Các yếu tố tĩnh học của vật thể biến dạng

42

L. Tabachnikov

Các phần tử tĩnh của vật thể biến dạng

Ở lời giải bài toán về trạng thái tĩnh của vật rắn, người ta thường cho rằng vật đó là rắn tuyệt đối (không thể biến dạng). Trên thực tế, tất cả các vật thể tồn tại trong tự nhiên đều bị biến dạng dưới tác dụng của các lực tác dụng lên chúng - chúng thay đổi kích thước và đôi khi là hình dạng. Hóa ra là không thể áp dụng các vị trí không xoắn của các chỉ số của vật thể cứng tuyệt đối cho vật thể có thể biến dạng.

Ví dụ, trong trường hợp một vật rắn tuyệt đối, bất kỳ lực nào không làm thay đổi trạng thái cân bằng của vật đều có thể bị trục dọc theo đường tác dụng của nó. Trong trạng thái tĩnh học của một vật thể có thể biến dạng, điều này là không thể chấp nhận được. Thật vậy, nếu lực $\vec{F}$ tác dụng tại điểm $A$ (Hình 1, a), bầu trời sẽ phát triển dọc theo toàn bộ chiều dài $l$; khi nó di chuyển đến điểm $B$, nó chỉ phát triển dọc theo chiều dài $l_1$ (Hình 1, b). Do đó, mặc dù sự cân bằng của toàn bộ thanh được duy trì, độ giãn dài và hướng trạng thái của thanh trong quá trình tái tạo xương của giấc mơ $\vec{F}$ dọc theo đường hành động của nó sẽ thay đổi.

Một ví dụ khác. Hình 2 cho thấy một thanh được cố định ở một đầu. Hai lực $\vec{F}$ và $-\vec{F}$ tác dụng vào đầu kia, có độ lớn tuyệt đối bằng nhau, ngược chiều và nằm trong cùng một mặt phẳng (chúng thường được gọi là một cặp lực). Trong trạng thái tĩnh của một vật thể hoàn toàn cứng nhắc, một cặp lực không làm thay đổi trạng thái cân bằng của vật thể có thể bị điều chỉnh lại dọc theo đường tác dụng của nó. Trong trạng thái tĩnh học của một vật thể có thể biến dạng, điều này là không thể chấp nhận được. Thật vậy, nếu lực $\vec{F}$ tác dụng tại điểm $A$ (Hình 1, a), độ cứng tăng dọc theo toàn bộ chiều dài $l_1$.

Ngoài biến dạng kéo và xoắn, trong thực tế cũng gặp các loại biến dạng khác. Chúng ta hãy giới hạn việc xem xét biến dạng kéo (hoặc lăn) dọc trục.

Khi xem xét các điều kiện cân bằng của một vật thể biến dạng, người ta thường chia tất cả các lực tác dụng lên vật thể thành bên ngoài và bên trong (lực đàn hồi). Ngoại lực gây ra gia tốc của một số bộ phận cơ thể so với các bộ phận khác,

44

Cơm. 4.
Tôi ăn $\sigma_{\text{доп}}$. Chúng tôi giả sử một điện áp được xác định bằng thực nghiệm. Do đó, các điều kiện cường độ mẫu có thể được viết như sau:
$$\sigma \leq \sigma_{\text{доп}}.$$
Hãy giải quyết vấn đề cụ thể hơn một chút.

Bài toán 2. Xác định độ giãn dài của thanh thép có bậc (Hình 4, a), chịu lực dọc trục $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ ($|\vec{F}_1| = 20\text{kH}, |\vec{F}_2| = 30\text{kH}$). Độ dài của các phần thanh bằng $l_1 = 1\text{m}$ và $l_2 = 2\text{m}$, các mặt cắt ngang bằng $S_1 = 1\text{cm}^2$ và $S_2 = 2\text{cm}^2$,_module $I\text{Онеа} E = 2 \cdot 10^5\text{MH/m}^2$ tương ứng. Thanh không phải là không có trọng lượng.

Rõ ràng, độ giãn dài tổng cộng của thanh bậc bằng tổng độ giãn dài của các phần của nó:
$$\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2.$$
Để xác định $\Delta l_1$ và $\Delta l_2$, chúng ta tìm lực đàn hồi dọc $\vec{N}_1$ và $\vec{N}_2$ lần lượt xuất hiện ở phần dưới và phần trên của thanh.

