Элементы статики деформируемых тел

42

Л. Табачников

Элементы статки деформаруемых тел

При решении задач на статку твердых тел обычно предполагается, что тела абсолотно твердые (не деформаруемые). На самом деле все существующие в природе тела под действием приложенных к ним сил деформаруются — изменяют свои размеры, а иногда и форму. Оказывается, неоторные положения statки абсолотно твердых тела нельзя применять к деформаруемым телам.

Например, в случае абсолотно твердого тела любую силу, не изменяющая состояние равновесия тела, можно переосить вдоль линии ее действия. В statике деформаруемого тела это недопустимо. Действительно, если сила $\vec{F}$ приложена в точке $A$ (рис. 1, а), твердень растит по всей длине $l$, при переоссе сны в точку $B$ — только по длине $l_1$ (рис. 1, б). Таким образом, хотя равновесие всего стержня сохраняется, удлинение и направление состояние стержня при переоссе сны $\vec{F}$ вдоль линии ее действия изменяются.

Еще один пример. На рисунке 2 изображен стержень, закрепленный с одной конца. К другому концу приложены две силы, $\vec{F}$ и $-\vec{F}$, равные по абсолотной величины, противоположные по направлению и лежащие в одной плоскости (их обычно называют парой сил). В statике абсолотно твердого тела пару сил, не изменяющая состояние равновесия тела, можно переосить вдоль линии ее действия. В statике деформаруемого тела это недопустимо. Действительно, если сила $\vec{F}$ приложена в точке $A$ (рис. 1, а), твердень растит по всей длине $l_1$.

Кроме деформаций растяжения и кручения на практике встречаются и другие виды деформаций. Ограничимся рассмотрением деформации осевого растяжения (или скатания).

При рассмотрении условий равновесия деформаруемого тела принято все приложенные к телу силы делить на внешние и внутренние (силы упругости). Внешние силы вызываютускорение одних частей тела относительно других, в

44

Рис. 4.
ем $\sigma_{\text{доп}}$. Допускаем напряжение определенная опытным путем. Таким образом, условия прочности образца можно записать так:
$$\sigma \leq \sigma_{\text{доп}}.$$
Решим несколько конкретизадан.

Задача 2. Определить удлинение стального ступенчатого стержня (рис. 4, а), к которой приложены осевые силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$ ($|\vec{F}_1| = 20\text{kH}, |\vec{F}_2| = 30\text{kH}$). Длины участков стержня равны $l_1 = 1\text{m}$ и $l_2 = 2\text{m}$, поперечные сечения равны, соответствующей, $S_1 = 1\text{cm}^2$ и $S_2 = 2\text{cm}^2$,_modуль $I\text{Онеа} E = 2 \cdot 10^5\text{MH/m}^2$. Стержень ситамь неевесым.

Очевидно, что общее удлинение ступенчатого стержня равно сумме удлинений его участков:
$$\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2.$$
Для определения $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$ найдем продольные силы упругости $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$, возникшие, соответственно, в нижнем и верхнем участках стержня.

Рассчет стержень плоскостью $I$ и запишем условия отсеченной части стержня в проекциях на ось $X$ (рис. 4, б):
$$N_1 + F_1 = 0.$$
Отсюда
$$N_1 = -F_1 = |\vec{F}_1| = 20\text{kH}.$$
Аналогично найдем $\vec{N}_2$. Проведем плоскость сечения $II$ и запишем со-

ответствующей условия равновесия для отсеченной части (рис. 4, е):
$$N_2 + F_1 + F_2 = 0,$$
или
$$N_2 = -F_1 - F_2 = |\vec{F}_1| - |\vec{F}_2| = -10\text{kH}.$$
Отрицательный знак $y$ $N_2$ показывает, что продольная сила $\vec{N}_2$ направлена вниз; следовательно, в верхнем участке стержень скажать.

В соответствии с законом Гука,
$$\Delta l_1 = \frac{N_1 l_1}{ES_1}, \quad \Delta l_2 = \frac{N_2 l_2}{ES_2},$$
и
$$\Delta l = \Delta l_1 + \Delta l_2 = \frac{1}{E} \left( \frac{N_1 l_1}{S_1} + \frac{N_2 l_2}{S_2} \right) = 0,5 \cdot 10^{-3}\text{m} = 0,5\text{mm}.$$
Задача 3. Груз массы $m = 2$ т поддерживающим два одинаковых круглых стальных стержня, соединенных шарнирно в узле $A$ и составляющих угол $\alpha = 60^\circ$ с вертикалью (рис. 5). Определить диаметр сечения каждого стержня, если допускаем напряжение для стали $\sigma_{\text{доп}} = 160\text{MH/m}^2$.

Рассмотрим узел $A$. На него действуют три силы: вес груза $\vec{P}$ ($|\vec{P}| = m|\vec{g}|$) и силы реакции стержней $\vec{R}_1$ и $\vec{R}_2$. Запишем условия узла $A$ в проекциях на оси координат $X$ и $Y$:
$$-|\vec{R}_1| \sin \alpha + |\vec{R}_2| \sin \alpha = 0,$$
$$|\vec{R}_1| \cos \alpha + |\vec{R}_2| \cos \alpha - m|\vec{g}| = 0.$$
Отсюда
$$|\vec{R}_1| = |\vec{R}_2| = |\vec{R}| = \frac{m|\vec{g}|}{2\cos \alpha}.$$

45

Рис. 6.

