Sai lầm ở đâu?

41

Sai lầm ở đâu?

Ở một số trường, ở một số lớp (thứ chín), bài toán đã được giải. Tên của bề mặt bên của hình bình hành hình chữ nhật nếu diện tích đáy của nó là 1 và đường chéo là 2.

Chúng ta hãy biểu thị độ dài của các cạnh đáy bằng $a$ và $b$, và độ dài của cạnh bên bằng $c$. Khi đó diện tích $Q$ của bề mặt bên sẽ bằng $2(a+b)c$. Vì vậy, với lời giải bài toán chúng ta cần tìm giá trị phụ của biểu thức

$$Q = 2(a+b)c.$$

(1)

Nó tuân theo điều kiện là sự thay đổi của các hình bình hành $a$, $b$ và $c$ có ​​liên quan bởi các đẳng thức

$$\begin{cases} ab = 1, \\ a^2 + b^2 + c^2 = 4. \end{cases}$$

(2)

Hãy viết biểu thức (1) dưới dạng hàm một biến. Ở ngôi trường đó, ở lớp học đó, có hai cách được đề xuất cho việc này.

Cách đầu tiên. Từ (2) $b = \frac{1}{a}$.

Sau đó từ (3) $c = \sqrt{4-a^2 - \frac{1}{a^2}}$

Điều này có nghĩa là hàm cần tìm giá trị lớn nhất có dạng

$$Q(a) = 2\left(a + \frac{1}{a}\right)\sqrt{4-a^2 - \frac{1}{a^2}}.$$

(4)

Đúng như dự đoán, nó có thể tùy ý. Biến đổi nó, chúng ta nhận được

$$Q'(a) = -\frac{4(a-1)(a+1)(a^4-a^2+1)}{a^3\sqrt{-a^4+4a^2-1}}$$

Miền định nghĩa của hàm $Q(a)$ là một tập hợp

$$\left[-\sqrt{2+\sqrt{3}}; -\sqrt{2-\sqrt{3}}\right] \cup \left[\sqrt{2-\sqrt{3}}; \sqrt{2+}\sqrt{3}\right].$$

Theo ý nghĩa của ký hiệu $a > 0$. Vì vậy, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm (4) trên đoạn $\left[\sqrt{2-\sqrt{3}}; \sqrt{2+}\sqrt{3}\right]$. Sử dụng phương pháp khách quan (“Đại số và phân tích ban đầu 9”, đoạn 59) người ta có thể tìm thấy

$$\max Q(a) = Q(1) = 4\sqrt{2}.$$

Cách thứ hai. Từ (2) và (3) dễ dàng suy ra

$$(a+b)^2 + c^2 = 6$$

(5)

hoặc

$$a+b = \sqrt{6-c^2}.$$

(6)

Từ (1) và (6) chúng ta thu được

$$Q(c) = 2c\sqrt{6-c^2}.$$

(7)

Một lần nữa, có thể tùy ý:

$$Q'(c) = \frac{6-2c^2}{\sqrt{6-c^2}}.$$

Miền định nghĩa của hàm $Q(c)$ là đoạn $\left[-\sqrt{6}; \sqrt{6}\right]$. Theo ý nghĩa của ký hiệu $c > 0$. Do đó, nó sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm (7) trên khoảng $[0; \sqrt{6}]$. Nó được tìm thấy một cách khách quan

$$\max Q(c) = Q(\sqrt{3}) = 6.$$

Hóa ra bằng cách chọn khác biến mà qua đó chúng ta biểu thị hàm mục tiêu u (1), chúng ta đã thu được kết quả.

Ở ngôi trường đó, trong lớp học đó, họ nhanh chóng hiểu ra chuyện gì đang xảy ra. Còn bạn thì sao?