Olympic Toán quốc tế dành cho học sinh lần thứ XX

55

Olympic Toán quốc tế dành cho học sinh lần thứ XX

Thế vận hội XX diễn ra vào tháng 7 năm 1978 tại Bucharest. Các đội từ 17 quốc gia đã tham gia vào nó. Như thường lệ, đội tuyển của mỗi nước gồm có 8 học sinh. Những người tham gia được tặng 6 bài toán - 3 trong mỗi hai ngày ở miền bắc. Đối với lời giải, mỗi bài toán zhorny có một số điểm nhất định. Tổng số điểm tối đa có thể có cho lời giải của tất cả bài toán đối với một cá nhân tham gia là 40, và do đó, đối với toàn đội - 320 điểm. Ở mùa hè không chính thức, đội Romania dẫn trước (237 điểm). Tiếp theo là các đội Mỹ (225 điểm), Anh (201 điểm), Việt Nam (200 điểm), Tiệp Khắc (195 điểm). (Đội tuyển Liên Xô không tham gia Olympic này.) Bốn Olympic bài toán XX được đặt vào Vấn đề «Kvant» của vấn đề này. Các điều kiện của tất cả bài toán và lời giải bài toán không có trong Bài toán được đưa ra dưới đây.

Ngày đầu tiên

1. Đặt $m$ và $n$ là các số tự nhiên sao cho $n > m \geqslant 1$. Trong ký hiệu thập phân, nhóm ba chữ số cuối của 1978$^m$ giống với nhóm ba chữ số cuối của 1978$^n$. Tìm $m$ và $n$ sao cho tổng của $m+n$ là nhỏ nhất.

2. Đặt $P$ là một điểm cho trước bên trong một hình cầu nhất định và $A, B, C$ là ba điểm tùy ý của hình cầu này sao cho các đoạn $PA, PB, PC$ vuông góc với nhau. Đặt $Q$ là đỉnh của hình bình hành được xác định bởi các đoạn $PA, PB$ và $PC$ đối diện theo đường chéo với $P$. Xác định vị trí hình học của điểm $Q$.

3. Tập hợp tất cả các số tự nhiên là hợp của hai tập con rời nhau $\{f(1), f(2), \dots, f(n), \dots\}$, $\{g(1), g(2), \dots, g(n), \dots\}$, trong đó $f(1) < f(2) < \dots < f(n) < \dots$, $g(1) < g(2) < \dots < g(n) < \dots$ và $g(n) = f(f(n)) + 1$ cho tất cả $n \geqslant 1$. Xác định $f(240)$.

Ngày thứ hai

4. Vòng tròn tiếp xúc bên trong vòng tròn ngoại tiếp tam giác đùi phải $ABC$, cũng như các cạnh bằng $AB, AC$ của tam giác này tại các điểm $P, Q$, tương ứng. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $PQ$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

5. Cho $\{a_k\} (k=1, 2, \dots, n)$ là một dãy số tự nhiên phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ bất đẳng thức

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2} \geqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}.$$

6. Hiệp hội quốc tế bao gồm đại diện từ 6 quốc gia khác nhau. Danh sách hội viên của hội gồm có 1978 tên, đánh dấu bằng số 1, 2,…, 1978.

Chứng minh rằng có ít nhất một thành viên của xã hội có số lượng bằng tổng số của hai thành viên ở nước anh ta hoặc gấp đôi số thành viên nào đó ở nước anh ta.

Lời giải

Bài toán 1. Từ điều kiện suy ra $1978^n - 1978^m = 1978^m (1978^n - m - 1) = 1000 a$, trong đó $a$ là một số tự nhiên nào đó. Từ đó, rõ ràng rằng $m \geqslant 3: 1978^m$ phải chia hết cho 8. Vẫn còn phải tìm $n-m$ trong đó $A = 1978^n - m - 1$ chia hết cho 5$^3$. Dễ dàng kiểm tra được rằng $A$ chỉ chia hết cho 5 khi $n-m=4k$. Vì chúng ta quan tâm đến phần dư khi chia số $A$ cho 125, nên chúng ta có thể thay 1978 bằng 103 và 103$^4$ bằng 6. Khi đó, $6^k - 1 = (1 + 5)^k - 1 = k \cdot 5 + \frac{k(k-1)}{2} - 5^2 + \dots$, trong đó các số hạng bị bỏ qua sẽ chia hết cho 125. Do đó, $2k + 5(k-1)k = k(5k-3)$ chia hết cho 25, do đó $k$ chia hết cho 25. Do đó $n-m=100k$ và $n+m=100k+2m$. Đáp số: 106.

Bài 5. Dễ dàng kiểm tra rằng từ $x_1 > x_2$, $y_1 > y_2$ nó dẫn đến $x_1y_1 + x_2y_2 > x_1y_2 + x_2y_1$. Do đó, với $k_1 < k_2$ và $a_{k_1} > a_{k_2}$ chúng ta thu được

$$\frac{a_{k_1}}{k_1^2} + \frac{a_{k_2}}{k_2^2} \geqslant \frac{a_{k_2}}{k_1^2} + \frac{a_{k_1}}{k_2^2}.$$

Hãy sắp xếp lại tất cả $a_k$ với $k=1, \dots, n$ theo thứ tự tuổi của chúng: $a_{k_1} < a_{k_2} < \dots < a_{k_n}$. Sau đó bởi (*)

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2} \geqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{i^2}.$$

Xét rằng $a_{k_i} \geqslant i$ chúng ta thu được một bất đẳng thức ngoại lệ.

V. Skovortsov