối với $x \neq x_n$), hàm $f$ hoàn toàn không được xác định, thì về cơ bản chúng ta thu được ví dụ đơn giản nhất về hàm tuần hoàn:

$$f(x) = \begin{cases} c \text{ при } x = x_n = x_0 + nT, n \in \mathbb{Z}, \\ \text{не определена при остальных } x. \end{cases}$$

Đồ thị $f$ là tập hợp vô hạn các điểm có dạng $(x_n, c)$ ở các khoảng cách bằng nhau. Các dấu chấm $f$ là bội số nguyên $nT$ của số $T$ - khoảng thời gian dương nhỏ nhất (Hình 3).

4°. Chúng ta hãy chỉ ra một phương pháp rất tổng quát để xây dựng các hàm tuần hoàn với một khoảng thời gian nhất định $T > 0$—chính xác hơn là một phương pháp xây dựng đồ thị của chúng. Chúng ta hãy gán hàm $f$ cho người nhận [0, $T$] tùy ý, sau đó áp dụng cho biểu đồ $f$ trong khoảng này (tại $0 \leq x < T$) tất cả các chuyển đổi song song có thể có của dạng $na = r(nT, 0)$, trong đó $n$ là số nguyên (Hình 4, $a$, $\delta$). Rõ ràng, điều này sẽ dẫn đến một đồ thị của hàm tuần hoàn $f$ với chu kỳ $T$.

Bài toán 1. Chu kỳ của hàm $f$, được xây dựng theo cách mô tả ở trên, có thể là số $T_0$, nhỏ hơn $T$ ($0 < T_0 < T$) không? Nếu vậy, xin vui lòng cung cấp một ví dụ.

Kế hoạch tương lai của chúng tôi như sau. Đầu tiên, chúng ta sẽ xem xét một số tính chất quan trọng của hàm tuần hoàn. Tiếp theo, chúng tôi sẽ đưa ra các ví dụ về cách thiết lập tính tuần hoàn hoặc không tuần hoàn của các hàm cụ thể được chỉ định bởi các công thức và cách tìm các khoảng thời gian. Cuối cùng, chúng ta sẽ tạo thành một chuỗi bài toán có tính chất đa dạng liên quan đến các hàm tuần hoàn và không tuần hoàn. (Không tuần hoàn - được viết cùng nhau - người ta thường gọi các hàm không tuần hoàn.)

Ví dụ về các hàm tuần hoàn đã biết từ khóa học lớp IX (tức là, về cơ bản là các hàm lượng giác) dẫn đến nhận xét sau: nếu $y$ của hàm tuần hoàn $f$ có một chu kỳ dương nhỏ nhất, tức là một chu kỳ $T_0$ sao cho bất kỳ số $t$ nào lớn hơn 0 và nhỏ hơn $T_0$ không còn là một chu kỳ $f$, thì tất cả các chu kỳ khác của hàm $f$ là bội số nguyên của $T_0$ - các số có dạng $T = nT_0$, trong đó

36

n - số nguyên. Điều này đúng với mọi hàm tuần hoàn có chu kỳ dương nhỏ nhất (hàm tuần hoàn f có thể không có chu kỳ như vậy - xem ví dụ 2°, cũng như bài toán 10).

Định lý 1. Nếu $T_0$ là chu kỳ dương nhỏ nhất của hàm tuần hoàn f, thì cả tổng $T_1 + T_2$ và hiệu $T_1 - T_2$ của chúng sẽ là các chu kỳ của f. (Hãy tự mình kiểm tra điều này.)

