О транзитивных многогранниках

9

О транситивных многограничках

В прошлом году киевский школьник А. Шкляр прислад в редакцию нашего журнала статью «Геометрический способ нахождения всех конечных групп положительных перемещений пространства», в основу которого были положены его собственные результаты, дополнительные им на засаданиях математического кружка Киевского НОУ.

Публиковать статью на столь нешкольную тему мы бы не стали, но теорема, доказанная А. Шкляром, допускает переформулировку, связанную со школьной темой «Многогранички».

Ниже публикуется статья А. Шкляра, переработанная членом редакленики «Кванта» профессором В. Г. Болтянским.

В п. 3 дается простое геометрическое описание «устройства» граней положительного транситивных многограничков. В п. 4 все они перечисляются.

1. Перемещения, имеющие неподвижную точку

Прежде чем формулировать задачу, о которой躬дет речь в этой заметке, напомним (см. статью А. Сосинского «Перемещения пространства» в «Кванте» № 8) некоторые факты, связанные с перемещениями пространства. Будем предложать, что в пространстве фиксирован точка $O$, и рассмотрим лишь такие перемещения пространства, при которых $O$ остается неподвижной, то есть переходит в себя. Примером такого перемещения может служить поворот $f$ на неокторный угол вокруг прямой $l$, проходящий через точку $O$. При перемещении $f$ каждой точки прямой $l$ переходит в себя, а других неподвижных точек нет (если только угол поворота не кратен 2π).

Заметим, что поворот представляется собой перемещение, сохраняющее ориентацию. (Это можно посчитать следующим образом: правильный винт переходит при повороте снова в правильный винт.) В статье Сосинского было доказано, что среди перемещений, оставляющих неподвижной точку $O$, повороты вокруг прямых, проходящих через $O$, и только они, сохраняют ориентацию. Посокльку композиция двух перемещений, сохраняющих ориентацию, также сохраняет ориентацию, мы заключаем, что композиция двух поворотов вокруг прямых, проходящих через точку $O$, также представляет собой поворот вокруг некоторой прямой, проходящий через $O$.

2. Положительное транситивное многогранички

Некоторые (непустое) множество перемещений $G$ называется группой перемещений, если оно обладает следующими свойствами:

1. $f \in G \Rightarrow f^{-1} \in G$;
2. $f_1 \in G$ и $f_2 \in G \Rightarrow f_2 \circ f_1 \in G$.

Из сказанного в предыдущем пункте ясно, что множество поворотов (на всевозможные углы) вокруг прямых, проходящих через $O$, представляется собой группу перемещений.

Пусть теперь $M$ — некоторая фигура в пространстве. Множество всех самосовмещений фигуры $M$ обозначает $\Gamma(M)$ см. («Квант», 1980, № 7, стр. 4), а через $\Gamma_+(M)$ обозначает множество самосовмещений фигуры $M$, сохраняющих ориентацию. Очевидно, каждое из множества $\Gamma(M), \Gamma_+(M)$ представляется собой группу перемещений.

Множество $M$ называется транситивным, если для любых точек $A$, $B$ этого множества в группе $\Gamma(M)$ имеется перемещение, переводящие $A$ в $B$. Аналогично, множество $M$ называется положительным транситивным, если для любых $A$, $B \in M$ найдется такое самосовмещение $f \in \Gamma_+(M)$, что $f(A) = B$.

Назовем многограничок положительным, если множества

10

СТВО ВСЕХ ЕГО ВЕРШИН ЯВЛЯЕТСЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ТРАНЗИТIVНЫМ. Если многогранник $M$ поджительно транситивен, то он, конечно, транситивен, и потому (см. «Кваит», 1980, № 7, с. 5, теорема 2) вокруг него можно описать сферу. Каждое самосовмещение многогранника $M$ переводит центр $O$ этой сферы в себя. Позному каждое сохраняющее ориентацию самосовмещение многогранника $M$ представляет собой поворот вокруг неокторой прямой, проходящей через точку $O$. Теперь определяление положительного транситивного многогранника можно сформулировать следующим образом: многогранник $M$ называется положительным транситивным, если вокруг него можно описать сферу и при этом для любых двух его вершин $A, B$ имеется поворот (вокруг неокторой прямой, проходящей через центр описанной сферы), который переводит этот многогранник в себя, а вершину $A$ переводит в $B$.

Целью нашей статьи является описание всех положительных транситивных многогранников.

3. Какие бывают грани

Пусть $M$ — положительное транситивный многогранник. Фиксируем его грань $y$. Однако из двух: либо существует поворот $j \in \Gamma_+(M)$, отличный отложественного, который переводит грань $y$ в себя, либо такого повората не существует.

