Định luật bảo toàn động lượng. Lực phản kháng

49

Định luật bảo toàn động lượng. Lực phản kháng

Một công thức khả thi của định luật thứ hai của Newton phát biểu rằng sự thay đổi động lượng (động lượng của chuyển động) của một hệ cơ học bằng động lượng của các ngoại lực:

$$\Delta \vec{P} = \vec{F}_{\text{внешш}} \Delta t,$$

(1)

trong đó $\vec{P} = \sum m_i \vec{v}_i$ là tổng động lượng của hệ, $\vec{F}_{\text{внешш}} = \sum \vec{F}_{j\text{внешш}}$ là tổng vectơ của các ngoại lực tác dụng lên hệ.

Đối với một hệ thống đóng (cô lập) $\vec{F}_{\text{внешш}} = 0$ và do đó,

$$\vec{P} = \text{const}$$

(2)

• xung tổng của hệ thống là một giá trị không đổi. Đây là định luật bảo toàn động lượng. Nó cho phép bạn tìm vận tốc cuối cùng của các vật tương tác tạo thành một hệ cô lập mà không đi sâu vào chi tiết về tương tác.

Cần nhớ rằng phương trình (2) là vectơ và đáp số có thể phụ thuộc đáng kể vào hướng vận tốc ban đầu của vật.

Bài toán 1. Dọc theo bề mặt chuyển động nằm ngang chính, khối lượng bên dưới $M$ với tốc độ $v$ (Hình 1). Họ bắn vào nó từ một khẩu súng, và một viên đạn có khối lượng $m$, di chuyển với tốc độ $\vec{V}$, bị mắc kẹt ở vùng nước nông. Tốc độ nông sau khi viên đạn bắn trúng nó sẽ là bao nhiêu trong trường hợp sau:

a) khi tốc độ của viên đạn hướng theo phương ngang thì vận tốc của bãi cát như thế nào, b) khi vận tốc của viên đạn hướng thẳng đứng xuống dưới?

Chúng ta hãy sử dụng định luật bảo toàn động lượng để chiếu lên hướng chuyển động ban đầu của vật.

Trong trường hợp a) ta có:

$$mV + Mv = (m + M) v_k,$$

tốc độ cuối cùng của xe ở đâu?

$$v_k = \frac{mV + Mv}{m + M}.$$

Như bạn có thể thấy, sau khi viên đạn bắn trúng, tốc độ của xe tăng lên.

Trong trường hợp b) xung lực ban đầu của viên đạn không tạo ra một hình chiếu theo hướng nằm ngang, do đó,

$$Mv = (m + M) v_k.$$

Từ đây

$$v_k = \frac{Mv}{m + M}$$

• tốc độ cuối cùng của xe tải giảm.

Bản chất vectơ của định luật bảo toàn động lượng trong một số trường hợp dẫn đến những kết quả không mong đợi.

Bài toán 2. Hai chiếc thuyền giống hệt nhau, trong đó có hai tốc độ giống nhau, chuyển động theo quán tính (gần như không có ma sát) với cùng vận tốc song song với nhau dọc theo mặt hồ (Hình 2). Chúng tôi bắt đầu đi bộ xa nhất có thể. Thể thao, ngồi thuyền đầu tiên, vớt xác ra

50

thuyền rơi sang một bên, tốc độ của thuyền thứ hai giảm xuống. Thuyền nào sẽ đi quãng đường tương tự nhanh hơn? Theo hướng vuông góc với sống tàu, thuyền không di chuyển theo mô-đun.

