Bài toán Thế vận hội của đảng Cộng hòa

61

N. Vasiliev

Nhiệm vụ
người theo chủ nghĩa cộng hòa
Thế vận hội

Một số bài toán, được đưa ra năm nay tại Olympic Toán học Cộng hòa, được đưa vào Bài toán «Kvant» (M556—M563, M587—M590). Bài toán, được cung cấp tại RSFSR Olympiad, được đặt trên trang. 58. Chúng tôi mời độc giả cũng suy nghĩ về các nhiệm vụ sau được đề xuất ở các nước cộng hòa khác (gợi ý và đáp số đối với chúng, chúng tôi sẽ xuất bản trên một trong các số sau).

Sau bài toán tên của các nhà toán học đã đề xuất các phiên bản bài toán này «Kvant» hoặc Ủy ban Phương pháp của Olympic Toàn Nga được chỉ định.

1. (8) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 4, 5, 9 và 11 thì có số dư tương ứng là 3, 4, 8 và 10.
   V. Aefonov

2. (8) Chứng minh rằng mọi số có dạng 101010…101 (n số 0 n + 1 số đơn vị, với n > 1) là hợp số.
   V. Aefonov

3. (8-9) $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ là các số tự nhiên có tổng bằng 1001. GCD (ước chung lớn nhất) của chúng có thể nhận giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

A. Tolpieo

4. (8-9) Giả sử $p$ là số nguyên tố có $k$ chữ số không có số 0 trong ký hiệu của nó. Chứng minh rằng tất cả các số $k$ thu được từ $p$ hoán vị tuần hoàn của các chữ số là khác nhau. (Giải thích: ví dụ: từ số 2317, có thêm ba số nữa bằng cách hoán vị tuần hoàn các chữ số: 3172, 1723, 7231.)

A. Slinko

5. (8-10) Tập hợp $M$ bao gồm tất cả các số có dạng $x^2+x$, trong đó $x$ là mọi số tự nhiên có thể có. Chứng minh rằng với mọi $k \geqslant 2$ trong tập hợp $M$ đều có $k$ số phân biệt có tổng cũng thuộc $M$.

V. Batyrev

6. (8-9) Một tứ giác lồi được cắt thành năm hình tam giác. Chứng minh rằng một trong các tam giác chứa toàn bộ một số cạnh của tứ giác.

7. (8-9) Chuỗi $b_n = a_{n+1} - a_y$ được xây dựng từ một chuỗi cho trước $a_n$ đang giảm dần và $b_1$ nhỏ hơn $a_1$. Chứng minh rằng dãy $c_n = a_n/n$ cũng giảm dần.

8. Chanturia

9. (8-10) Các đoạn $AE$ và $CD$ là phân giác của các góc của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng nếu $BDE/EDC = BED/DEC$ thì tam giác $ABC$ là tam giác đều.

A. Savin

9. a) (8) Các đường chéo của một tứ giác lồi vuông góc với nhau. Chứng minh rằng bốn hình chiếu giao điểm của chúng lên các cạnh của tứ giác đều cùng nằm trên một đường tròn.

6. (9-10) Cho một tham số tứ giác, các đường chéo $AC$ và $BD$ của đáy vuông góc và đáy $H$ của chiều cao trùng với giao điểm của các đường chéo. Chứng minh rằng bốn hình chiếu của điểm $H$ lên các mặt bên đều nằm trên cùng một đường tròn.

V. Mikhailovsky

10. (9-10) Xét tất cả các cặp tam giác không tắc nghẽn có đỉnh tại các điểm chia đường tròn thành $N$ cung bằng nhau ($N \geqslant 3$). Với $N$: a) lớn hơn một nửa, b) bằng một nửa, các tam giác này có bằng nhau không?

N. Vasiliev

11. (8-10) Tất cả các ô của bảng hình chữ nhật $m \times n$ đều chứa các số $+1$ ($m > n \geqslant 2$). Trong một bước, bạn được phép đổi đồng thời dấu của bốn số của hình vuông bất kỳ $2 \times 2$. Với $m$ và $n$ như vậy từ bảng tương tự đầu tiên, bạn có thể có được bảng bằng một số bước:

a) với tổng các số 0?
b) với $+1$ và $-1$ so le nhau?

A. Egorov

12. (8—10) Điểm $B$ nằm giữa điểm $A$ và $C$. Trong nửa mặt phẳng có ranh giới $AC$, các điểm $K$ và $H$ được lấy lần lượt là $|AK| = |KB|$, $|BH| = |HC|$, $AKB = \alpha$, $BHC = 180^\circ - \alpha$. Tìm các góc của tam giác $KHM$, trong đó $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$.

L. Kuptsov

13. (10) Chứng minh rằng với $x \in [0; \pi/4]$ bất đẳng thức $x \cos x < 0.71$ đúng.

L. Goeoladze