Задачи М656—М660; Ф668—Ф672

22

Задачик
кванта

Задачи
M656—660; Ф668—Ф672

М656. В пространстве имеются 30 ненулевых векторов. Доказите, что среди них найдется два, угол между которых меньше 45°.

A. Толпыю

М657. В таблице $n \times n$, заполненной числами, все строки различны. Доказите, что из таблицы можно вычернуть некоторый столбец так, что в оставшейся таблице все строки также будут различны.

A. Анджан

М658. В квадрате со стороны 1 проведено конечное число отрезков (рис. 1), параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длины проведенных отрезков равна 18. Доказите, что среди частей, на которые квадрат разбивает этими отрезками, найдется такая, площадь которого не меньше 0,01.

A. Анджан

М659. Доказите следующие свойства последовательности Фибоначчи $f_1 = 1, f_2 = 2, \dots, f_{k+1} = f_k + f_{k+1}$:

a) Каждое натуральное число $n \geqslant 3$ представляется в виде суммы различных чисел Фибоначчи.

b) Обозначим количество таких представлений числа $n$ в виде суммы четного числа слагаемых через $K_n$, в виде суммы нечетного числа слагаемых — через $H_n$; тогда $|K_n - H_n| \leqslant 1$ при всех $n$.

b) Если переможить несколько подряд стойших двухленов из последовательности

$$1 - x, 1 - x^2, 1 - x^3, 1 - x^5, \dots, 1 - x^{f_k}, \dots$$

(в показательх стоит числа Фибоначчи), то в полученном многочлене все коэффициенты будут равны 0, —1 или +1.

Известное нам доказательство утверждения б) и в) опирается на такое свойство:

г) Для любого $n \geqslant 3$ существует единственное представление $n$ в виде суммы различных чисел Фибоначчи, которое вместе с каждым слагаемым

23

$f_k(k \geqslant 3)$ содержит хотя бы одно из двух предыдуших чисел $f_{k-1}$ или $f_{k-2}$.

А. Одесский, ученик 9 класса, Д. Фукс

М660. На окружности расставляются синне и красные точки (рис. 2a). Разрешается добавить новую красную точку и одновременно поменять цвет у каждой из двух соседних с ней точки (рис. 26), либо убрать красную точку и поменять цвет у каждой из соседних точки (рис. 2в). Пусть первоначально было всего две красные точки (мебшие двух точек оставлять не разрешается). Можно ли несколькими такими операциями по-лучить на окружности
a) две точки — синюю и красную;
b) 8 красных точки;
b) одну красную и 6 синих точки;
г) * две синих точки?

К. Казарновский

Ф668. Через неподвижный блок перекинита невесомая нить. К одному концунит прикреплен груз массы $m_1$. К другому концу наружнее с жесткостью $k$ подвешен груз массы $m_2$. Длина ружины в нерастинутом состоянии равна $l_0$. Найти апплитуду колебаний, которые будут совершать груз $m_2$, когда система предоставят самой себе. Качаный поперек нити нет.

Г. Коткин

Ф669. Перевернуть тонкостенный стакан с пробковым домом толщины $d$ плавает на границе раздела двух жидкости с плотностями $\varrho_1$ и $\varrho_2$. Верхняя часть стакана находится на высоте $H$ над границей раздела (рис. 3). Сечение стакана $S$. На какое расстояние поднимается стакан, если в дне стакана появится дырка?

Ф670. Покажите, что максимальная скорость, которую при стокновении может сообщить протону α-частица, составляет 1,6 начальной скорости α-частицы.

Ф671. Имеется 1 л горячее воды с температурой $T_1$ и 1 л холодной воды с температурой $T_2$. При помощи горячее воды нагревают холодную. Можно ли сделать так, чтобы окончательная температура воды, бывшей сначала холодной, стала выше температуры воды, которая была сначала горячее?

А. Кравчатый, ученик 9 кл.

Ф672. Ko вторичной обмотке включенного в себя понжающего трансформатора с коэффициентом трансформатии $K=220/127$ подключена нагрузка с сопротивлением $R_h=10$ Ом. Напряжение в сети $U=220$ В, сопротивление perвичной обмотки трансформатора $R_1=3,6$ Ом, сопротивление вторичной обмотки $R_2=1,2$ Ом. Определите напряжение на нагрузке.

В. Скороваров