Пусть сначала такой поворот $j$ существует и $l$ — ось этого повората. Прямая $l$ проходит через центр $O$ описанной сферы и пересекает грань $y$ в неокторой точке $P$.

Точка $P$ не может, очевидно, быть вершиной многогранника $M$.

Точка $P$ не может также быть в внутренней точкой неокторого ребра $AB$, принадлежшего грани $y$. Допустим противное. Поиску $f(P) = P$, ребро $AB$ тоже должно перейти в себя (поскольку других ребер, проходящих через точку $P$, нет). Следовательно, $f(A) = B$, $f(B) = A$. Отсюда вытекает, что ребро $AB$ перепедикулярно прямой $l$ и делится точкой $P$ пополам, а $j$ представляется собой поворот на угол $j$ вокруг

прямой $l$. Однако в этом случае, очень не $j(\gamma) \neq \gamma$.

Значит, точка $P$ является внутренней точкой грани $y$. Поскольку $j(\gamma) = \gamma$, прямая $l$ перpendикулярна плоскости грани $y$. Пусть $g \in \Gamma_+(M)$ — поворот на наименьший (по величине) угол, переводящий грань $y$ в себя, и $a$ — величина этого угла. Тогда поворот на каждой из углов $2a, 3a, \dots$ также переводит грань $y$ в себя. Отсюда можно заключить, что $a = \frac{2\pi}{k}$, где $k$ — некоторое натуральное число. В самом деле, если $k$ — такое число, что $(k-1)a < 2\pi$, но уже $ka \geq 2\pi$, то при $ka > 2\pi$ получилось бы, что поворот на угол $ka - 2\pi$ переводит грань $y$ в себя, чего, однако, не может быть, поскольку $ka - 2\pi < a$. Следовательно, $ka = 2\pi$, то есть $g$ есть поворот на угол $\frac{2\pi}{k}$. Возьмем произвольную вершину $A_0$ грани $y$ и положим $A_1 = g(A_0)$, $A_2 = g(A_1)$,…, $A_{k-1} = g(A_{k-2})$ (тогда $g(A_{k-1}) = A_0$). Вершины многоугольника $y$ между $A_0$ и $A_1$ обозначаем через $B_1$, $B_2$, …, $B_{m-1}$. Ломанная $p_0 = A_0B_1B_2...B_{m-1}A_1$ (состоящая из $m$ звенев) переходит при повороте $g$ в аналогичную ломанную $p_1 = g(p_0)$ (идущую от точки $A_1$ до $A_2$) и т. д.; наконец, ломанная $p_1 = g(p_2)$ содержит точки $A_k$ и $A_0$. Из этого видно, что многоугольник $y$ имеет $km$ вершин, причем $m$ вершин $A_0$, $B_1$, $B_2,..., B_{m-1}$ «различны» в том смысле, что никакие две из них не могут быть совмещены каким-либо поворотом из $\Gamma_+(M)$, переводящим грань $y$ в себя. Остальные же вершины «одинаковы» с какой-либо из вершин $A_0$, $B_1$, $B_2,..., B_{m-1}$. Число $k$ будем называть числом перiodов грани $y$.

Если $m = 1$, то есть поворот $g$ переводит вершину $A_0$ в соседнюю вершину грани $y$, то существует и поворот, переводящий $A_0$ в любую другую вершину этой грани. Такая грань называется транситивной. Легко видеть, что транситивная грань является правильным многоугольником, а все вершины, принадлежащие этой грани, устроены одинаково.

Если же не существует поворот $j \in \Gamma_+(M)$, отличного отложествен-

11

ного, который переводит грань $\gamma$ в себя, то есть все вершины грани $\gamma$ «различны», положим $k=1$ и через $m$ обозначим число вершин.

Тепер числа $k$ и $m$ определяны для любой грани любого положительного гранитного многограника.

Лемма 1. Для любой грани $\gamma$ числа $k$ и $m$ могут принимать только следующие значения:

1. $k=1$, $m=3$; 2) $k \geq 2$, $m=2$; 3) $k > 2$, $m=1$.

