Tổng các góc của một khối đa diện

4

A. Shirtsov, A. Nikitin

Tổng các góc của một khối đa diện

Trong hình học Euclide, định lý về tổng các góc của một đa giác phẳng chiếm một vị trí quan trọng, do đó câu hỏi đặt ra một cách tự nhiên về việc phân tích không gian của định lý này. Bài viết này mô tả phân tích như vậy và các khái niệm liên quan.

Đo góc có $n$

Chúng ta sẽ nghiên cứu mặt phẳng và góc đa diện như sau. Gọi $AOB$ là một góc tùy ý trên mặt phẳng. Chúng ta hãy dựng một đường tròn có bán kính $r > 0$ có tâm tại điểm $O$ và lấy mét góc $AOB$ là tỷ lệ giữa độ dài của cung $A'mB'$, nằm bên trong góc $AOB$, với chiều dài của toàn bộ đường tròn (Hình 1).

Ví dụ, với nghiên cứu về các góc này, một mét góc một độ bằng $\frac{1}{360}$, một mét góc l radian bằng $\frac{1}{2}$, và các định lý nổi tiếng về tổng các góc của một tam giác và tổng các góc của một hình lồi $n$-gon được xây dựng với sự tương ứng như sau: độ lớn của tổng các góc của một tam giác bằng $\frac{1}{2}$ và độ lớn của tổng các góc của một $n$-giác lồi bằng $\frac{n}{2} - 1$.

Xét một góc có cạnh $n$ tùy ý. Xung quanh đỉnh của nó (và trong trường hợp góc nhị diện, xung quanh một điểm tùy ý trên cạnh của góc này), chúng ta dựng một hình cầu và một bề mặt bằng cách sử dụng góc mặt cầu $n$, tỷ lệ diện tích của phần hình cầu nằm bên trong góc với diện tích của toàn bộ hình cầu (Hình 2).

Nếu $n > 2$ và $A_1, A_2, \dots, A_n$ là giao điểm của góc có cạnh $n$ với hình cầu, thì bằng $|A_1, A_2 \dots A_n|$ chúng ta biểu thị số đo của góc có cạnh $n$ và bằng $|\hat{A}_1|, |\hat{A}_2|, \dots, |\hat{A}_n|$ chúng ta biểu thị sự tương ứng của số đo bên trong

5

các góc nhị diện sớm $\hat{A}_1$, $\hat{A}_2$, …, $\hat{A}_n$ $n$-góc mặt đều.

Mỗi mặt của góc có mặt $n$ giao với hình cầu dọc theo một đường tròn lớn hơn và tất cả các mặt của góc có mặt $n$ cắt một hình khỏi hình cầu, thường được gọi là đường cong hình cầu $n$ (xem Hình 2).

Hình 3 và 4 thể hiện các hình cầu 2 giác và hình tam giác.

Số đo của một góc nhị diện, như có thể thấy trong Hình 3, bằng số đo của góc thẳng của nó. Từ công thức nổi tiếng về diện tích của một tam giác cầu, cho chúng ta biểu thức diện tích theo các góc đo bằng số đo radian (xem «Kvant», 1977, Số 1, trang 9), chuyển sang ký hiệu của chúng ta, chúng ta thu được

$$2|ABC| = |\hat{A}| + |\hat{B}| + |\hat{C}| - \frac{1}{2},$$

trong đó $\hat{A}$, $\hat{B}$, $\hat{C}$ là các góc lưỡng diện trong tại các cạnh $OA$, $OB$, $OC$ của góc tam giác của chúng ta.

Thật vậy, diện tích của hình $\Phi_1$, được tạo thành từ hai hình tam giác cầu $ADC$ và $A'D'C$, trùng với diện tích của 2 giác $C^*$), diện tích của hình $\Phi_2$, được tạo thành từ các tam giác $AD'B$ và $A'DB$ ​​, trùng với diện tích của 2 giác $\hat{B}$; hình $\Phi_3$, giới hạn ở mức nhận $ABA'$ và $A'CA$, là 2-giác $\hat{A}$. Giao điểm của ba hình $\Phi_1 \cap \Phi_2 \cap \Phi_3 = \Phi_1 \cap \Phi_2 = \Phi_2 \cap \Phi_3 = \Phi_3 \cap \Phi_1$ này là hình tam giác cầu $ABC$ mà chúng ta quan tâm. Do đó, khi tính tổng diện tích của ba hình này, chúng ta sẽ tính diện tích tam giác $ABC$ ba lần, tức là cộng thêm hai lần. Trừ tổng này cho diện tích nhân đôi của tam giác $ABC$, chúng ta thu được diện tích của nửa hình cầu nhìn thấy được (trong Hình 4). Vì vậy, $1/2 = |\hat{A}| + |\hat{B}| + |\hat{C}| - 2|ABC|$, tức là công thức (1) là hợp lệ.