Như sau từ lời giải bài toán 1, khi nước có khối lượng $m$ đi vào thuyền, vận tốc ban đầu của nước hướng thẳng đứng (mưa!), tốc độ của thuyền giảm đi và có độ lớn bằng nhau

$$v_k = \frac{M}{M + m} v,$$

trong đó $M$ là khối lượng của thuyền, $v$ là mô đun tốc độ ban đầu của nó. Từ đó ta thấy rằng sự thay đổi vận tốc của thuyền

$$\Delta v = v - v_k = \frac{v}{1 + M/m}$$

tỷ lệ càng nhỏ thì tỷ lệ $M/m$ càng lớn. Vì khối lượng vào thuyền phải bằng nhau nên tốc độ giảm sẽ lớn hơn đối với thuyền mà vận động viên đang múc nước. Cũng lưu ý rằng khi nước ném sang một bên, tốc độ của thuyền không thay đổi, vì sống tàu không cho phép nó chuyển động theo hướng vuông góc.

Như vậy, khi vận động viên ngủ, anh ta sẽ vượt qua quãng đường nhất định nhanh hơn và là người đầu tiên về đích.

Nếu hệ không đóng thì sự thay đổi động lượng của nó luôn là do tác dụng của ngoại lực.

Hình 2.

Bài tập 3. Một chùm hạt có vận tốc $v$ và khối lượng $m$ rơi vào một tấm có diện tích $S$; đồng thời nó đỏ một phần và phản xạ một phần (Hình 3). Lực nào tác dụng lên tấm nếu nồng độ các hạt trong bể là $n$ và tỷ lệ các hạt lắng đọng là $\alpha$? Khoảng cách cũng có tác dụng khi bản thân tấm di chuyển với tốc độ $\vec{u}$: a) về phía chùm tia, b) cùng hướng với các hạt tới.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp của một tấm cố định. Mỗi bộ phận được tấm hấp thụ sẽ truyền động lượng $mv$ cho nó. Trong thời gian $\Delta t$ đến tấm phải là những hạt có thể tích $V = vS\Delta t$ (mô đun vận tốc hạt), tức là

$$N = nvS\Delta t$$ một phần.

Trong số này nó được hấp thụ

$$N_{\text{погл}} = \alpha N = \alpha nvS\Delta t$$ phần,

và do đó xung được truyền tới tấm

$$\vec{P}_{\text{погл}} = N_{\text{погл}} \cdot mv = \alpha nvS\Delta tmv.$$

Theo công thức (1)

tấm chịu tác dụng của một lực $\vec{F}_1$, mô đun của lực này bằng

$$F_1 = |\vec{P}_{\text{погл}}| / \Delta t = \alpha nSmv^2.$$

Trong quá trình phản xạ đàn hồi của một hạt, mô đun vận tốc của nó, và do đó mô đun động lượng của hạt, không thay đổi, nhưng hướng của vectơ động lượng thay đổi theo hướng ngược lại. Do đó, sự thay đổi động lượng của hạt

$$\Delta \vec{P} = mv - (-mv) = 2mv.$$

Số hạt phản xạ từ mặt phẳng

51

thời gian cho thời gian $\Delta t$, bằng
$N_{\text{отр}} = (1 - \alpha) N = (1 - \alpha) nvS \Delta t$.
Do đó, khi một bộ phận bị phản xạ, một xung sẽ được truyền tới tấm
$$\vec{P}_{\text{отр}} = N_{\text{отр}} \cdot 2 m v$$
$$= 2 (1 - \alpha) nv S \Delta t m v$$
dẫn đến xuất hiện một lực $\vec{F}_2$ tác dụng lên tấm. Người mẫu của cô ấy
$$F_2 = |\vec{P}_{\text{отр}}| / \Delta t = 2 (1 - \alpha) nSmv^2$$.
Tổng lực tác dụng lên tấm bằng nhau theo mô hình
$$F = F_1 + F_2 = (2 - \alpha) nSmv^2.$$ (3)
Để tìm lực tác dụng lên chuyển động, chúng ta chuyển sang hệ tọa độ chuyển động với tốc độ $u$. Trong hệ thống này, tốc độ của bộ phận tăng lên khi tấm di chuyển về phía bó: $v_1 = v + u$ và giảm khi tấm di chuyển theo hướng ngược lại: $v_2 = v - u$ (ở đây $v, u, v_1$ và $v_2$ là mô hình có tốc độ tương ứng). Nếu không thì mọi thứ vẫn giống như trong trường hợp tấm cố định. Do đó, lực tác dụng lên tấm được tính theo công thức (3), trong đó $v$ nên được thay thế bằng $v_1$ hoặc $v_2$:
$$F_a = (2 - \alpha) nSm (v + u)^2$$
$$F_6 = (2 - \alpha) nSm (v - u)^2.$$
Hình 4.