Tính thanh bằng mặt phẳng $I$ và viết các điều kiện của phần bị cắt của thanh trong các hình chiếu lên trục $X$ (Hình 4, b):
$$N_1 + F_1 = 0.$$
Từ đây
$$N_1 = -F_1 = |\vec{F}_1| = 20\text{kH}.$$
Hãy tìm $\vec{N}_2$ theo cách tương tự. Chúng ta hãy vẽ mặt phẳng phần $II$ và viết mối quan hệ

tương ứng với điều kiện cân bằng của phần bị cắt (Hình 4, f):
$$N_2 + F_1 + F_2 = 0,$$
hoặc
$$N_2 = -F_1 - F_2 = |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = -10\text{kH}.$$
Dấu âm của $y$ $N_2$ biểu thị lực dọc $\vec{N}_2$ hướng xuống dưới; do đó, ở phần trên đã nói đến cây gậy.

Theo định luật Hooke,
$$\Delta l_1 = \frac{N_1 l_1}{ES_1}, \quad \Delta l_2 = \frac{N_2 l_2}{ES_2},$$
Và
$$\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = \frac{1}{E} \left( \frac{N_1 l_1}{S_1} + \frac{N_2 l_2}{S_2} \right) = 0,5 \cdot 10^{-3}\text{m} = 0,5\text{mm}.$$
Bài toán 3. Một tải có khối lượng $m = 2$ t đỡ hai thanh thép tròn giống hệt nhau, nối bản lề tại nút $A$ và tạo một góc $\alpha = 60^\circ$ với phương thẳng đứng (Hình 5). Xác định đường kính mặt cắt ngang của mỗi thanh nếu chúng ta cho phép ứng suất đối với thép $\sigma_{\text{доп}} = 160\text{MH/m}^2$.

Hãy xem xét nút $A$. Ba lực tác dụng lên nó: trọng lượng của tải $\vec{P}$ ($|\vec{P}| = m|\vec{g}|$) và phản lực của các thanh $\vec{R}_1$ và $\vec{R}_2$. Hãy viết các điều kiện của nút $A$ trong các hình chiếu trên trục tọa độ $X$ và $Y$:
$$-|\vec{R}_1| \sin \alpha + |\vec{R}_2| \sin \alpha = 0,$$
$$|\vec{R}_1| \cos \alpha + |\vec{R}_2| \cos \alpha - m|\vec{g}| = 0.$$
Từ đây
$$|\vec{R}_1| = |\vec{R}_2| = |\vec{R}| = \frac{m|\vec{g}|}{2\cos \alpha}.$$

45

Cơm. 6.

Các lực đàn hồi $\vec{N}$ phát sinh trong mỗi thanh có độ lớn bằng các phản lực:

$$|\vec{N}| = |\vec{R}| = \frac{m |g|}{2 \cos \alpha}$$

Từ điều kiện sức bền của thanh suy ra rằng

$$\sigma = \frac{|\vec{N}|}{S} \leq \sigma_{\text{доп}}$$

hoặc

$$S = \frac{\pi d^2}{4} \geq \frac{|\vec{N}|}{\sigma_{\text{доп}}} = \frac{m |g|}{2 \sigma_{\text{доп}} \cos \alpha}$$

Khi đó đường kính mỗi thanh

$$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}} \geq \sqrt{\frac{2m |g|}{\pi \sigma_{\text{доп}} \cos \alpha}} = 1,25 \cdot 10^{-2} \text{m} = 1,25 \text{ см.}$$

Chúng tôi chấp nhận $d = 1,25 \text{ см.}$.

Để kết luận, chúng ta hãy xem xét trường hợp khi bài toán thống kê hoàn toàn không thể giải được nếu các vật thể có trong hệ được coi là rắn tuyệt đối. Hình 6 cho thấy ví dụ về ba hệ thống như vậy. Trong trường hợp một thanh cố định ở cả hai đầu (Hình 6, a), để xác định hai phản lực chưa biết $\vec{R}_A$ và $\vec{R}_B$, chỉ có thể viết một điều kiện (trong hình chiếu lên trục $X$).