Силы упругости $\vec{N}$, возникшие в каждом стержне, равны по модулю силам реакции:

$$|\vec{N}| = |\vec{R}| = \frac{m |g|}{2 \cos \alpha}$$

Из условия прочитности стержней следует, что

$$\sigma = \frac{|\vec{N}|}{S} \leq \sigma_{\text{доп}}$$

или

$$S = \frac{\pi d^2}{4} \geq \frac{|\vec{N}|}{\sigma_{\text{доп}}} = \frac{m |g|}{2 \sigma_{\text{доп}} \cos \alpha}$$

Тогда диаметр каждой стержня

$$d = \sqrt{\frac{4S}{\pi}} \geq \sqrt{\frac{2m |g|}{\pi \sigma_{\text{доп}} \cos \alpha}} = 1,25 \cdot 10^{-2} \text{m} = 1,25 \text{ см.}$$

Принимаем $d = 1,25 \text{ см.}$.

В заключение рассмотрим случай, когда задачи статики вообще не могут быть решены, если входящие в системы тела считать абсолотно твердыми. На рисунке 6 приведены примеры трех таких систем. В случае стержня, закрепленного с обихом концов (рис. 6, а), для определения двух неизвестных сил реакции $\vec{R}_A$ и $\vec{R}_B$ можно записать лишь одно условие (в проекциях на ось $X$).

В системе, состоящей из трех стержней (рис. 6, б), для определения трех сил реакции ($\vec{R}_1, \vec{R}_2$ и $\vec{R}_3$) можно записать лишь два условия равновесия (в проекциях на оси $X$ и $Y$). Для системы, показанной на рисунке 6, б, для определения трех неизвестных сил ($\vec{R}_1, \vec{R}_2$ и $\vec{R}_3$) тоже можно записать лишь два условия равновесия (равенство нулю проекций всех сил на вертикальную ось и равенство нулю моментов всех сил относительно, например, точки $A$).

Такие системы принято называть статически неопределенными системы. Как же в этих случаях найти все неизвестные сил реакции? Оказывается, можно составить дополнительные уравнения, исходя из условия совместности деформаций.

Покажем, как решаются подобные задачи.

Задача 4. В мочее $C$, находящаяся на оси цилиндрического стержня, закрепленного с обихом концов (рис. 6, а), для определения двух неизвестных сил реакции $\vec{R}_A$ и $\vec{R}_B$.

Запишем уравнение равновесия стержня в проекциях на ось $X$:

$$R_A + R_B + F = 0.$$

Для определения двух неизвестных ($R_A$ и $R_B$) одного уравнения недостаточно. Составим еще одно уравнение — уравнение совместности деформаций (перемещений).

46

Для этого мысленно освободим стержень от закрепления, например, в нижнем сечении $A$, и заменим действие закрепления внешней силой $\vec{R}_A$. Обозначим через $\Delta l_1$ удлинение стержня (перемещение сечения $A$)

под действием силы $\vec{F}$, а через $\Delta l_2$ — удлинение стержня (опять-tаки перемещение сечения $A$) под действием силы $\vec{R}_A$. В действительности стержень не удлияется (сечение $A$ не перемещается). Следовательно, уравнение совместности деформаций (перемещений) можно записать в виде: $\Delta l_1 + \Delta l_2 = 0$.

Значения $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$ найдем из закона Гука (подробнее см. задачу 2), принимая во внимание, что $N_1 = -F = |\vec{F}|$ и $N_2 = -R_A$:

$$\Delta l_1 = \frac{|\vec{F}|b}{ES} \quad \text{и} \quad \Delta l_2 = -\frac{R_A(a+b)}{ES}.$$

Учитывая, что $a+b=l$, получаем:

$$\frac{|\vec{F}|b}{ES} - \frac{R_A l}{ES} = 0,$$

откуда

$$R_A = |\vec{F}| \frac{b}{l}.$$

Из условия равновесия стержня найдем $R_B$:

$$R_B = |\vec{F}| - R_A = |\vec{F}| \frac{a}{l}$$

Проекции $R_A$ и $R_B$ положительные; значит, действительные направления сил реакции совпадают с принятыми на рисунке 6, $a$.

Упражнения

1. Определить в сечениях 1, 11, 111 направления стержня и полное его удлине-

(Начало см. на с. 7)
Луноход-1. Изготовлен он был в порядке междунарного сотрудничества французскими специалистами. Этот отражатель состоит из 14 четырехгранных прямы, сделанных изправленного кварца. Отражающие грани каждой прямы покрыты тонким слоем середра, который предохраняет слоем направного кварца; повреждность прямы отшлифована с точностью до 0,07 мкм (то есть размеры шероховатостей не превышает 0,07 мкм).

Использование угловых отражателей, доставленных на Луну, позволило с помощью лазерного луча локатора изменить расстояние Земля — Луна с очень высокой точностью до 0,1 м.

Приведенные нами примеры далеко не исчерпывают многообразия применений простого и надежного устройства углового отражателя.