Trong trường hợp đầu tiên, vinh quang trả lại sự xuất hiện của cái gọi là lực phản kháng $\vec{F}_p$, khi một phần $\Delta m$ khối lượng của nó bị đẩy ra khỏi hệ thống với một tốc độ nhất định $\vec{u}$. Theo công thức (2)
$$\vec{F}_p = - \frac{\Delta m}{\Delta t} \vec{u}.$$
Giá trị $\mu = \Delta m / \Delta t$, bằng khối lượng của chất thải ra trong một đơn vị thời gian, được gọi là tổng lượng tiêu thụ của chất đó.
Bài toán 4. Trong quả bóng đang nổi lên, được giữ bởi nimb, tại nơi gắn nimb, một phần từ chối đã xuất hiện (Hình 4). Độ căng của nimb thay đổi như thế nào nếu tốc độ khí thiêu kết từ quả bóng bằng v? Mật độ khí p.
Theo mô hình, sự thay đổi $\Delta T$ của độ căng của sợi dây bằng phản lực phát sinh khi khí chảy ra khỏi quả bóng (có thể tránh được sự thay đổi về lực đẩy và trọng lượng của quả bóng tại thời điểm ban đầu, trong khi sự thay đổi về thể tích của quả bóng là nhỏ). Trong thời gian $\Delta t$, một thể tích khí $V = sv \Delta t$ thoát ra ngoài, khối lượng của nó $m = \rho sv \Delta t$. Do đó, dòng khí $\mu = m / \Delta t = \rho sv$ và phản lực
$$F_p = \Delta T = \rho sv^2.$$
Bài toán 5. Quạt tạo ra cố định được đặt với công suất $N$ thì hiệu suất của nó bằng η. Phản lực nào tác dụng lên quạt trong quá trình hoạt động? Đường kính cánh quạt $D$, mật độ không khí p.
Chúng ta hãy biểu thị bằng $v$ mô hình tốc độ xuất hiện của dòng chảy do quạt tạo ra. Khi đó khối lượng xuất hiện theo thời gian $\Delta t$ bằng $m = \rho v S \Delta t$, trong đó $S = \pi D^2 / 4$ là diện tích mặt cắt ngang của quá trình xuất hiện dòng chảy (Hình 5), và động năng của nó là
$$E_{\text{киин}} = \frac{mv^2}{2} = \frac{\rho v^3 S \Delta t}{2}.$$
Vì vậy công suất quạt
$$N = \frac{E_{\text{киин}}}{\eta t} = \frac{\rho v^3 S}{2\eta}.$$

52

Hình 5.

Từ đây bạn có thể tìm thấy tốc độ luồng không khí:

$$v = \left( \frac{2\eta N}{\rho S} \right)^{1/3}$$

và phản lực tác dụng lên quạt:

$$F_p = \rho S v^2 = (\rho S)^{1/3} (2\eta N)^{2/3} = (\pi \rho)^{1/3} (\eta DN)^{2/3}.$$

Nếu một hệ cơ học chuyển động với tốc độ không đổi, do đó sự thay đổi động lượng của nó chỉ xảy ra do sự giải phóng khối lượng, thì để tìm phản lực, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng hệ thống báo cáo liên quan đến vật chuyển động.

Bài toán 6. Trên một mặt phẳng nằm ngang, một bình chứa nước, được đóng bằng khung di động lekitim, trên đó đặt một tải trọng mềm có khối lượng M (Hình 6). Ở đáy bình có độ lệch với tiết diện s, qua đó nước chảy ra ngoài. Vận tốc ở trạng thái ổn định của bình là bao nhiêu nếu lực ma sát giữa bình và bề mặt tỉ lệ với vận tốc của bình và hệ số tỷ lệ bằng k. Diện tích mặt cắt của tàu S.