Доказательство. Поскольку $M$ — положительное гранитный многограничик, существует поворот $h_i \in \Gamma_+(M)$, переводящий $B_i$ в $A_0 (i=1,2,...,m-1)$. Грань $h_i(\gamma)$ конгруэнтна $\gamma$, но не совпадает с ней, поскольку вершины $A_0$ и $B_i$ «различны». Более того, все грани $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ попарно различны (если $h_1(\gamma)=h_2(\gamma)$, то $h_2^{-1} h_1(B_1) = h_2^{-1}(A_0)=B_2$), и все они примыкают к вершине $A_0$. Поэтому сумма величины углов многоугольников $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ при вершине $A_0$ меньше $2\pi$. Это означает, что сумма величины углов многоугольника $\gamma$ при вершинах $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ меньше $2\pi$. Но сумма величины его углов при вершинах $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ равна $\sigma = \frac{1}{k} (km-2)\pi$. Следовательно, $\frac{1}{k} (km-2)\pi < 2\pi$, то есть $m-2 < \frac{2}{k}$, $km \geq 3$. Из полученных неравенств $m-2 < \frac{2}{k}$, $km \geq 3$ вытекает, что для $k$ и $m$ возможно только указанные значения. (Убедитесь в этом.)

Лемма 2. Если к вершине $A_0$ примыкает негранитная грань $\gamma$, то все остальные негранитные грани при вершине $A_0$ конгруэнтныей, а количество примыкающих к $A_0$ негранитных граней равно $m$.

Доказательство. При доказательстве леммы 1 мы видели, что сумма величины углов грани $\gamma$ при «различных» вершинах $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ равна $\sigma = \frac{\pi}{k} (km-2)$. При $m=3$, $k=1$ (первая возможность в лемме 1) имеем $\sigma=\pi$; при $m=2$, $k \geq 2$ (вторая возможность) имеем

$$\sigma = \frac{k-1}{k} \cdot 2\pi \geq \pi.$$

Таким образом, при $m>1$ (то есть для негранитной грани) $\sigma \geq \pi$. Применив к $\gamma$ повороты $h_1, h_2,...,h_{m-1}$ из доказательства леммы 1, получаем при вершине $A_0$ м конгруэнтных негранитных граней $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ и заключаем, что второго «комплекта» негранитных граней в точке $A_0$ примыкает не может (сумма плоских углов при вершине $A_0$ была бы больше или равна $2\pi$).

При формулировке следующего леммы условия о термине «смежные грани» так будем назвать две грани, имеющие общую сторону (то есть две грани, имеющие лишь общую вершину, смешными считать не будем).

Лемма 3. Любые две грани, смejные с некоторой гранитной гранью $\gamma$, могут быть совмещены некоторые поворотом из $\Gamma_+(M)$, переводящим $\gamma$ в себя.

Доказательство этой простой и важной леммы мы предоставляем читателю.

4. Описание всех положительных многограников

Чтобы перечислить все положительные многограники, рассмотрим четыре возможности.

A) Многограник $M$ содержит негранитную грань $\gamma$, отличную от треугольника, причем для этой грани число перiodов (то есть $k$) больше 2. Следовательно, по лемме 1, $m=2$.

Пусть $A_0$ — какая-либо вершина грани $\gamma$. Тогда, по лемме 2, к вершине $A_0$ примыкают две конгруэнтные негранитные грани $\gamma$, $\gamma_1$, а остальные примыкающие к $A_0$ грани гранитных. Ясно, что хотя одна гранитная грань имеет (так как в каждой вершине сходятся не менее трех граней). При доказательстве леммы 1 мы видели, что сумма величины углов грани $\gamma$ при «различных» вершинах (или, что то же самое, сумма величины углов граней $\gamma$, $\gamma_1$ при вершине $A_0$) равна

$$\sigma = \frac{\pi}{k} (km-2) = \frac{\pi}{k} (2k-2) = 2\pi - \frac{2\pi}{k}.$$

Так как $k>2$, $\sigma \geq 2\pi - \frac{2\pi}{3}$

12

Так как сумма всех углов, сходящихся в вершине $A_0$, меньше 2π, на сумму углов транситивных граней при вершине $A_0$ приходит меньше $\frac{2\pi}{3}$, откуда видно, что к $A_0$ может применять только одна транситивная грань γ. Если эта грань является правильным $l$-угольником, то есть имеет угол $\alpha = \pi - \frac{2\pi}{l}$, то, согласно скзаанному, $\sigma + \alpha < 2\pi$, то есть $(2\pi - \frac{2\pi}{k}) + (\pi - \frac{2\pi}{l}) < 2\pi$. Иначе говоря, $\frac{1}{k} + \frac{1}{l} > \frac{1}{2}$. Учитывая, что $k > 2$, $l > 2$, находим отсюда следующие пять возможностей:

1. $m = 2$, $k = 3$, $l = 3$;
2. $m = 2$, $k = 3$, $l = 4$;
3. $m = 2$, $k = 3$, $l = 5$;
4. $m = 2$, $k = 4$, $l = 3$;
5. $m = 2$, $k = 5$, $l = 3$.

