Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

40

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Ниже мы публикуем варианты вступительных письменных экзаменов по математике на гуманитарных факультетах МГУ в 1978 г.

Математика

Отделение политэкономии экономического факультета

1. Решить уравнение
   $$\log_{(2-2x^2)}(2-x^2-x^4) = = 2 - \frac{1}{\log_4(2-2x^2)}.$$

2. В плоскости даны квадрат $ABCD$ (с последовательно обозначенными вершинами) и точка $O$. Известно, что
   $$|OA| = |OC| = 10, \quad |OD| = 6\sqrt{2}$$
   длина стороны квадрата не превышает 3. Найти площадь квадрата. Где расположена точка $O$ – вне или внутри квадрата?

3. Найти все значения параметра $c$, при которых система
   $$\begin{cases} -4x + cy = 1 + c, \\ (6 + c)x + 2y = 3 + c \end{cases}$$
   не имеет ни одного решения.

4. Изготовлено неокоторое количество проводок. Если ее намотать на катушки, на которые умеется по 800 m проводок, то одна катушка будет намотана не полностью. Если пользоваться только катушки, на которые умеется по 900 m проводок, то таких катушки попадиться на 3 меньше, а одна катушка снова будет намотана не полностью. Если же проводку намотать только на катушки, на которые умеется по 1100 m, то таких катушки попадиться еще на 6 меньше, но при этом все катушки будут намотаны полностью. Сколько метров проводок было изготовлено?

5. Найти все значения параметра $a$, при каждой из которых функция
   $$y = 5ax - \sin 8x - a \cdot \sin 3x - 3x$$
   возрастает и не имеет критических точек на всей прямой.

Отделение планирования и экономического киберnetики экономического факультета

1. Найти все корни уравнения
   $$|x^2 + 2x - 4| + 2x + 6 = 0,$$
   удовлетворяющие неравенству $x + \sqrt{18} < 1$.
2. В четырехугольнике $ABCD$ угол при вершине $B$ имеет величины $90^\circ$, а диагональ $BD$ является биссектриской этого угла. Известно, что
   $$\frac{|AB|}{2} = \frac{|BD|}{4\sqrt{2}}.$$
   Найти косинус угла между векторами $BC$ и $AD$.
3. Решить уравнение
   $$\log_3(x - \frac{3}{x}) = \frac{1}{\log_4(3x)} + 3.$$
4. Имеется три сплава. Первый содержит 45% олова и 55% свинца, второй содержит 10% высота, 40% олова и 50% свинца, третьий содержит 30% высота и 70% свинца. Из них необходимо составить новый сплав, содержащий 15% высота. Какое наиболее и какое наиболее процентное содержание свинца может быть в этом новом сплаве?
5. Найти множество всех действительных чисел $b$, при каждой из которых функция
   $$f(x) = 16(b+1)\sin x - \sin 2x - (16b^2 + 32b - 10)x$$
   является убывающей на все числовой прямой и не имеет критических точек.

Факультет психологии

1. Решить уравнение
   $$\log_3 \frac{3}{x} \cdot (\log_2 x) - \log_3 \frac{x^3}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2} + \log_2 \sqrt{x}.$$
2. Диагональ $BD$ четырехугольника $ABCD$ является диаметром окружности, описанной около этого четырехугольника. Вычислить длину диагонали $AC$, если $|BD| = 2$, $|AB| = 1$, $ABD : DBC = 4 : 3$.
3. Пешекод, величиспедict и мощиклист движутся по шоссе в одну сторону с постоянными скоростями. В тот момент, когда пешекод и величиспедict находится в одной точке, мощиклист был на расстоянии 6 км позади них. В тот момент, когда мощиклист достигал величины, пешекод отставал от них на 3 км. На сколько километров величиспедict обгоял пешекода в тот момент, когда пешекода настоящего мощиклист?
4. Найти множество всех таких пар действительных чисел $(a, b)$, для каждой из которых при всех $x \in \mathbb{R}$ справедливо
   $$a(\cos x - 1) + b^2 = \cos (ax + b^2) - 1.$$
5. Известно, что для некоторых квадратной функции
   $$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0$$
   выполнен неравенства