Венгерский шарнирный кубик

17

В Венгерской Народной Республики распространяется занятие математической головоломка, созданная в 1975 г. венгерским архитектором, профессором Эрнё Рубиком. Ее внешний вид показан на четвертой странице обложки: это пластасовый куб, разбитый на 27 конгрузных кубиков. Внутренний кубик удален, а 26 наружных кубиков с помощью специальных выступов сцеплены так, что любая плитка из 9 кубиков, прилегающих к одной грани куба, может быть повернута в любую сторону на 90°. (Начало двух таких поворотов избражено на рисунке 1.) После поворота на 90° вся система сохраняет прежнюю свободу вращений: снова любую плитку в любую сторону можно повернуть в ее плоскости на 90°.

Об устройстве шарнирного скрепления этих кубков можно написать отдельную статью — сейчас же мы будем обсуждать другой вопрос.

Первоначально каждая из граней большого куба была окрашена в свой цвет (красный, оранжевый, желтый, зеленный, синий, белый). После ряда случайно выбранных вращений окраска граней куба становится пестрой: на грани присутствуют клетки разных цветов. Головоломка состоит в том, чтобы, получив в руки такой пестрый куб, добався с помощью вращений правильной расстановки кубиков, то есть такой расстановки, при которой каждая грань куба снова будет одного цвета.

Задача эта совсем не проста. Не вооруженному теорией человека, даже способному, редко удается сразу собрать более одной грани. Число расстановок кубиков, которые можно получить (подсчитано, что их $N=43\ 252\ 003\ 274\ 489\ 856\ 000$), делает ее недоступной для перебора даже на ЭВМ. Заметим, впрочем, что не любая расстановка может быть получена вращениями плиток куба: если разрешить разборку куба на составляющие его 26 кубиков, то можно составить $12 \cdot N=529\ 024\ 039\ 393\ 878\ 272\ 000$ разных расстановок (см. задачу 8 из Добавления).

В настоящее время мы предлагаем читателю правила (они не являются самыми экономными по числу вращений), позволяющие от любой из $N$ возможных расстановок кубиков вернуть к их правильной расстановке.

Описание вращений

Чтобы изложить предлагаемые правила, условия сначала о терминологии.

Будем назвать центральными кубики, стоящие в центрах граней куба. Каждый центральный кубик всегда центральным и смотрит наружу одной клетки определяемого цвета.

Поскольку нас интересют не изменения положения всего куба в пространстве, а лишь изменения взаимного расположения его части, мы будем считать его положение в пространстве фиксированным. Это означает:

Рис. 1.

18

чает, что положение всех центральных кубков в пространстве остается неизменным. Это означает также, что из девятки плоскостей куба мы будем поворачивать только шесть.

Если на рисунке неоторая центральная клетка отмещена буквой $A$, то поворот (не «средней») плитки, содержащей эту клетку, на $90^\circ$ по часовой стрелке мы будем обозначать через $A$, а поворот этой же плитки на $90^\circ$ против часовой стрелки будем обозначать через $A^{-1}$. Очевидно, $A^{-1}A^{-1}A^{-1}=A$ и $A^2=A^{-2}$, где $A^2=A$ и $A^{-2}=A^{-1}$ $A^{-1}$.

Кубики, содержащие среднюю часть ребра большого куба, будем называть средними. Средний кубик всегда остается средним и смотрит наружу двумя клетками определяющего цвета. Для каждой пары цветов (кроме тех пар цветов, которые первоначально были раскрашены противоположные грани куба) имеется единственный средний кубик с клетками этих цветов.

Уеловыми называют кубики, занимающие в составе куба угловые места. Каждый угловой кубик всегда остается угловым и смотрит наружу третья клетки, окруженных в разные цвета. Соответние этих трех цветов у каждой из угловых кубков свое.

Основные этапы

Заманчивый, на первый взгляд, путь: постепенно увеличивая пятно однозвечных клеток, получить однозвечную грань, а потом взять за другую — видимо, приводит лишь к непредодолимым трудностям. Не сравнившись с головоломкой, ее передко порятят — от злости или из любопытства к устройству шарнира. Мы на

деемся, что предлагаемый ниже способ решения сделает головоломку доступной, но и требует определенных условий при реализации.

Предлагаемые действия разобем на четыре больших этапа, Мы уже договорились, что в ходе решения головоломки центральные кубики не меняют своего положения в пространстве. Что касается средних кубков, то каждый из них должен в процессе решения занять волне определенное место: оказаться на ребре между двумя «своими» гранями куба, то есть теми гранями, чьи центральные клетки такого же цвета, как две клетки данного среднего кубика. Кроме того, он должен быть правильно повернуть: его цветные клетки должны прилегаать к центральным клеткам того же цвета. Совершенно аналогично обстоит дело с угловыми кубками: у каждой из них есть свое место (на стыке трех граней с центральными клетками его цветов) и единственный правильный разворот. В соответствии с этим порядок наших действия будет следующим:

1. Поставить на нужные места все средние кубики.
2. Правильно повернуть на своих местах все средние кубики.
3. Поставить на нужные места все угловые кубики.
4. Правильно повернуть все угловые кубики.

Каждай из этапов будем выполнять только после того, как предыдущий этап полностью закончен. При этом очередной этап будем выполнять так, чтобы после его завершения оказались не нарушенными достижениями предшествующих этапов.

20

Очевидно, попарные перестановки средних кубиков позволяют осуществить этап 1: поставить на свой место все средние кубики.