Trong một hệ gồm ba thanh (Hình 6, b), để xác định ba phản lực ($\vec{R}_1, \vec{R}_2$ và $\vec{R}_3$), chỉ có thể viết được hai điều kiện cân bằng (trong các hình chiếu trên trục $X$ và $Y$). Đối với hệ như trong Hình 6, b, để xác định ba lực chưa biết ($\vec{R}_1, \vec{R}_2$ và $\vec{R}_3$), chúng ta cũng chỉ có thể viết ra hai điều kiện cân bằng (hình chiếu của tất cả các lực lên trục tung bằng 0 và mô men của tất cả các lực bằng 0, chẳng hạn như điểm $A$).

Những hệ thống như vậy thường được gọi là hệ thống không xác định tĩnh. Làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy tất cả các lực phản ứng chưa biết trong những trường hợp này? Hóa ra có thể xây dựng các phương trình bổ sung dựa trên điều kiện tương thích của các biến dạng.

Hãy để chúng tôi chỉ ra cách giải quyết bài toán tương tự.

Bài toán 4. Trong nước tiểu $C$, nằm trên trục của một thanh trụ cố định hai đầu (Hình 6, a), để xác định hai lực phản ứng chưa biết $\vec{R}_A$ và $\vec{R}_B$.

Hãy viết phương trình cân bằng của thanh hình chiếu lên trục $X$:

$$R_A + R_B + F = 0.$$

Để xác định hai ẩn số ($R_A$ và $R_B$), một phương trình là không đủ. Hãy tạo một phương trình khác - phương trình tương thích của các biến dạng (chuyển vị).

46

Để làm điều này, về mặt tinh thần, chúng ta giải phóng thanh khỏi sự buộc chặt của nó, chẳng hạn như ở phần dưới $A$, và thay thế hành động buộc chặt bằng ngoại lực $\vec{R}_A$. Ta biểu thị bằng $\Delta l_1$ độ giãn dài của thanh (độ dịch chuyển của tiết diện $A$)

dưới tác dụng của lực $\vec{F}$, và thông qua $\Delta l_2$ - độ giãn dài của thanh (một lần nữa, chuyển động của phần $A$) dưới tác dụng của lực $\vec{R}_A$. Trên thực tế, thanh không dài ra (phần $A$ không chuyển động). Do đó, phương trình tính tương thích của các biến dạng (chuyển vị) có thể được viết dưới dạng: $\Delta l_1 + \Delta l_2 = 0$.

Chúng tôi tìm thấy các giá trị của $\Delta l_1$ và $\Delta l_2$ từ định luật Hooke (để biết thêm chi tiết, xem bài toán 2), có tính đến $N_1 = -F = |\vec{F}|$ và $N_2 = -R_A$:

$$\Delta l_1 = \frac{|\vec{F}|b}{ES} \quad \text{и} \quad \Delta l_2 = -\frac{R_A(a+b)}{ES}.$$

Xét rằng $a+b=l$, chúng tôi nhận được:

$$\frac{|\vec{F}|b}{ES} - \frac{R_A l}{ES} = 0,$$

Ở đâu

$$R_A = |\vec{F}| \frac{b}{l}.$$

Từ điều kiện cân bằng của thanh ta tìm được $R_B$:

$$R_B = |\vec{F}| - R_A = |\vec{F}| \frac{a}{l}$$

Các phép chiếu $R_A$ và $R_B$ là dương; Điều này có nghĩa là hướng thực tế của các phản lực trùng với hướng được chấp nhận trong Hình 6, $a$.

Bài tập

1. Xác định các phương của thanh và độ giãn dài tổng cộng của nó trong các tiết diện 1, 11, 111

(Để bắt đầu, xem trang 7)
Lunokhod-1. Nó được thực hiện như một sự hợp tác quốc tế của các chuyên gia Pháp. Gương phản xạ này bao gồm 14 đường thẳng tứ diện làm bằng thạch anh thẳng. Các mép phản chiếu của mỗi đường thẳng được phủ một lớp bạc mỏng, được bảo vệ bởi một lớp thạch anh định hướng; Thiệt hại được mài trực tiếp với độ chính xác 0,07 micron (nghĩa là kích thước của độ nhám không vượt quá 0,07 micron).

Việc sử dụng các gương phản xạ góc được đưa lên Mặt trăng giúp có thể thay đổi khoảng cách Trái đất-Mặt trăng với độ chính xác rất cao lên tới 0,1 m bằng chùm tia laser định vị.

Các ví dụ chúng tôi đưa ra không làm cạn kiệt các ứng dụng đa dạng của thiết bị phản xạ góc đơn giản và đáng tin cậy.