Từ đẳng thức (1), suy ra rằng tổng số đo các góc nhị diện trong của một góc tam giác tùy ý vượt quá số đo kép của nó bằng $\frac{1}{2}$.

*) Ta ký hiệu 2 giác tương tự như cách ký hiệu góc nhị diện tương ứng.

6

Hình 5.

Bây giờ chúng ta hãy tìm số đo của một góc xiên $n$. Lưu ý rằng mọi $n$-giác lồi đều có thể chia thành các hình tam giác $n - 2$. Tương tự, bất kỳ góc $n$ lồi ($n > 2$) nào cũng có thể được chia thành các góc tam giác $n - 2$ và hình cầu $n$-gon tương ứng được chia thành các tam giác cầu $n - 2$ (Hình 5). Áp dụng công thức (1) cho tất cả các tam giác này và tổng hợp lại, chúng ta thấy rằng đối với hình cầu $n$-gon $A_1A_2 \ldots A_n$, tương ứng với một góc lồi $n$ nhất định, công thức đúng

$$|\hat{A}_1| + |\hat{A}_2| + \ldots + |\hat{A}_n| - 2|A_1A_2| \ldots A_n|$$

(nghĩa là tổng số đo của các góc hai chiều bên trong của một góc $n$ mặt là $\frac{n}{2} - 1$ lớn hơn hai lần số đo của một góc $n$ (tại $n > 2$).

Đại lượng $|\hat{A}_1| + |\hat{A}_2| + \ldots + |\hat{A}_n| - 2|A_1A_2 \ldots A_n|$ từ nay sẽ được gọi là phần dư của góc đa diện $OA_1A_2 \ldots A_n$.

Bài tập 1. Sử dụng công thức (1) và (2), ta tìm được a) số đo góc tam giác tại các đỉnh của hình lập phương; b) số đo một góc của tam giác tại các đỉnh của tam giác đều; c) số đo góc tứ giác tại các đỉnh của bát diện.

Tổng các góc của một khối đa diện

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một tứ diện tùy ý. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\alpha_i$ ($i = 1, 2, 3, 4$) các giá trị của các góc tam giác của nó và bằng $\beta_j$ ($j = 1, 2, \ldots, 6$) các giá trị của các góc hai chiều của nó. Phần dư của một góc tam giác bất kỳ là $\frac{1}{2}$, nên tổng số dư của tất cả các góc tam giác là $\frac{6}{2} \beta_j - 2 \sum_{i=1}^{4} \alpha_i = 2$. Kể từ đây,

$$\sum_{j=1}^{6} \beta_j - \sum_{i=1}^{4} \alpha_i = 1.$$

Xét một paramid $k$-giác lồi tùy ý. Chúng ta hãy biểu thị bằng $\alpha$ độ lớn của góc $k$ (ở đỉnh của paramid), bằng $\bar{\alpha}$ tổng độ lớn của tất cả các góc hai chiều ở đáy của paramid và bằng $\bar{\beta}$ tổng độ lớn của tất cả các góc hai chiều được hình thành bởi các mặt bên của nó. Như trong trường hợp của khối tứ diện, chúng ta tính tổng các phần thừa trên tất cả các đỉnh của paramid.

Từ công thức (2) suy ra $\bar{\beta} - 2\alpha = \frac{k}{2} - 1$ và từ công thức (1) chúng ta thu được $\bar{\beta} + 2\beta - 2\bar{\alpha} = \frac{1}{2} k$, do đó,

$$\beta - \bar{\alpha} + \alpha = \frac{1}{2},$$

$$\beta + \bar{\beta} - (\alpha + \bar{\alpha}) = \frac{k + 1}{2} - 1.$$

Do đó, từ các công thức (3) và (5), suy ra rằng cả đối với một khối tứ diện và đối với bất kỳ paramid $k$-giác lồi nào, hiệu giữa tổng độ lớn của tất cả các góc hai chiều và tổng độ lớn của tất cả các góc đa diện ở các đỉnh là một đại lượng phụ thuộc rất nhiều vào số mặt của paramid.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một khối đa diện lồi tùy ý có các mặt $n$ (Hình 6). Chúng ta hãy chọn một điểm bên trong tùy ý $A$ và nối nó với tất cả các điểm trên các cạnh của khối đa diện. Kết quả là chúng ta thu được sự phân chia khối đa diện thành $n$ paramit.