Có trò chơi cờ vua vô tận không?

10

E. Gik

Có trò chơi cờ vua vô tận không?

Về nguyên tắc, các quy định mới về tổ chức một trận đấu tại Giải vô địch Cờ vua Thế giới cho phép xảy ra tình huống trận đấu có thể tiếp tục vô thời hạn hoặc cho đến khi một hoặc tất cả những người tham gia hoàn toàn kiệt sức.

Một ván cờ có thể tồn tại vô thời hạn được không?

Nếu một thế cờ chiếu tướng đã xuất hiện trên bàn cờ thì rõ ràng là dù trận đấu có kéo dài bao lâu trước khi vị trí này xảy ra thì nó cũng sẽ kết thúc với một số nước đi hữu hạn. Vì vậy, trò chơi kết quả không thể là vô hạn. Ở thế hòa, ván cờ có thể tiếp tục vô thời hạn nếu không có điều khoản đặc biệt nào trong luật cờ vua.

Chúng ta hãy nhớ lại luật cờ vua nổi tiếng trong một ván cờ: nếu cùng một vị trí xuất hiện trên bàn cờ ba lần trở lên thì lúc đó bạn có quyền yêu cầu hòa. Nói rằng một vị trí phải ở cùng một phía và ảnh hưởng bên trong của vị trí đó cũng phải giống nhau (điều này áp dụng cho việc nhập thành và cầm đồ “trên lối đi”).

Chúng tôi sẽ giả định rằng với việc lặp lại vị trí gấp ba lần, một trận hòa sẽ tự động xảy ra. Khi đó, từ số lượng hữu hạn các thế cờ, suy ra rằng thời gian của một ván cờ bị giới hạn ở trên. Hãy ký hiệu số vị trí khác nhau trên bảng là A.

Bài tập 1. Tìm giới hạn trên của A.

Rõ ràng là không có trò chơi nào có thể kéo dài hơn 3 nước đi (theo nước đi chúng tôi muốn nói là hai nước đi).

11

nửa bước - trắng và đen). Thật vậy, trong thời gian này, ít nhất một vị trí sẽ được lặp lại ba lần (nếu đến lượt của cùng một bên), và nếu trận đấu chưa kết thúc sớm hơn thì trọng tài sẽ ghi chung một trận hòa. Do đó, theo giả định của chúng tôi (không có trong luật cờ vua!), quy tắc lặp lại một vị trí ba lần sẽ loại trừ một trò chơi bất tận.

Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng không có gì là thực khi lặp lại không phải cùng một vị trí ba lần mà là cùng một chuỗi động tác liên tiếp. Hãy chứng minh rằng với điều kiện này có thể tồn tại một ván cờ vô hạn, nghĩa là có một ván cờ trong đó không có chuỗi nước đi nào được lặp lại ba lần liên tiếp.

Hãy xem xét trường hợp đơn giản nhất khi chỉ có quân vua di chuyển trên bàn cờ. Hơn nữa, chúng tôi sẽ chỉ cho phép mỗi người trong số họ cơ động trên ba cánh đồng! Cho vua trắng di chuyển ở góc dưới bên trái - dọc theo các ô a1, a2, b1 và vua đen ở phía trên bên phải - dọc theo các ô h8, h7, g8 và không có quân nào khác trên bàn cờ. Chúng ta hãy biểu thị chuyển động theo chiều kim đồng hồ của mỗi quân vua là 1 và chuyển động ngược chiều kim đồng hồ là 2. Nếu vị trí ban đầu của quân hậu là cố định thì mỗi chuyển động của chúng tương ứng với một chuỗi giới hạn gồm một và hai. Điều ngược lại cũng đúng: bất kỳ chuỗi số một và số hai nào cũng xác định một chuyển động nhất định của quân hậu. Ví dụ: nếu quân vua ở các ô góc (trắng - trên a1, đen - trên h8), thì chuỗi 12 21 21 12 21 12 tương ứng với các nước đi sau: 1. Kr a1-a2 (thành viên đầu tiên của chuỗi 1 - vua trắng đi theo chiều kim đồng hồ) 1 … Kr h8 - g8 (đoạn thứ 2 2 - vua đen di chuyển ngược chiều kim đồng hồ) 2. Kr a2-a1 Kr g8 - h8 3. Kr a1 - b1 Kr h8 - h7. 4. Kr b1 - a1 Kr h7 - h8 5. Kr a1 - b1 Kr h8 - h7 6. Kr b1 - a1 Kr h7 - h8.

Như vậy, theo ngôn ngữ toán học, bài toán của chúng ta có thể được phát biểu như sau: chứng minh rằng tồn tại một dãy vô hạn gồm các số 1 và 2, trong đó không có ba số liền kề giống hệt nhau. Trong cuốn sách của A. M. và I. M. Yaglomov *) người ta đã chứng minh rằng có những dãy cụ thể tùy ý bao gồm các số 1 và 2, trong đó không có số liền kề giống hệt nhau. Do đó, có một trò chơi vô hạn trong đó không có chuỗi nước đi nào xảy ra ba lần liên tiếp.

Bây giờ chúng ta hãy chỉ ra các quy tắc của mã cờ vua loại trừ sự tồn tại của một ván cờ vô hạn.

Trước hết, đây là “quy tắc năm mươi nước đi”: nếu trong 50 nước đi liên tiếp không có một quân cờ nào bị bắt trên bàn cờ và không có một con tốt nào thực hiện một nước đi, thì trò chơi được coi là hòa. Thứ hai, trò chơi được coi là hòa nếu xuất hiện một thế cờ mà không thể thắng được (vua chống lại vua, vua chống lại vua và quân phụ, vua và giám mục chống lại vua và giám mục “cùng màu”).

*) A. M. Yaglom, I. M. Yaglom. Không tiểu học bài toán trong bài thuyết trình tiểu học. M., Gostekhidat, 1954. Bài toán 1236).
**) «Kvant», 1975, № 9.