Hình 6.

Tốc độ yêu cầu (chính xác hơn là mô hình v của nó) được xác định từ điều kiện bằng nhau của mô hình lực ma sát và phản lực tác dụng lên tàu:

$$F_{tp} = kv = F_p.$$

Để tìm phản lực ta vào hệ thống báo cáo chuyển động với vận tốc v. Trong hệ thống này tàu không di động được. Để xác định mô hình u của vận tốc dòng nước chảy ra, chúng ta sẽ sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Khi một lượng nhỏ nước có khối lượng Δm chảy ra ngoài thì độ biến thiên động năng của nước Δmu²/2 bằng độ biến thiên thế năng của nước Δmgh (h là độ cao mực nước vào trong bình) và tải trọng MgΔh (Δh là chuyển động của tải trọng bằng độ thay đổi mực nước):

$$\frac{\Delta mu^2}{2} = \Delta mgh + Mg\Delta h.$$

Sự thay đổi mực nước trong bình Δh được biểu thị thông qua khối lượng Δm của nước đang chảy: Δh = Δm/ρS. Thay biểu thức này vào định luật bảo toàn năng lượng và giảm đi Δm, đối với tốc độ u của dòng nước chảy ra, chúng ta thu được

$$u = \sqrt{2gh + 2Mg/ρS}.$$

Nếu tải đủ nặng (nghĩa là khối lượng của nó lớn hơn nhiều so với khối lượng nước trong bình: M >>ρSh), thì có thể bỏ qua số hạng đầu tiên dưới nghiệm. Trong trường hợp này, tốc độ dòng nước gần như không đổi và bằng

$$u = \sqrt{2Mg/ρS}.$$

Bây giờ bạn có thể tìm phản lực tác dụng lên bình:

$$F_p = u \frac{\Delta m}{\Delta t} = u \frac{\rho su \Delta t}{\Delta t} = \rho su^2 = \frac{2Mgs}{S},$$

và vận tốc của tàu:

$$v = \frac{F_p}{k} = \frac{2Mgs}{kS}.$$

Bài toán 7. Từ tốc độ phản kháng v, phần đẩy ra của moly m có tốc độ và lực phản kháng tương đối. Tốc độ của các chất phản ứng sẽ như thế nào? Tốc độ phản ứng sẽ là bao nhiêu sau khi giải phóng hai phần khối lượng, ba phần k phần (Hình 7)?

