Tam giác vuông

50

S. Belie

Tam giác vuông

Trong kỳ thi tuyển sinh môn toán, bài toán, gắn liền với tam giác vuông, thường được đưa ra. Bạn cần biết gì về tam giác vuông, ngoài định lý Pythagore, để giải thành công bài toán đó? Đây là những gì sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Phát biểu 1. Giá trị đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông trùng với trung điểm của một tam giác vuông.

Điều này dẫn đến mối quan hệ sau:

$$m = R = \frac{c}{2},$$

trong đó $m$ là độ dài của đường trung tuyến vẽ cạnh huyền, $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, $c$ là cạnh huyền (xem Hình 1 - nó sẽ giúp bạn chứng minh nhận định này).

Mối quan hệ này thường được sử dụng với lời giải bài toán.

Ví dụ 1 (MSU, Khoa Hóa học, 1974). Trong tam giác vuông ABC có hai chân 3 và 4 (cm), đỉnh C của góc vuông nối với đơn vị D ở giữa AB. Tìm khoảng cách giữa tâm của các đường tròn được mô tả trong hình chữ nhật ACD và BCD.

Theo Câu 1, điểm D là tâm của đường tròn ngoại tiếp, do đó $|DA| = |DC| = |DB|$. Do đó, các tam giác ACD và BCD là cân (xem Hình 2). Tâm của các đường tròn được mô tả ở

51

Ví dụ 3 (MSU, Khoa Hóa học, 1973). Một hình vuông nội tiếp tam giác vuông ABC sao cho hai đỉnh của nó nằm trên biểu đồ hình sin và hai đỉnh còn lại nằm trên các kamet. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC liên hệ với bán kính hình vuông là 13:6. Tìm các góc của tam giác ABC.

Để $\hat{A} = \alpha$; gọi cạnh của hình vuông là $a$ (xem Hình 4). Sau đó $|AB| = a \text{ctg}\alpha + a + a \text{tg}\alpha$, và

$$\frac{a \text{ctg}\alpha + a + a \text{tg}\alpha}{2a} = \frac{13}{6},$$

từ đâu $\text{ctg}\alpha + \text{tg}\alpha + 1 = 13/3$, $3 \text{tg}^2\alpha - 10 \text{tg}\alpha + 3 = 0$, $\alpha_1 = \text{arctg} 3$, $\alpha_2 = \text{arctg} 1/3$. Nhưng các góc $\alpha_1$ và $\alpha_2$ bổ sung cho nhau trên một đường thẳng. Vậy các góc của tam giác ABC là $\text{arctg} 3, \frac{\pi}{2}, \text{arctg} 1/3$.

Phát biểu 2. Đường cao vẽ từ đỉnh của một góc vuông của một tam giác, ta chia nó thành hai tam giác phụ bên phải, một tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.

Các mối quan hệ sau đây rút ra từ tuyên bố này (đối với các ký hiệu, xem Hình 5):

$$h^2 = a'b', a^2 = a'c, b^2 = b'c,$$

$$a^2 + b^2 = c^2, \frac{a^2}{b^2} = \frac{a'}{b'}.$$

Hãy thêm cho chúng các công thức tính diện tích của tam giác vuông:

$$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch = mh = Rh.$$

Ví dụ 4 (MIPT, 1962). Trong tam giác vuông ABC, đường cao CD được vẽ từ đỉnh của góc vuông C. Biết rằng bán kính của các đường tròn mô tả trong tam giác ACD và BCD bằng $r_1$ và $r_2$. Tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

52

Hình 6.

Theo Phát biểu 2, các tam giác ADC, CDB và ACB đồng dạng (xem Hình 6). Và trong các tam giác đồng dạng, bán kính của các đường tròn nội tiếp (cũng như bất kỳ phần tử tuyến tính tương ứng nào khác) có liên hệ như các cạnh tương ứng. Sau đó

$$\frac{|AC|}{r_1} = \frac{|BC|}{r_2} = \frac{|AB|}{r} = k.$$

Từ đây, sử dụng định lý Pythagore, chúng ta có:

$$r_1^2 k^2 + r_2^2 k^2 = r^2 k^2, r^2 = r_1^2 + r_2^2, r = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}.$$

Bình luận. Công thức kết quả $r^2 = r_1^2 + r_2^2$ có tính chất chung: đối với mọi phần tử tuyến tính tương ứng $x, y, z$ của các tam giác ADC, CDB, ACB (Hình 6), sự phụ thuộc $x^2 + y^2 = z^2$ là hợp lệ.

Để chứng minh nhận định này, chỉ cần thay $x, y, z$ cùng với $r_1, r_2, r$ là đủ.

Ví dụ 5 (MIPT, 1969). Trong một tam giác vuông vẽ CD bissertis của góc vuông C. Được biết, $|AD| = m, |BD| = n$. Tìm độ cao rơi từ đỉnh của góc C.

