Bài toán đối với va chạm của cơ thể

45

Nhiệm vụ
cho va chạm
điện thoại

Khá thường xuyên, trong các kỳ thi tuyển sinh, thí sinh được đưa ra bài toán, kiểm tra sự va chạm của các vật thể (đôi khi va chạm được gọi là va chạm, va chạm, hoặc phân tán). Nói chung chúng ta đang nói về sự va chạm của hai vật thể; nếu các vật va chạm lớn hơn thì tương tác của chúng có thể được biểu diễn dưới dạng một tập hợp các va chạm từng cặp.

Trước khi giải bất kỳ bài toán nào trong vật lý, và đặc biệt là bài toán về tác động, bạn cần hiểu hiện tượng nào được xem xét trong bài toán đóng vai trò chính và hiện tượng nào có thể bị bỏ qua. Để phù hợp với điều này, cần phải chọn một bức tranh lý tưởng hóa và thiết lập cho nó khả năng áp dụng các định luật vật lý tương ứng.

Quá trình va chạm của các vật có thể được chia thành ba giai đoạn: giai đoạn thứ nhất - các vật va chạm với nhau với tốc độ không đổi và tại một điểm nào đó va chạm với nhau; giai đoạn thứ hai (bản thân va chạm) - lực tương tác xuất hiện giữa các vật thể, lực này tác dụng trong một khoảng thời gian nhất định; giai đoạn thứ ba - các vật thể phân tán với tốc độ mới không thay đổi theo thời gian. Nói chung, công thức bài toán cho một vụ va chạm giả định rằng với vận tốc ban đầu của các vật thể thì vận tốc cuối cùng của chúng được xác định (hoặc ngược lại). Trong trường hợp này, bản thân giai đoạn va chạm không thực sự được xem xét mà chỉ thảo luận về bản chất của nó: va chạm là đàn hồi hay không đàn hồi, trung tâm hay không trung tâm, v.v.

Ví dụ, hãy xem xét một cú đánh đàn hồi. Cho một vật nhỏ có hình dạng tùy ý va chạm với một vật khác. Khi chúng tiếp xúc, cơ thể bắt đầu biến dạng. Các biến dạng đàn hồi thu được được truyền từ bộ phận này sang bộ phận khác của cơ thể với tốc độ âm thanh (nghĩa là khá nhanh) và các bộ phận khác nhau của cơ thể nhận được tốc độ khác nhau. Cuối cùng, các xung biến dạng đi tới ranh giới đối diện của các vật thể, bị phản xạ từ chúng và các vật thể bật ra khỏi nhau giống như các lò xo bị nén. Điều gì xảy ra với nguồn dự trữ năng lượng cơ học ban đầu của cơ thể?

Do tốc độ chuyển động của các bộ phận khác nhau trong cơ thể không đồng đều nên sẽ xảy ra rung động; chúng lấy đi một năng lượng nhất định, năng lượng này khi rung động phân rã sẽ biến thành nhiệt. Ngoài ra, bất kỳ vật dao động nào cũng trở thành nguồn phát sóng âm, sóng âm này cũng mang đi một phần năng lượng. Nếu va chạm không tập trung, tức là nếu tốc độ tương đối của các vật va chạm không đi dọc theo đường tâm của các vật thì các vật bắt đầu quay. Năng lượng cần thiết cho việc này cũng được lấy từ động năng của chuyển động tịnh tiến của cơ thể. Sự quay cũng có thể được gây ra bởi lực ma sát. Tuy nhiên, nếu tỷ số tổn thất trên nguồn cung cấp năng lượng cơ học ban đầu nhỏ thì mọi sự biến đổi không thuận nghịch của cơ năng thành các dạng năng lượng khác đều bị bỏ qua và va chạm được coi là hoàn toàn đàn hồi. Hình ảnh lý tưởng hóa về một va chạm như sau: động năng của chuyển động tịnh tiến của các vật va chạm được chuyển một phần thành thế năng của các biến dạng đàn hồi; Thế năng tăng dần cho đến khi tốc độ chuyển động của hai vật bằng nhau thì chuyển thành động năng truyền bá của vật. Như vậy, tuyệt đối

