Задачи республиканских олимпиад 1978 года по математике

56

Задание
республикаских
олимппад 1978 года
по математике

Скоро многое читателей нашнего журнала станут участниками различных математических оптимизации 1979 года. Здесь мы помещаем ряд задач, предлагавшихся на предпоследнем.resпубликаском.type; после задачи указаны класс и фамилия автора задачи.

1. Найти все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел. (8—10)

А. Геейн

2. На плоскости дано 1978 точек. Запишем все попарные расстояния между ними. Доказать, что среди этих чисел не меньше тридцати различных. (7—10)

3. Среди всех четырехугольников с данными длинами диагоналей и данных углом между ними найти четырехугольник наименьшего периметра. (7—10)

В. Адефонов

4. На клетчатой бумаге (сторона клетки равна 1) нарисована окружность радиуса большие 2, не проходящая через узлы (вершины клеток). Наозем узел граничным для данной окружности, если хотя бы один из соседних с ним узлов (находящая на расстоянии 1) лежит по другую сторону от окружности. Найти разность между числом граничных узлов, лежащих вне окружности, и числом граничных узлов, лежащих внутри нее. (8—10).

5. На стороне AD квадрата ABCD дана точка E. Выбрать на сторонах AB и BC по точке M и K так, чтобы отрезок MK был параллелен прямой CE и четырехугольник CEMK имел наибольшую площадь. (8—10)

Э. Готман

6. Известно, что $x_1 + x_2 + x_3 + \dots + x_k = 0$, $m$ — наименьшее из чисел $x_1, x_2, \dots, x_k$, а $M$ — наибольшее. Доказать неравенство $x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_k^2 \leq -kmM$. (9—10)

7. Доказать, что $e^x \geq x^e$ при всех положительных $x$ ($e=2,718\dots$ — основание натуральных логарифмов). (10)

8. Последовательность определяется условиями $a_1 = 1$, $a_{n+1} = a_n + \sqrt{a_n^2 + 1}$. Доказать, что последовательность $b_n = a_n/2^n$ имеет предел. (9—10)

А. Еедоров

9. Дана последовательность $(a_n)$. Построим две последовательности $(b_n)$ и $(c_n)$:

$$b_n = 2a_n + a_{n-1},$$
$$c_n = a_n + 2a_{n-1}.$$

a) Известно, что $b_n \rightarrow b$. Можно ли утверждать, что последовательность $(a_n)$ имеет предел?

6. О последовательности $(b_n)$ ничего не известно, но известно, что $c_n \rightarrow c$. Можно ли утверждать, что последовательность $(a_n)$ имеет предел? (9—10)

A. Дорозовцев

10. Доказать, что если $x_1 + x_2 + x_3 = y_1 + y_2 + y_3 = x_1y_2 + x_2y_2 + x_3y_3 = 0$, причем не все $x_i$ и $y_i$ равны 0, то

$$\frac{x_1^2}{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2} + \frac{y_1^2}{y_1^2 + y_2^2 + y_3^2} = \frac{2}{3}.$$ (10)

A. Анджан

11. На белой сфере 12% площади поверхности закрашено в черный цвет. Доказать, что существует вписанный в сферу прямойный параллеленпед, все вершины которого находятся в белых точках. (10)

A. Альтшлер

12. В клетках шахматной доски произвольным образом расставлены числа 1,2,…,64. Доказать, что найдется по крайней мере три квадрата $2 \times 2$ клетки, сумма чисел в каждой из которых больше 100. (8—10)

13. Запишем число $\frac{1}{p}$, где $p > 5$, в виде бесконечной периодической десятиной дроби.

a) Доказать, что сумма цифр в периоде делится на 9.

6. Доказать, что если период содержит $mk$ цифр, то сумма $k$ значных чисел, записи которых получается разбиением перiodа на $k$ частей по $m$ цифр, делится на число 99…9 из $m$ девяток. Например:

$$\frac{1}{13} = 0,0769230 \cdot 769230 \dots; 7 + 6 + 9 + 2 + 3 + 0$$

делится на 9, 76 + 92 + 30 делится на 99, 769 + 230 делится на 999. (9—10)

A. Толльево

14. Существует ли парамида, обладающая двумя таким особенностями:

1. в основании парамиды лежит многоугольник с нечетным числом сторона;

2. если каждое ребро парамиды изображать в виде вектора, поставив стрелку в некотором направлении, то сумма всех полученных векторов равна нулевоому вектору? (9—10)

B. Михайловский

15. Можно ли на поверхности правлого тетраэдра с длинами ребер 1 указывать точку так, чтобы до каждой точки поверхности можно было дойти от одной из этих четырех, пройдя по поверхности путь не больше 1/2? (10)

H. Васильев