Gọi $x$ và $y$ là độ dài hình chiếu của chân lên cạnh huyền (Hình 7). Sau đó

$$\frac{x}{y} = \frac{|AC|^2}{|BC|^2}.$$

Nhưng

$$\frac{|AC|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|BD|} = \frac{m}{n}$$

(theo tính chất của bissertitsa). Kết quả là một hệ thống

$$\begin{cases} x + y = m + n, \\ \frac{x}{y} = \frac{m^2}{n^2}. \end{cases}$$

Tìm từ hệ thống $x$ và $y$ này, chúng tôi xác định chiều cao bằng công thức $h = \sqrt{xy}$:

$$h = \frac{mn(m + n)}{m^2 + n^2}.$$

Tuyên bố 3 (đảo ngược định lý Pythagore). Nếu trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh kia thì đó là tam giác vuông.

Tuyên bố này tuân theo định lý cosine và trong một số trường hợp nó có thể rất hữu ích.

Ví dụ 6. Cho $a, b$ là sao chổi của tam giác vuông ABC, $c$ cạnh huyền, $h$ độ dài đường cao hạ xuống từ đỉnh C. Chứng minh rằng tam giác ở cạnh $h, c + h, a + b$ là tam giác vuông.

Thật dễ dàng để kiểm tra rằng $(a + b)^2 + h^2 = (c + h)^2$, vì đây là dạng kem bằng $ab = ch$. Do đó phát biểu bài toán tiếp theo.

Công thức nổi tiếng là $r = \frac{S}{p}$ (hoặc $S = pr$), trong đó $S$ là diện tích của tam giác, $p$ là bán chu vi, $r$ là bán kính của hình tròn nội tiếp. Đối với một tam giác vuông, bán kính của đường tròn nội tiếp có thể được tính bằng công thức đơn giản hơn:

$$r = \frac{a + b - c}{2}.$$

Cũng lưu ý công thức

$$2r + 2R = a + b$$

(hai công thức cuối là tương đương). Hãy thử tự mình chứng minh các công thức này.

53

Ví dụ 7 (MSU, Khoa Hóa học, 1974). Trong tam giác vuông ABC có các hình vuông $|AC| = 3$ và $|BC| = 4$ vẽ đường cao CD. Tên gọi là sự cân nhắc giữa tâm của một đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD.

Gọi $r_1$ và $r_2$ lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp các tam giác ACD và BCD (Hình 8). Sau đó
$$|O_1O_2| = \sqrt{(r_1 + r_2)^2 + (r_1 - r_2)^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{r_1^2 + r_2^2}.$$
Nhưng $\sqrt{r_1^2 + r_2^2} = r$, trong đó $r$ là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC (xem ví dụ 4), do đó
$$|O_1O_2| = \sqrt{2} \cdot r = \sqrt{2} \cdot \frac{|BC| + |AC| - |AB|}{2} = \sqrt{2}.$$
Và cuối cùng, chúng tôi trình bày thêm một tuyên bố nữa cũng hữu ích cho lời giải bài toán.

Phát biểu 4. Trong một tam giác thẳng có các hình vuông không bằng nhau, đường phân giác của góc vuông chia đôi cho góc tạo bởi đường cao và đường trung tuyến vẽ từ đỉnh cùng góc đó.

Chứng minh của phát biểu này được thể hiện rõ ràng từ Hình 9.

Ví dụ 8 (MSU, VMK, 1973). Trong tam giác vuông ABC, độ dài đường cao hạ xuống zinometus là $a$, phân giác của góc vuông là $b$. Gọi diện tích tam giác ABC.

Chúng ta hãy vẽ CM trung vị (xem Hình 9) và đặt $\widehat{DCL} = \alpha$; sau đó, theo Tuyên bố 4, và $\widehat{LCM} = \alpha$. Tiếp theo, $\cos \alpha = \frac{a}{b}$, $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = \frac{2a^2 - b^2}{b^2}$, $|CM| = \frac{a}{\cos 2\alpha} = \frac{ab^2}{2a^2 - b^2}$.

Bây giờ bạn có thể tìm diện tích tam giác ABC:
$$S = |CD| \cdot |AM| = |CD| \cdot |CM| = \frac{a^2 b^2}{2a^2 - b^2}.$$
Có thể bạn đã nhận thấy rằng tất cả bài toán được thảo luận ở trên đều được giải bằng phương pháp đại số. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, vì các công thức trên đại diện cho một kho vũ khí mạnh mẽ để soạn thảo tất cả các phương trình có thể. Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng tất cả bài toán của tam giác vuông đều có thể giải được bằng đại số - đôi khi việc thực hiện một số cách xây dựng bổ sung trước tiên sẽ rất hữu ích.

Ví dụ 9 (MIPT, 1971). Một đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABC. Khoảng cách từ hai đầu methus AB đến đường thẳng tiếp tuyến với đường tròn tại điểm C lần lượt bằng m và n. Tên của sao chổi là $|AC|$ và $|BC|$.

Chúng ta hãy vẽ chiều cao CD (xem Hình 10) và lưu ý rằng $\widehat{ACD} = \widehat{ABC} = \widehat{ACE}$ (hai góc cuối thay đổi theo vị trí của cùng một cung AC). Do đó, các tam giác AEC và ADC hợp lưu (do cạnh huyền và cạnh góc nhọn)