Từ đây có thể thấy ngay rằng nếu $T_0$ là một chu kỳ của f thì tất cả các bội số nguyên của $T_0$—các số $T = nT_0$, $n \in \mathbb{Z}$—là các chu kỳ của f. Bây giờ gọi $T_0$ là chu kỳ dương nhỏ nhất của f và $T$ là chu kỳ tùy ý của f. Giả sử rằng $T$ không được biểu thị dưới dạng $T = nT_0$, trong đó $n$ là số nguyên. Sau đó, số $T$ được chứa hoàn toàn giữa y một số bội số nguyên lân cận của số $T_0$ (Hình 5):

$$nT_0 < T < (n + 1)T_0.$$

Trừ số $nT_0$ khỏi tất cả các phần của bất đẳng thức này, chúng ta thu được: $nT_0 - nT_0 < T - nT_0 < (n + 1)T_0 - nT_0$, tức là $0 < T' = T - nT_0 < T_0$. Một mặt, vì $T_0$ là chu kỳ nhỏ nhất của f nên số $T'$ nằm trong khoảng từ 0 đến $T_0$ không thể là chu kỳ của f; mặt khác, theo nhận xét nêu trên thì số $T' = T - nT_0$ là chu kỳ của f (là hiệu của chu kỳ $T$ và $nT_0$). Mâu thuẫn thu được cho thấy $T = nT_0$, và định lý dương đã được chứng minh.

Vì vậy, nếu hàm f có chu kỳ dương nhỏ nhất

37

6°. Hàm $f(x) = \cos \sqrt{x}$ cũng không tuần hoàn - một lần nữa điều kiện (A) không được thỏa mãn:

$$D(f) = \{x \mid x \geq 0\},$$

và nếu $T > 0$ thì $x_0 = T/2 \in D(f)$, nhưng $x_0 - T = -T/2 < 0$ và không thuộc về $D(f)$; Trường hợp $T < 0$ được xử lý tương tự (Hình 7).

7°. Hàm bậc hai $f(x) = x^2$ được xác định trong 础у: $D(f) = R$, - và do đó điều kiện (A) được thỏa mãn với nó với mọi $T$. Nếu, đối với một số $T \neq 0$, điều kiện ($B_0$) cũng được thỏa mãn thì đối với mọi $x \in R$ thì sự tương ứng $x^2 = (x + T)^2$ phải đúng. Lấy $x = 0$, ta được: $0^2 = (0 + T)^2$, tức là $T^2 = 0$, hoặc $T = 0$, mâu thuẫn với điều kiện $T \neq 0$. Do đó, điều kiện ($B_0$) không được thỏa mãn với bất kỳ $T \neq 0$ nào và hàm $f(x) = x^2$ là không tuần hoàn.

8°. Hàm $f(x) = \cos x$ (Hình 8), như đã biết, là hàm tuần hoàn: chẳng hạn, chu kỳ của nó là $T_0 = 2\pi$. Đây là khoảng thời gian nhỏ nhất, vì $\cos x = 1$ chỉ tại $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, tức là giá trị 1 của hàm $f$ được lặp lại sau 2π; do đó, $f$ không thể có chu kỳ nhỏ hơn 2π (nếu không hàm sẽ lấy giá trị 1 tại các điểm cách nhau nhỏ hơn 2π).

Từ Định lý 1, chúng ta suy ra rằng các chu kỳ của hàm $f(x) = \cos x$ là:

10°. Hàm $f(x) = \cos^2 x$ (Hình 9) là đầu ra, do đó điều kiện (A) được tự động thỏa mãn. Hơn nữa, $f$ có 2π chu kỳ của nó: kể từ $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, thì $\cos^2(x + 2\pi) = \cos^2 x$, tức là $f(x + 2\pi) = f(x)$.

Bonros: $T_0 = 2\pi$ có phải là chu kỳ nhỏ nhất của $f(x) = \cos^2 x$ không?

Hãy thử trả lời nó. Chúng ta hãy xem xét những $x$ mà $f(x) = 1$, tức là $\cos^2 x = 1$; thì $\cos x = 1$

38

hoặc $\cos x = -1$, từ đó $x = \pi n$, tức là giá trị 1 được lặp lại qua $\pi$ chứ không phải qua $2\pi$. Chẳng hạn, có thể nào khoảng thời gian $f$ sẽ là $\pi$?