49

Hình 5.

và $\overrightarrow{BD}$ ($\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{BD}$) và biểu thị $|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BD}| = v_0$. Định luật bảo toàn năng lượng toàn phần và định lý tổng bình phương các đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương các cạnh của nó dẫn đến hệ thức

$$v_1^2 + v_2^2 = 2v^2 + \frac{4}{m}(E_1 - 2E_2)$$

Và

$$v_1^2 + v_2^2 = 2v^2 + 2v_0^2,$$

Ở đâu

$$v_0 = \sqrt{\frac{2}{m}(E_1 - 2E_2)}.$$

Rõ ràng có hai trường hợp có thể xảy ra: a) $v \geq v_0$; b) $v < v_0$. Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp a), tương ứng chính xác với Hình 5 và tìm góc tối đa có thể có $\varphi$. Để làm điều này, chúng ta sử dụng định lý cosin cho các tam giác $ACD$, $ABD$ và $ACB$ và nhận được

$$\cos \varphi = \frac{v_1^2 + v_2^2 - (2v_0)^2}{2v_1v_2} = \frac{v^2 - v_0^2}{\sqrt{(v^2 + v_0^2)^2 - (2vv_0 \cos \alpha)^2}}.$$

Từ đây

$$\cos \varphi \geq \frac{v^2 - v_0^2}{v^2 + v_0^2}$$

Và

$$\varphi_{\max} = \arccos \frac{v^2 - v_0^2}{v^2 + v_0^2},$$

ở đâu $v_0^2 = \frac{2}{m}(E_1 - 2E_2)$.

Đồng thời $v_1 = v_2 = \sqrt{v^2 + v_0^2}$.

Trường hợp b) được xem xét độc lập và đảm bảo rằng $\varphi_{\max} = \pi$.

Bài tập

1. Trên đường đi của một vật có khối lượng $m$ trượt dọc theo một mặt bàn nhẵn với vận tốc $\vec{v}$ có một cầu trượt đứng yên không cố định có khối lượng $M$ và chiều cao $H$ (cấu hình của cầu trượt được thể hiện trên Hình 6). Xác định vận tốc của vật và vật trượt sau khi vật rời khỏi mặt trượt. Cơ thể di chuyển mà không rời khỏi cầu trượt; không có ma sát giữa vật và vật trượt.

2. Ở góc nào $\beta$ hai quả bóng nhẵn giống hệt nhau bay ra xa nhau sau một va chạm đàn hồi tuyệt đối? Trước khi va chạm, một trong hai quả bóng bị chôn vùi, còn quả còn lại đang chuyển động với tốc độ $\vec{v}$, hướng một góc $\alpha$ so với đường tâm của các quả bóng.

3. Một chiếc nhẫn có bán kính $R$ và một quả bóng nhỏ bên trong chiếc nhẫn có thể chuyển động dọc theo mặt bàn nhẵn. Tại một thời điểm nào đó quả bóng va chạm đàn hồi với vòng tròn. Trước khi va chạm, vòng bị chôn vùi và quả bóng chuyển động với tốc độ $\vec{v}$ tạo thành một góc $\alpha$ với bán kính kéo về điểm va chạm. Tìm thời gian cho đến cuộc đình công tiếp theo.

4. Hai quả cầu nhẵn có khối lượng $M$, mỗi quả tích tụ trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn, chạm vào nhau. Quả bóng thứ ba, cũng có bán kính, nhưng có khối lượng $m$ chuyển động dọc theo bề mặt với tốc độ $\vec{v}$ đi qua điểm tiếp xúc của các quả bóng đứng yên. Xác định vận tốc của quả bóng sau va chạm tuyệt đối đàn hồi.

Sửa đổi

Trong công thức bài toán M649 («Kvant» số 10), một phép toán được phép: hệ số $\frac{1}{2}$ bị bỏ qua trước biểu thức $c^2_n$. Thời hạn gửi lời giải này bài toán được kéo dài đến ngày 1 tháng 2 năm 1981.