Bài toán M551—M555; F563—F567

32

Bài toán

M551—M555; F563—F567

M551. a) Cần bao nhiêu điểm nhỏ nhất để đánh dấu bên trong một hình ngũ giác lồi để bên trong bất kỳ tam giác nào có các đỉnh tại các đỉnh của hình ngũ giác đều có ít nhất một điểm đánh dấu?
6)* Câu hỏi tương tự cho $n$-gon lồi.
Olympic Toán thành phố Moscow

M552. a) Tìm ít nhất một cặp $(p, q)$ số nguyên khác 0 mà trilene $x^2 + px + q$ và $x^2 + qx + p$ có ​​nghiệm nguyên.
6) Tìm tất cả các cặp như vậy $(p, q)$.
E Turkevich

M553*. Cho một hình tam giác $ABC$ và $|BC| < |AC| < |AB|$. Trên cung $BA$ và $CA$, các đoạn $BD$ và $CE$ được phân biệt cũng như $|BD| = |CE| = |BC|$. Chứng minh rằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ bằng khoảng cách giữa tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
S. Người giúp việc

M554*. Chúng ta hãy gọi một số tự nhiên $n$ là tốt nếu tồn tại các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_k$ (không nhất thiết phải phân biệt) sao cho
$$a_1 + a_2 + \dots + a_k = n,$$
Và
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} = 1.$$

Được biết, mọi con số từ 33 đến 73 đều tốt. Chứng minh rằng mọi số lớn hơn 73 đều là số tốt.
Olympic Toán học Hoa Kỳ (1978)

M555. Khoảng cách giao lộ
a) hai;
b) ba
các hình trụ có cùng bán kính $r$, các trục của chúng vuông góc với nhau và đi qua một điểm. Giao điểm này có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? Khối lượng của nó là bao nhiêu?
S. Pukhov

33

F563. Các ống khí quyển ở giữa có rất nhiều không khí (Hình 1). Diện tích mặt cắt ngang của ống là $s = 0,3 \text{ cm}^2$. Ở nhiệt độ $t = 0^\circ\text{C}$ chiều dài của bàn là $l_0 = 10 \text{ cm}$. Chiều dài của cái bàn này ở $t = 20^\circ\text{C}$ sẽ là bao nhiêu?

F564. Một ô tô di chuyển dọc theo khúc cua trên đường có bán kính $R$. Đột nhiên người lái xe nhìn thấy chướng ngại vật trên đường và bắt đầu giảm tốc độ. Ô tô sẽ đi được quãng đường bao nhiêu trước khi dừng lại nếu tốc độ của nó là $v_0$, hệ số ma sát của các bánh xe trên đường là $k$ và ô tô phanh với gia tốc không đổi lớn nhất có thể?

Hình 1.

Hình 2.

F565. Hình 2, lấy từ công trình của Millikan, cho thấy sự phụ thuộc của hướng hãm vào tần số ánh sáng trong các thí nghiệm về hiệu ứng quang điện. Từ biểu đồ này, xác định tỷ số của hằng số Planck $h$ với điện tích electron $e$.

Hình 3.

F566. Một nguyên tử chuyển động với tốc độ $v (v \ll c)$ phát ra một photon nghiêng một góc nhỏ $\alpha$ so với hướng chuyển động của nó. Chứng minh rằng nếu $\omega_0$ là tần số bức xạ của một nguyên tử đứng yên và $\omega$ là tần số của sóng photon thì đối với ánh sáng khả kiến ​​$\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} \approx \frac{v}{\cos \alpha}$ (công thức Doppler).

F567. Hình 3 cho thấy sự phụ thuộc của dòng điện qua bóng đèn ô tô vào hướng đi qua nó. Bóng đèn được nối với mục tiêu như trong Hình 4. Tìm công suất do bóng đèn tỏa ra.

Hình 4.