Задачи М551—М555; Ф563—Ф567

32

Задачи

M551—M555; Ф563—Ф567

M551. a) Какое наименьшее число точек достаточно отметить внутри выпуклого пятугольника, чтобы внутри любого треугольника с вершинами в верхинах пятугольника содержалась хотя бы одна отмечная точка?
6)* Тот же вопрос для выпуклого $n$-угольника.
Московская городская математическая олимпиада

M552. a) Найдите хотя бы одну пару $(p, q)$ целых чисел, отличных от нуля, для которого трехлены $x^2 + px + q$ и $x^2 + qx + p$ имеют целые корни.
6) Найдите все такие пары $(p, q)$.
Э Туркевич

M553*. Дан треугольник $ABC$, причем $|BC| < |AC| < |AB|$. На луках $BA$ и $CA$ отличены отрезки $BD$ и $CE$ также, что $|BD| = |CE| = |BC|$. Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника $ADE$, равен расстоянию между центрами окружности, описанной около треугольника $ABC$, и окружности, описанной в него.
С. Мейдман

M554*. Наозовем натуральное число $n$ хорошим, если существуют такие натуральные числа $a_1, a_2, \dots, a_k$ (не обязательно различные), что
$$a_1 + a_2 + \dots + a_k = n,$$
и
$$\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_k} = 1.$$

Известно, что все числа между 33 и 73 — хорошие. Докажите, что все числа, больше 73, — тоже хорошие.
Математическая олимпиада США (1978 г.)

M555. Расстояние пересечения
a) двух;
b) трех
цилиндров одинакового радиуса $r$, оси которых взаимно перpendикулярны и проходят через одну точку. Сколько плоскостей симметрины имеет это пересечение? Каков его объем?
С. Пухов

33

Ф563. Посередние барометрический трубки имеют стольик воздуха (рис. 1). Площадь секения трубки $s = 0,3 \text{ cm}^2$. При температуре $t = 0^\circ\text{C}$ длина стольника равна $l_0 = 10 \text{ cm}$. Какой станет длина этого стольника при $t = 20^\circ\text{C}$?

Ф564. Автомобиль движется по повороту дороги радиуса $R$. Внезапно водитель увидел на дороге преястствие и начал тормозить. Какое расстояние автомобиль пройдет до остановки, если его скорость равна $v_0$, коэффициент трения колес о дорогу $k$ и автомобиль тормозит с максимальной возможным постоянымускорением?

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф565. На рисунке 2, взятом из работы Милликена, приведена зависимость задерживающего направления от частоты света в опытах по фотоэфекту. Определить из этого графика отношение постоянной Планки $h$ к заряду электрона $e$.

Рис. 3.

Ф566. Атом, движущийся со скоростью $v (v \ll c)$, испускает фотон под малым углом $\alpha$ к направлению свего движения. Доказать, что если $\omega_0$ — частота излучения покоящего атома, а $\omega$ — частота волны фотона, то для видимого света $\frac{\omega_0 - \omega}{\omega_0} \approx \frac{v}{\cos \alpha}$ (формула Доплера).

Ф567. На рисунке 3 приведена зависимость тока через автомобильную лампочку от направления на ней. Лампочку включают в цель, показанную на рисунке 4. Найти мощность, выделяяощуся на лампочке.

Рис. 4.