Olympic Toán lần thứ XVIII

57

QUỐC TẾ
Thế Vận Hội
TRẺ EM HỌC SINH

Z. Moiseeva,
A. Savin

Thế vận hội XVIII
trong toán học

Olympic Toán quốc tế lần thứ XVIII diễn ra vào tháng 7 năm 1976 tại Lienz (Áo). Các đội từ 18 quốc gia đã tham gia: Áo, Bulgaria, Anh, Hungary, Việt Nam, Đông Đức, Hy Lạp, Cuba, Hà Lan, Ba Lan, Romania, Liên Xô, Mỹ, Phần Lan, Pháp, Tiệp Khắc, Thụy Điển, Nam Tư. (Đại diện của Đức có mặt với tư cách quan sát viên.) Đội của mỗi nước gồm có 8 học sinh và 2 lãnh đạo, ngoại trừ Cuba có 3 học sinh và lãnh đạo.

Đối với hầu hết những người tham gia, Olympic quốc tế XVIII là sự tiếp nối tự nhiên của Olympic quốc gia. Ở nước ta, sau Thế vận hội của Đảng Cộng hòa, những người chiến thắng của họ đã tham gia các cuộc thi vòng loại đặc biệt. Sau đó, tính đến kết quả của các cầu thủ tại Thế vận hội toàn Liên minh

những năm này và những năm trước, và thành phần cuối cùng của đội đã được xác định. Nó bao gồm: Yuri Burov (trường số 2 ở Moscow), Alexander Goniarov (trường số 13 ở Nikopol, vùng Dnepropetrovsk), Petr Grinevich (trường số 204 ở Moscow), Serdey Mironov (trường số 6 ở Safonov, vùng Smolensk), Nikita Nechvetaev, Boris Solomyak và Serdey Fikashin (tất cả - FMS số 45 Leningrad), Tamyana Khovanova (trường học) số 444 ở Mátxcơva).

Trước chuyến tham dự Olympic Quốc tế là một trại huấn luyện địa phương, theo truyền thống được tổ chức tại trường để tưởng nhớ V.I. Lênin ở Gorki Leninskiye. Vì thành phần của đội đã được xác định trước nên trại huấn luyện năm nay hoàn toàn mang tính chất huấn luyện - các chàng trai đã làm việc mà không bị căng thẳng thần kinh như những năm trước do không chắc ai trong số họ sẽ tham dự Olympic Quốc tế. Kết quả là đội đã có phong độ tốt.

Trong trại huấn luyện, ba cuộc thi huấn luyện đã được tổ chức. Đối với những độc giả quan tâm, chúng tôi xin giới thiệu bài toán một trong số đó.

1. Vẽ một hình tam giác tại tâm của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và ngoại tiếp.
2. Mọi nghiệm của đa thức có hệ số phức đều nằm trong

58

một nửa mặt phẳng mở có ranh giới đi qua điểm 0. Chứng minh rằng mọi hệ số của đa thức đều bằng 0.

3. Giải phương trình

$$x = 1 + \frac{1}{1 + \cdots + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}$$

(dấu phân số được sử dụng $n$ lần).

4. Chứng minh rằng nếu trong một tam giác, các đường vuông góc dựng lại từ đáy các đường phân giác cắt nhau tại một điểm thì tam giác đó là tam giác đều.

5. Cho: $x_1 = 2$, $x_{n+1} = \frac{x_n^4 + 9}{10x_n}$.

Chứng minh rằng

$$1 - 10^{-10} < x_{100} < 1 + 10^{-10}$$

Ngoài lời giải các loại bài toán, người ta chú trọng hơn đến việc đào tạo lý thuyết cho những người tham gia trại huấn luyện. Trong những năm trước, “gót chân Achilles” của nhóm chúng tôi là bài toán đối với đa thức, vì chủ đề này thực tế không có trong chương trình giảng dạy ở trường. Năm nay, khá nhiều thời gian đã được loại bỏ khỏi các câu hỏi về đại số đa thức, miền Dirichlet, lý thuyết đồ thị và một số câu hỏi khác, điều này đã cho phép nhóm của chúng tôi trên Optimide giải quyết thành công bài toán thuộc loại này.

Vào ngày 9 tháng 7, các học sinh Liên Xô đã đến Vienna, từ đó ngày hôm sau, cùng với các đội từ các quốc gia khác, các em đã đến địa điểm tổ chức Cuộc thi Tối ưu hóa Toán học Quốc tế lần thứ XVIII ở Lienz, thủ đô của Đông Tiral. Lộ trình của chuyến tham quan này dài khoảng 600 km, đi qua những địa điểm đẹp như tranh vẽ ở miền nam nước Úc. Phong cảnh núi cao lãng mạn sẽ còn đọng lại trong ký ức của trẻ em trong một thời gian dài (hơn 50% lãnh thổ của Đông Tiral nằm ở độ cao trên 2000 m so với mực nước biển): những đồng cỏ có nhiều dòng suối và lạch không tên sủi bọt, những đỉnh núi trắng như tuyết, những khu rừng.

Các cuộc thi được tổ chức vào ngày 12 và 13 tháng 7. Vào mỗi ngày, học sinh được tặng ba bài toán, với lời giải trong đó 4 giờ được phân bổ (văn bản bài toán được đặt ở cuối số liệu thống kê, trong ngoặc cho biết quốc gia nào cung cấp bài toán và số điểm được cho cho toàn bộ lời giải; gợi ý cho lời giải bài toán đặt ở cuối tạp chí).

Công việc, như mọi khi, được các trưởng nhóm kiểm tra và đánh giá cuối cùng được thực hiện cùng với tọa độ - các nhà toán học người Áo. Công việc của các điều phối viên và jorri đã hoàn thành trước ngày 17/7.

Cần lưu ý rằng độ khó thực tế bài toán hơi khác so với ước tính của Jorry. bài toán thứ năm hóa ra là khó nhất, theo đó những người tham gia đã cải thiện và thu về 15% số điểm có thể. Khó khăn nhất tiếp theo là lần thứ hai bài toán (26%), sau đó là lần thứ ba (38%), lần đầu tiên (52%), lần thứ tư (62%) và lần thứ sáu (65%). Độ khó của cá nhân bài toán đối với các đội đến từ các quốc gia khác nhau cũng khác nhau. Rõ ràng, sự thành công của học sinh ở các quốc gia khác nhau ở lời giải quốc gia này hay quốc gia khác bài toán phù hợp với chương trình giáo dục của họ ở trường. Như vậy, theo truyền thống, người Anh và người Pháp thường giỏi giải bài toán cho đa thức và cực trị, người Thụy Điển giỏi giải cực trị bài toán, v.v. Hầu như tất cả các đội đều hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ thứ sáu, trong đó cần phải xem một mẫu nhất định và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học; ngoại lệ duy nhất là những quốc gia mà phương pháp chứng minh này không được sử dụng rộng rãi trong các chương trình và sách giáo khoa (Phần Lan, Hà Lan, Hy Lạp, Cuba). Học sinh không thể giải được bài toán thứ năm (một hệ phương trình tuyến tính) mà không nhận thấy tính chất tổ hợp của nó dưới lớp vỏ đại số.

Học sinh của chúng tôi đã hoàn thành tốt mọi nhiệm vụ và đạt 90% số điểm có thể có ở lần đầu tiên bài toán, 79% ở lần thứ hai, 72% ở lần thứ ba, 95% ở lần thứ tư,