Где ошибка?

41

Где ошибка?

В некоторых школе, в некоторых (девятом) классе решалась задача. Наименование боковой поверхности прямогоольного параллеленinea, если площадь его основания равна 1, а диана диагона равна 2.

Обозначим длины сторон основания через $a$ и $b$, длину бокового ребра — через $c$. Тогда площадь $Q$ боковой поверхности будет равна $2(a+b)c$. Итак, для решения задачи нужно найти боковое значение выражения

$$Q = 2(a+b)c.$$

(1)

Из условия вытекает, что изменения параллелепипеда $a$, $b$ и $c$ связаны равенствами

$$\begin{cases} ab = 1, \\ a^2 + b^2 + c^2 = 4. \end{cases}$$

(2)

Запишем выражение (1) как функцию от одной переменной. В той школе, в том классе были предложены два способа для этого.

Первый способ. Из (2) $b = \frac{1}{a}$.

Тогда из (3) $c = \sqrt{4-a^2 - \frac{1}{a^2}}$

Значит, функция, наибольшее значение которого надо найти, имеет вид

$$Q(a) = 2\left(a + \frac{1}{a}\right)\sqrt{4-a^2 - \frac{1}{a^2}}.$$

(4)

Как полагается, возможно произвольную. Преобразовав ее, получим

$$Q'(a) = -\frac{4(a-1)(a+1)(a^4-a^2+1)}{a^3\sqrt{-a^4+4a^2-1}}$$

Области определения функции $Q(a)$ является многожествой

$$\left[-\sqrt{2+\sqrt{3}}; -\sqrt{2-\sqrt{3}}\right] \cup \left[\sqrt{2-\sqrt{3}}; \sqrt{2+}\sqrt{3}\right].$$

По смыслу обозначений $a > 0$. Таким образом, нужно найти наибольшее значение функции (4) на отрезке $\left[\sqrt{2-\sqrt{3}}; \sqrt{2+}\sqrt{3}\right]$. Объчным способом («Алгебра и начала анализ 9», п. 59) находится

$$\max Q(a) = Q(1) = 4\sqrt{2}.$$

Второй способ. Из (2) и (3) легко следует

$$(a+b)^2 + c^2 = 6$$

(5)

или

$$a+b = \sqrt{6-c^2}.$$

(6)

Из (1) и (6) получаем

$$Q(c) = 2c\sqrt{6-c^2}.$$

(7)

Опять возможно произвольную:

$$Q'(c) = \frac{6-2c^2}{\sqrt{6-c^2}}.$$

Области определения функции $Q(c)$ является отрезок $\left[-\sqrt{6}; \sqrt{6}\right]$. По смыслу обозначений $c > 0$. Поэтому будет искать наибольшее значение функции (7) на промежутке $[0; \sqrt{6}]$. Объчным способом находится

$$\max Q(c) = Q(\sqrt{3}) = 6.$$

Оказалось, что, по-разному выбрав переменную, через которой мы выражаем целевую функцию ию (1), мы получили результаты.

В той школе, в том классе довольно быстро разобрались, в чем дело. А вы?