Hãy biến đổi $\cos^2 x$ bằng cách sử dụng các công thức đã biết:

$$f(x) = \cos^2 x = \frac{\cos 2x + 1}{2}.$$

Hàm số $y = \cos 2x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$ (giải thích); do đó, cả hàm $(1/2) \cos 2x$ và $(1/2) \cos 2x + 1/2 = f(x)$ sẽ có dấu chấm $\pi$. Vì giá trị 1 của hàm $f$ lặp lại đến $\pi$ (xem ở trên), nên số $\pi$ sẽ là khoảng thời gian nhỏ nhất của $f$.

Điều tương tự có thể thu được bằng cách sử dụng công thức rút gọn: $\cos(x + \pi) = -\cos x$, do đó $\cos^2(x + \pi) = (-\cos x)^2 = \cos^2 x$.

$11^\circ$. Lưu ý chung. Nếu hàm $f(x)$ tuần hoàn với chu kỳ $T$, thì bất kỳ hàm phức nào có dạng

$$F(x) = af(Ax + B) + b$$

($A \neq 0, B, a, b$ - hằng số)

là tuần hoàn và chu kỳ của nó sẽ là số $T' = T/A$. (Giải thích điều này; xem X, trang 175.) Ví dụ: một hàm có dạng $a \cos(Ax + B) + b$ là tuần hoàn với chu kỳ $2\pi/A$.

Bây giờ chúng ta hãy tạo thành chuỗi bài toán.

Bài tập 2. Tìm xem hàm số nào sau đây tuần hoàn và hàm số nào không tuần hoàn:

a) $\sin|x|$, b) $\frac{\sin x}{\sin x}$.

Bài 3. Chứng minh các hàm số sau là tuần hoàn:

a) $\frac{1}{x}$, b) $\sin[(\sqrt{x})^2]$, d) $x^2 + \sin x$.

6. $\sin\frac{1}{x}$, r) $x^2 + 3x + 17$, e) $\sin|\sqrt{x}|$.

Bài 4. Chứng minh các hàm số sau là tuần hoàn và tìm chu kỳ dương nhỏ nhất:

a) $\sin^2x$, b) $\sin^5x$.

6. $\sin^4x$, r) $\sin\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{3}$.

d) $\sin 2x + \sin 3x$,

e) $\sin\frac{x}{\sqrt{2}} + \sin\sqrt{2}x$.

Rõ ràng, nếu hàm $f(x)$ và $g(x)$ tuần hoàn với cùng chu kỳ $T$, thì tổng $s(x) = f(x) + g(x)$ của chúng cũng sẽ là hàm tuần hoàn, với $T$ là chu kỳ $^*$ của nó).

Nhiệm vụ 5. Hàm $f(x)$ và $g(x)$ luôn được xác định và có cùng chu kỳ dương nhỏ nhất $T_0$. Có đúng là $T_0$ cũng là nhỏ nhất của tổng $f(x) + g(x)$? Hãy nghĩ về hai hàm như vậy (được xác định ở mọi nơi) $f$ và $g$, chu kỳ của chúng nhỏ hơn chính xác 2 lần so với $T_0$.

Cho hàm tuần hoàn $f$ và $g$ có chu kỳ dương nhỏ nhất $T_1$ và $T_2$ tương ứng và $T_1 \neq T_2$.

Câu hỏi. Trong trường hợp nào thì các hàm $f$ và $g$ có chu kỳ chung (tất nhiên, không phải nhỏ nhất) $T$?

Đáp số. Nếu $f$ và $g$ có ​​chung dấu chấm $T$, thì theo Định lý 1 $T = mT_1 = nT_2$, trong đó $m$ và $n$ là số nguyên; thì $T_2/T_1 = m/n$ là một số hữu tỉ. Ngược lại, nếu quan hệ $T_2/T_1$ là hữu tỷ, $T_2/T_1 = m/n$, thì $mT_1 = nT_2 = T$ là chu kỳ chung của các hàm $f$ và $g$.