Этап 2: повернем средние кубики

Комбинация из двенадцати поворотов
$$K_2 = (AB^{-1}A^{-1}B)(BC^{-1}B^{-1}C)(CA^{-1}C^{-1}A)$$
одновременно поворачивает в своих гнездах кубики 1, 2 (рис. 4) и не меняет ни местоположения, ни поворотов остальных средних кубиков (проверьте!).

Комбинация $K_2$ позволяет повернуть на своих местах любые два средних кубика. Действительно, если они не прилегали к одной гранику или не были на ней соседними, то всегда можно вспомогательными поворотами (запомним эти повороты по цвету центра поворачиваемой плитки) привести желаемые два кубика в положение 1, 2 (рис. 4), повернуть их комбинацией $K_2$, а затем, в обратной очередности и в обратных направлениях повороть вспомогательные повороты.

Попарные совместные повороты средних кубиков позволяют осуществить этап 2, поскольку (ввиду свойства 1) не может служить, чтобы требовал поворота только один средний кубик.

Этап 3: угловые кубики — на место

Комбинация из двенадцати поворотов
$$K_3 = (ABA^{-1}B^{-1})^3$$
осуществляет одновременное перестановки кубиков 1, 2 и кубиков 3, 4 (рис. 5), сохраняет все достижения этапов 1, 2 и не изменяет местоположения угловых кубиков, отличных от 1, 2, 3, 4 (проверьте!)

Комбинация из двенадцати четырех поворотов
$$K_4 = (ACA^{-1}C^{-1})^3(B^{-1}A^{-1}BA)^3$$
осуществляет перестановку кубиков 1, 2, 3 (рис. 6) по схеме $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$, сохраняет все достижения этапов 1, 2 и не изменяет местоположения угловых кубиков, отличных от 1, 2, 3.

Поясним, как, пользоваться комбинациями $K_3$ и $K_4$, осуществлять этап 3.

Допустим, что после завершения этапа 2 часть угловых кубиков не стоит на своих местах. Ввиду свойства П таких кубиков будет не менее, чем три. Выберем один из них и отметим его номером 1. Кубик, занимающий место, куда должен встать кубик 1, отметим номером 2.

Если кубик 2 сам должен перейти на место кубика 1, то номером 3 отметим любой, отличный от первых двух и стоящий не на своей месте угловой кубик, а номером 4 — кубик, стоящий там, куда должен перейти кубик 3. Затем, с помощью вспомогательных поворотов (запомним их) поставим кубики 1, 2 и 3, 4 в положение пар 1, 2, и 3, 4, изображенных на рисунке 5. С помощью комбинации $K_3$ осуществим перестановку $1 \rightarrow 2, 3 \rightarrow 4$, после чего в обратной очередности и обратных намеренных поворотов.

В итоге, кроме ранее стоящих на своих местах местах угловых кубиков, завершено поворот на свой место кубики 1, 2, 3.

Если же кубик 2 не должен был перейти на место кубика 1, то отметим номером 3 кубик, стоящий там, куда должен перейти кубик 2. Если кубик 3 не должен перейти на место кубика 1, то отметим номером 4 кубик, стоящий там, куда должен перейти кубик 3. После этого, как и выше, то есть с помощью вспомогательных поворотов и комбинации $K_3$, осуществляется перестановку $1 \rightarrow 2, 3 \rightarrow 4$, которая ставит на свой место кубики 1 и 3.

Остается случай, когда требуется перестановка кубиков $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$. В этом случае, с помощью вспомогательных поворотов (запомним их) ставим кубики 1, 2, 3 в каком-то порядке на место 1, 2, 3 (рис. 6). Однако из двух комбинаций $K_4, K_4^{-1}$, которые осуществляют перестановки мест $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1, 1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1$, будет осуществлять перестановку кубиков $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 1$ (находящихся с местах 1, 2, 3). Выполним именно эту комбинацию. После этого в обратной очередности и обратных направлениях поворотим вспомогательные повороты. В итоге кубики 1, 2, 3 станут на место.

Повторяя указанный процесс, мы выполним этап 3 — поставим на свой место все угловые кубики.

Этап 4: повернем угловые кубики

Нам потребуется следующие две комбинации:
$$K_5 = [(A^{-1}CAC^{-1})(C^{-1}BCB^{-1})(B^{-1}ABA^{-1})]^2, K_5^{-1} = [(AB^{-1}A^{-1}B)(BC^{-1}B^{-1}B)(BA^{-1}B^{-1}A)]^2.$$

Комбинация $K_5$ поворачивает одновременно каждый из кубиков 1, 2, 3 (рис. 7) вокупности, идущей от его центра к центру куба. на 120° по часовой стрелке. Комбинация $K_5^{-1}$ поворачивает те же кубики против часовой стрелки. Местоположение и поворот любого из остальных кубиков при этом не меняются.

Знание комбинации $K_5$ и $K_5^{-1}$ позволяет совместно повернуть в желаемом направлении (но в одной и ту же сторону) либо етри угловых кубика. Достаточно собрать их с помощью вспомогательных поворотов в одну грань, совместно повернуть с помощью комбинации $K_5$ или $K_5^{-1}$ (в зависимости от нужного направления поворота), а затем вернуть на свой место поворотами, обратными вспомогательным.

Поясним теперь, как, пользоваться комбинации $K_5$ и $K_5^{-1}$, осуществить этап 4.

Если после завершения этапа 3 имеются неправильное повернуть угловые кубики, то, ввиду свойства III, таких кубиков не менее двух.

Допустим, что их больше двух. Возьмем любые три из них. Хотя бы два из этих трех кубиков требуют поворота в одну и ту же сторону. Повернуть в эту сторону все три кубики, мы уменьшим число неверного повернуть кубики. Так мы придем к положению, когда неверно повернуть кубики либо нет, либоровно два.