53

Hãy sử dụng định luật bảo toàn động lượng. Sẽ thuận tiện hơn nếu ghi nó vào hệ thống báo cáo chuyển động với tốc độ ban đầu của tên lửa $v$ (vì tốc độ phóng nhiên liệu $u$ được chỉ định tương ứng với tên lửa). Chiếu vào hướng chuyển động của tên lửa ta có
$$0 = (M - m) v_{1p} - mu,$$
tốc độ của tên lửa đến từ đâu?
$$v_{1p} = \frac{mu}{M - m}.$$
Trong hệ thống báo cáo cố định, tốc độ của tên lửa sau khi phóng phần nhiên liệu đầu tiên có độ lớn bằng
$$v_1 = v + v_{1p} = v + \frac{mu}{M - m}.$$
Chúng ta sẽ xem xét việc giải phóng phần nhiên liệu thứ hai trong một hệ thống đang chuyển động với tốc độ $v_1$ (trong Hình 7, việc giải phóng nhiên liệu được thể hiện trong hệ thống báo cáo đứng yên). Từ định luật bảo toàn động lượng ta có
$$v_{2p} = \frac{mu}{M - 2m},$$
và trong một hệ đứng yên
$$v_2 = v_1 + v_{2p} = v + v_{1p} + v_{2p} =$$
$$= v + \frac{mu}{M - m} + \frac{mu}{M - 2m}.$$
Dễ dàng nhận thấy sau khi phát ra $k$ tốc độ tên lửa sẽ bằng
$$v_k = v + \frac{mu}{M - m} + \frac{mu}{M - 2m} + \dots + \frac{mu}{M - km} = v + \sum_{l=1}^{k} \frac{mu}{M - lm}.$$
Để so sánh, chúng ta cũng hãy tìm tốc độ của tên lửa $v'_k$ với một lần phóng nhiên liệu có khối lượng $km$ với cùng tốc độ $u$ so với tên lửa. Để làm điều này, chúng ta sẽ lại sử dụng định luật bảo toàn động lượng, nhưng chúng ta sẽ viết nó ngay lập tức liên quan đến hệ báo cáo đứng yên:
$$Mv = (M - km) v'_k + km (v - u),$$
Ở đâu
$$v'_k = v + \frac{kmu}{M - km}.$$
Dễ dàng nhận thấy điều đó $v'_k > v_k$. Kết quả này gắn liền với giả định rằng tốc độ phun nhiên liệu từ tên lửa trong hệ thống báo cáo đứng yên là không đổi và bằng $v - u$. Trên thực tế, khi tên lửa cất cánh, tốc độ phóng nhiên liệu giảm (tốc độ phóng so với tên lửa không đổi). Do đó, công thức đầu tiên cho $v_k$ mô tả chính xác hơn tín hiệu thực.

Ở bên phải

1. Một neutron có khối lượng $m_0$ bị hạt nhân của một nguyên tử đứng yên có khối lượng $m$ hấp thụ. Người ta biết rằng năng lượng của nguyên tử bị kích thích chỉ có thể khác với năng lượng của trạng thái cơ bản một giá trị nhất định $E_0$. Neutron di chuyển với tốc độ bao nhiêu?
2. Một tên lửa được phóng thẳng đứng sẽ phát nổ ở điểm cao nhất trong vòng cung của nó. Trong quá trình nổ, ba mảnh có khối lượng bằng nhau được hình thành. Một chiếc cói rơi vào bãi phóng tên lửa. Hai chiếc còn lại rơi xuống Trái đất cùng lúc. Chứng tỏ rằng những chiếc cói này hạ cánh ở cùng một khoảng cách tính từ bãi phóng tên lửa.
3. Với lực nào thì máy cắt cỏ ép xuống đất khi nó chuẩn bị nhảy và bay lên theo phương thẳng đứng với tốc độ $v$? Khối lượng thay đổi thành $M$, chiều dài của nó là $L$.
4. Chiếc thang mà người đó đứng được cân bằng bởi một đối trọng trên verver, ném qua khối. Khối lượng của người bằng khối lượng của thang, khối lượng của khối hộp và đoàn tàu không đáng kể. Một người ở độ cao $h$ so với sàn nhà leo $n$ bước lên cầu thang. Sau đó nó sẽ ở độ cao bao nhiêu so với sàn nhà, nếu khoảng cách giữa các bậc thang là $l$?
5. Có một con châu chấu ngồi trên đầu ống hút nằm trên bàn chính. Người đó phải nhảy với vận tốc danh định là bao nhiêu để đến được đầu bên kia của ống hút? Không có ma sát giữa bàn và ống hút. Khối lượng của ống hút là $M$, chiều dài của nó là $l$. Khối lượng của châu chấu là $m$.
6. Vận tốc của dòng khí thoát ra khỏi miệng tên lửa là 300 m/s so với tên lửa. Một động cơ như vậy có thể tăng tốc tên lửa lên tốc độ 600 m/s không?
7. Khi sử dụng tên lửa gắn ở đuôi máy bay để bảo vệ nó khỏi bị tấn công từ phía sau, người ta phát hiện ra một sự thật đáng kinh ngạc: khi đạn được phóng đi, nó quay lại và đuổi kịp máy bay. Hiện tượng này có thể được giải thích như thế nào?