Tất cả lý luận của chúng tôi cho thấy tính hợp lệ của tuyên bố này.

Định lý 2. Nếu các chu kỳ dương nhỏ nhất của các hàm $f$ và $g$ tương xứng, tức là hệ thức $T_2/T_1$ là hữu tỷ, thì $u$ tổng của các hàm $f(x) + g(x)$ này là tuần hoàn.

Hóa ra là nếu tỷ số giữa các chu kỳ nhỏ nhất của các hàm liên tục và xác định $f$ và $g$ đóng vai trò nhỏ nhất, thì hàm $f + g$ sẽ liên tục. Điều tương tự cũng có thể nói về tích của các hàm tuần hoàn (chúng ta sẽ giới hạn ở việc chỉ đưa ra một vài ví dụ liên quan; chứng minh tổng quát của phát biểu đã nêu là khá phức tạp).

Bài tập 6. Chứng minh rằng các hàm số sau (tích và tổng của các hàm tuần hoàn!) không tuần hoàn:

a) $\cos x \cdot \cos\sqrt{2}x$, b) $\sin x \cdot \sin\sqrt{2}x$,

6. $\cos x + \cos\sqrt{2}x$, r) $\sin x + \sin\sqrt{2}x$.

*) Ở đây có một sự tinh tế nhỏ: miền định nghĩa của tổng $f(x) + g(x)$ là giao điểm của $D = D(f) \cap D(g)$ và có thể phục vụ sao cho $D = \emptyset$. Thật thuận tiện cho Nede khi định nghĩa một hàm số là tuần hoàn và chu kỳ của nó phải được coi là số bất kỳ.

39

Hình 12.

Bình luận. Các hàm từ bài toán 6 thuộc về một loại hàm gần như tuần hoàn rất quan trọng, đặc biệt trong các ứng dụng vật lý. Các hàm như vậy $f$ thỏa mãn điều kiện sau: đối với bất kỳ số nào (dù có góc nhỏ) $\varepsilon > 0$ đều có một “gần như dấu chấm” - một số $T \neq 0$ sao cho đối với một $x$ tùy ý, giá trị $f(x+T)$ bằng $f(x)$ cho đến $\varepsilon$, tức là $|f(x+T)| \leq \varepsilon$. Nói một cách đại khái, điều này được giải thích là do các số vô tỉ có thể được xấp xỉ bằng số hữu tỉ với bất kỳ độ chính xác nào; khi đó, $\varepsilon$ càng nhỏ thì “gần như chu kỳ” $T$ sẽ càng dài.

Trong vật lý, các đại lượng được đo một cách gần đúng nên không cần phải nói về tính vô tỷ của chúng. Hầu như các quá trình tuần hoàn trong tự nhiên đều gặp phải khi chúng ta xem xét các hiện tượng tuần hoàn, tỷ lệ của các chu kỳ không phải là tổng thể mà là một phần nhỏ có giá trị lớn.

Ví dụ. Khi biên soạn lịch đồng thời, cần tính đến chuyển động quay của Trái đất quanh Mặt trời (với chu kỳ 1 năm thiên văn) và sự tự quay của Trái đất quanh trục của chính nó (với chu kỳ 1 ngày). Để thuận tiện, lịch phải là lịch tuần hoàn, và điều mong muốn là chu kỳ của nó là chu kỳ chung của cả hai phép quay. Tỷ lệ của năm thiên văn với ngày xấp xỉ bằng $m = 365,242199$. Nếu chúng tôi coi giá trị này là chính xác, thì tổng thời gian của các quá trình được xem xét thông qua ảnh hưởng của chúng tôi - 1 triệu năm! Do đó, Julius Caesar đã đưa ra “chu kỳ gần” là 4 năm, tương ứng với giá trị của $m \approx 365,25 = 365^{1/4}$, và Gregory XIII của Rome vào năm 1582 đã hợp pháp hóa “chu kỳ gần như” của lịch 400 năm, được áp dụng cho đến ngày nay.