Задачи М536—М540; Ф548—Ф552

22

Задачик
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюштейн школьной программы.
Нанболее трудные задачи отмечены звездочкой.
Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 февраля 1979 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса написите на конверте номера задач, решения которых вы посылаете (например, «M536, М537», или «Ф548»). Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задачи просбапись присылать в отдельных конвертах. Решения задач из разных номеров журнала также присылайте в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: Задачик «Кванта», новая задача по физике или «… новая задача по математике»). После формирования задачи мы обычно указываем, кто ее предложил. Разумеется, не все задачи публикуются впервые. Задачи M537 — M540 предлагались на XX Международной математической олимпiadе (см. с. 55).

M536. а) Докажите, что любой прямогольник размером $m \times 2n$ клеток можно замостить двумя слоями костящек домино (плиток $1 \times 2$ клетки) так, чтобы каждой плитка верхнего слоя опиралась на две разные плитки нижнего слоя.
6) Прямогольник размером $2k \times 2n$ клеток уже замошен одним слоем костящек домино. Докажите, что его можно замостить вторым слоем так, чтобы выполнялось то же условие (т. е. чтобы плитки разных слов не совпадали).

M537. Окружность касается внутриним образом окружности, описанной вокруг равноведенного треугольника $ABC$, а также равных сторонам $AB$ и $AC$ этого треугольника в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что середина отрезка $PQ$ является центром окружности, описанной в треугольнике $ABC$.

M538. Множество всех натуральных чисел является объединением двух непересекающихся подмножества $\{f(1), f(2), \dots, f(n), \dots\}$, $\{g(1), g(2), \dots, g(n), \dots\}$, где $f(1) < f(2) < \dots < f(n) < \dots, g(1) < g(2) < \dots < g(n)$ и $g(n) = f(f(n)) + 1$ для всех $n \geqslant 1$. Определите $f(240)$.

M539. Пусть $P$ — данная точка внутри данной сферы и $A, B, C$ — произвольные три точки этой сферы также, что отрезки $PA, PB, PC$ взаимно перпендикулярны. Пусть $Q$ — вершина параллелепида, определяного отрезками $PA, PB$ и $PC$, диагонально противоположная к $P$. Определите геометрическое место точек $Q$.

M540.* Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилий, занумерованных чисlamи 1, 2, …, 1978.

Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его страны или удвоенному номеру некоторого член из его страны.

23

Ф548. Реактивная тележка массы $m$ описывает мертвую петлю по вертикальной круговой дороге радиуса $R$ с постоянной линейной скоростью $v$. Какая работа совершается силой треня при перемещении тележки из самого нижнего положения в самое верхнее? Коэффициент треня между тележкой и дорогой равен $\mu$.

О. Савченко

Ф549. Два шарика с массами $m_1$ и $m_2$ соединены пружинкой жесткости $k$; пружинка расположена горизонтально и не деформирована. Шарикам одновременно сообщаются скорости $v_1$ и $v_2$, как показано на рисунке 1, причем $|v_1| = |v_2| = v$. Найти максимальный высоту подъема системы и наиболее деформацию пружинки.

Ф550. На шероховатый медный конус (покрытый мелкой насечкой, как напильник) надеты две шайбы: алюминиевая с ответием радиуса $r=1$ см и железная с ответием радиуса $R=3$ см. Расстояние между шайбами $a=6$ см. На сколько изменится это расстояние, если конус и шайбы нагреть на $\Delta t=200$ K? Тепловые коэффициенты линейного расшириения меди, алюминия и железа равны, соответственно, $\beta_1=2,5 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$, $\beta_2=1,7 \cdot 10^{-5}$ K$^{-1}$ и $\beta_3=10^{-5}$ K$^{-1}$. Конус расположен вертикально, вершиной верхних.

Г. Коткин

Ф551. Груз массы $m$ подвешен к двум пружинкам с жесткостью $k_1$ и $k_2$ с помощью нити и блока (рис. 2). Найти период малых колебаний груза. Нить и блок считать невесомыми.

И. Словодечкий

Ф552. Волт-амперная характеристика неоновой лампы показана на рисунке 3. При каком значении $R$ сопротивления резистора, включенного в цепь, изобразенную на рисунке 4, неоновая лампа (н. л) не будет гаснуть после замыкания ключа $K$?