Положительное транситивные многогранники, соответствующие этим случям, легко построить: для этого нужно «срезать» вершины у пяты правильных многогранников (о правильных многогранниках см. «Геометрия 9—10», § 54 или «Квант», 1980, № 7, с. 6).

Чтобы срезать вершину, нужно отложить на всех ребрах, выходящих из нее, отрезки равной длины, меньшей половины длины ребра, и проведги плоскость через полученные точки (рис. 1). Например, на рисунке 2 изображен многогранник, соответствующий случанию 4: он получается среднем вершин куба. Легко видеть, что все самосовмещения куба переодят в себя этот многогранник и наоборот. Поэтому группа самосовмещений многогранника совпадает с группой самосовмещений куба. То же относится к остальном из перечисленных пяты случев.

Таким образом, положительное транситивные многогранники, соответствующие случанию А, — это правильные многогранники со средними вершинами.

Б) Многогранник М содержит heterзитивную грань γ, отличную от треугольника, причем для этой грани $k = 2$. Здесь также $m = 2$, то есть грань γ является параллелогramмом ($m = 2$, $k = 2$), причем $\sigma = \frac{\pi}{k}(km - 2) = \pi$. Следовательно, к вершине $A_0$ примыкают не более двух транситивных граней.

Рассмотрим сначала подслучай, когда к вершине $A_0$ примыкают 2 транситивные грани. Эти грани не являются смежными (иначе по лемме 3 все грани были конгруэнтны одной из них и были бы транситивными, что невозможно, так как имеется heterzитивная грань γ). Положим, что эти грани являются правильным $l_1$-угольником и правильным $l_2$-угольником, тогда $\sigma + \left(\pi - \frac{2\pi}{l_1}\right) + \left(\pi - \frac{2\pi}{l_2}\right) < 2\pi$, то есть $\frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2} > \frac{1}{2}$. Это дает еще три возможности (мы можем считать, что $l_1 \leq l_2$:

6. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 3$;
7. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 4$;
8. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 5$.

Рис. 3.

Соответствующие положительные транситивные многогранники можно получить «срезанием» вершин и ребер у правильных многогранников (на рисунке 1 показана проедура средняя вершин, на рисунке 3 — проедура средняя ребра).

На второй странице обложки изображены многогранники, полученные таким способом из пяты правильных многогранников. Многогранники 1 и 2 с точки зрения нашей классификации «одинаковы» — к каждой вершине примыкают оди-

13

наковые наборы граней (на языке «высшей» алгебры: группы самосовмещений этих многогранников изоморфны — «Квант», 1976, № 10, с. 10; «одинаковы» в том же смысле многогранники 3 и 4).

Итак, в этом подслучае получаем три типа положительное транситивных многогранников — правильные многогранники со средными вершинами и ребрами.

Если же к вершине $A_0$ примыкает лишь одна транситивная грань ($l$-угольник), то $\sigma + \left( \pi - \frac{2\pi}{l} \right) < 2\pi$, то есть $-\frac{2\pi}{l} < 0$. Иначе говоря, в этом случае никаких ограничений на $l$ не накладывается. Мы получаем

9. $m = 2, k = 2, l \geqslant 3$ — любое.

Соответствующий многогранник является правильной $l$-угольной призмою (рис. 4).

В) Многогранник $M$ содержит неграничную грань $\gamma$, являющуюся треугольником ($k = 1, m = 3$).

В этом случае $\sigma = \pi$, и потому к вершине $A_0 \in \gamma$ примыкают три треугольника $\gamma, \gamma_1, \gamma_2$ и еще могут примыкать две, одна или ни одной транситивных граней.

Если к вершине $A_0$ примыкают две транситивные грани (правильный $l_1$-угольник и правильный $l_2$-угольник, причем $l_1 \leqslant l_2$), то имеются три возможности (на рисунке 5 схематически показано, как примыкают друг к другу грани в вершине $A_0$):

10. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 3$;
11. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 4$;
12. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 5$.

Схемы вершин многогранников 10), 11), 12) показаны на рисунках 6—8. Многогранник 10) — «неправильный икоадр».

Если к вершине $A_0$ примыкает одна транситивная грань — правильный $l$-угольник, то соответствие $\sigma + \left( \pi - \frac{2\pi}{l} \right) < 2\pi$ не дает никаких ограничений на $l$. Получаем еще один случай:

13. $m = 3, k = 1, l \geqslant 3$.

На рисунке 9 изображен соответствующий многогранник (антипризма).

Если же у многогранника вообще нет транситивных граней, то к каждому