Bài toán M656—M660; F668—F672

22

Vấn đề
lượng tử

Bài toán
M656—660; F668—F672

M656. Có 30 vectơ khác 0 trong không gian. Chứng minh rằng trong số đó có hai góc nhỏ hơn 45°.

A. Trong đám đông

M657. Trong bảng $n \times n$ chứa đầy các số, tất cả các hàng đều khác nhau. Chứng minh rằng bạn có thể xóa một cột nhất định khỏi bảng để tất cả các hàng trong bảng còn lại cũng khác nhau.

A. Anjan

M658. Một hình vuông có số hữu hạn các đoạn trên cạnh 1 (Hình 1) song song với các cạnh của nó. Các phân đoạn có thể giao nhau. Tổng độ dài của các đoạn được vẽ là 18. Chứng minh rằng trong số các phần mà hình vuông được chia cho các đoạn này, có một phần có diện tích không nhỏ hơn 0,01.

A. Anjan

M659. Chứng minh các tính chất sau của dãy Fibonacci $f_1 = 1, f_2 = 2, \dots, f_{k+1} = f_k + f_{k+1}$:

a) Mỗi ​​số tự nhiên $n \geqslant 3$ được biểu diễn dưới dạng tổng của các số Fibonacci khác nhau.

b) Ta biểu thị số cách biểu diễn như vậy của số $n$ dưới dạng tổng các số chẵn bằng $K_n$, dưới dạng tổng các số lẻ bằng $H_n$; thì $|K_n - H_n| \leqslant 1$ cho tất cả $n$.

b) Nếu bạn vượt qua nhiều thấu kính đứng liên tiếp trong chuỗi

$$1 - x, 1 - x^2, 1 - x^3, 1 - x^5, \dots, 1 - x^{f_k}, \dots$$

(các chỉ số là số Fibonacci), khi đó trong đa thức thu được tất cả các hệ số sẽ bằng 0, -1 hoặc +1.

Chứng minh của phát biểu b) và c) mà chúng ta biết dựa trên tính chất sau:

d) Đối với bất kỳ $n \geqslant 3$ nào, có một biểu diễn duy nhất của $n$ dưới dạng tổng các số Fibonacci khác nhau, cùng với mỗi số hạng

23

$f_k(k \geqslant 3)$ chứa ít nhất một trong hai số trước $f_{k-1}$ hoặc $f_{k-2}$.

A. Odessky, học sinh lớp 9, D. Fuchs

M660. Các chấm màu xanh và đỏ được đặt trên vòng tròn (Hình 2a). Được phép thêm một chấm đỏ mới và đồng thời thay đổi màu của từng chấm trong hai chấm liền kề (Hình 26), hoặc loại bỏ chấm đỏ và thay đổi màu của từng chấm lân cận (Hình 2c). Ban đầu chỉ có hai chấm đỏ (không được phép để nhiều hơn hai chấm). Có thể đạt được trên một vòng tròn bằng cách sử dụng một số thao tác như vậy không
a) hai chấm - xanh và đỏ;
b) 8 chấm đỏ;
b) một chấm đỏ và 6 chấm xanh;
d) * hai chấm xanh?

K. Kazarnovsky

F668. Một sợi dây không trọng lượng được ném qua một khối cố định. Một tải trọng $m_1$ được gắn vào một đầu. Ở đầu bên kia, một tải trọng $m_2$ được treo từ bên ngoài với độ cứng $k$. Chiều dài của lò xo ở trạng thái chưa phát triển là $l_0$. Tìm biên độ dao động mà tải $m_2$ sẽ thực hiện khi hệ được để yên. Không có sự xoay ngang qua sợi chỉ.

G. Kotkin

F669. Đảo ngược một tấm kính có thành mỏng có vỏ nút chai có độ dày $d$ nổi ở bề mặt tiếp xúc của hai chất lỏng có mật độ $\varrho_1$ và $\varrho_2$. Phần trên của kính ở độ cao $H$ so với giao diện (Hình 3). Phần kính $S$. Kính sẽ bay lên bao xa nếu có một lỗ ở đáy kính?

F670. Chứng tỏ rằng tốc độ cực đại mà hạt α có thể truyền cho proton khi va chạm bằng 1,6 lần vận tốc ban đầu của hạt α.

F671. Có 1 lít nước nóng có nhiệt độ $T_1$ và 1 lít nước lạnh có nhiệt độ $T_2$. Dùng nước nóng, nước lạnh được đun nóng. Có thể làm cho nhiệt độ cuối cùng của nước lúc đầu lạnh trở nên cao hơn nhiệt độ của nước lúc đầu nóng hơn không?

A. Kravchaty, học sinh lớp 9.

F672. Một tải có điện trở $R_h=10$ Ohm được nối với cuộn dây thứ cấp của máy biến áp giảm áp đi kèm với hệ số biến đổi là $K=220/127$. Điện áp mạng $U=220$ V, điện trở cuộn sơ cấp của máy biến áp $R_1=3,6$ Ohm, điện trở cuộn thứ cấp $R_2=1,2$ Ohm. Xác định điện áp trên tải.

V. Skorovarov