Решения задач М609, М610; Ф613—Ф617

24

М609. а) Длины проекций выпуклого многоугольника площади S на две взаимно перепределительные прямые равны $l_1$ и $l_2$. Доказите, что $S \leq l_1 l_2$.
б) Длины проекций выпуклого многоугольника объема V на три взаимно перепределительные прямые равны $l_1, l_2$ и $l_3$. Доказите, что $V \leq l_1 l_2 l_3$.
в) Площади проекций выпуклого многоугольника объема V на три взаимно перепределительные прямые равны $S_1, S_2$ и $S_3$. Доказите, что $V \leq \sqrt{S_1 S_2 S_3}$.

М609, М610; Ф613—Ф617

Утверждение пунктов а) и б) неисредственно следует из того, что в случае a) многоугольник содержится в прямогольнике со стороны $l_1$ и $l_2$, а в случае б) многоугольник содержится в прямогольном параллелипе с ребрами $l_1, l_2, l_3$.

в) Пусть $\pi_1, \pi_2, \pi_3$ — взаимно перепределительные плоскости, $S_1, S_2, S_3$ — площади проекций многоугольника M на эти плоскости, а $l_1, l_2, l_3$ — линии проекций многоугольника M на прямые $\pi_2 \cap \pi_3, \pi_1 \cap \pi_3, \pi_1 \cap \pi_2$ соответственно, $V = V(M)$ — его объем. Плоскости, параллельные $\pi_1$, будем в дальнейшем назвать горизонтальные.

Первое решение. Справедливо неравенства
$$V \leq \sqrt{S_1 S_2 S_3}$$

для прямой признамы с горизонтальными основаниями легко следует из а): для такой признамы $S_1 \leq l_2 l_3, S_2 = l_1 l_3, S_3 = l_1 l_2$ и $V^2 = (S_1 l_1)^2 = S_1 \cdot S_1 l_1^2 \leq S_1 \cdot l_1 l_2 \cdot l_1 l_3 = S_1 S_2 S_3$.

Чтобы доказать (1) для произвольного многоугольника, нам понадобится

Лемма. Пусть многоугольник M разрезан горизонтальным плоскостями на n многоугольников $M_1, \dots, M_n$. Если для каждого из них выполняно неравенство (1), то оно выполняно и для M.

Докажем лемму сначала для $n = 2$. Пусть площади проекций многоугольников $M_1$ и $M_2$ на плоскость $\pi_2$ равны $a_1^2$ и $a_2^2$, на плоскость $\pi_3$ — $b_1^2$ и $b_2^2$ соответственно ($a_i > 0, b_i < 0$). Площадь проекций $M_1$ и $M_2$ на $\pi_1$ не превыходит $S_1$. Поэтому
$$V(M) = V(M_1) + V(M_2) \leq \sqrt{S_1} (a_1 b_1 + a_2 b_2) \leq \sqrt{S_1} \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \sqrt{b_1^2 + b_2^2} = \sqrt{S_1 S_2 S_3}.$$

Неравенство
$$(a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2) (b_1^2 + b_2^2),$$

которым мы воспользуемся, эквивалентно оценному $(a_1 b_2 - a_2 b_1)^2 \geq 0$.

Докажательство леммы для любого $n$ можно proveсти либо идущей по $n$, либо аналогично случанию $n = 2$ с использованием вместе (2) неравенства Коши («Квант», 1972, № 1)
$$(a_1 b_1 + \dots + a_n b_n)^2 \leq (a_1^2 + \dots + a_n^2) (b_1^2 + \dots + b_n^2).$$

Теперь доказательство неравенства (1) завершается так. Разрежем многоугольник M на горизонтальные слон. При малой толщине словь объемы многоугольника M и объедининия некоторых поставленных друг на друга признам (а также площади их соответствующих проекций) отличия скольго углоно малого. Именно:

Пусть $h$ — малое положительное число. Проведем достаточно густо горизонтальные плоскости (в том числе — через все вершины многоугольника M) так, чтобы М оказался разрезанным на $n$ словь толщиной $h_i \leq h(l_1 = h_1 + h_2 + \dots + h_n)$. Заключим $i$-й слой в прямую признам высотой $h_i$ и с горизонтальным основанием, совпадующим с проекцией этого слоя на $i$-ю секущую плоскость.

Пусть $M'$ — объединение построенных признам. Проекция $M'$ на $l_1$ совпадает с проекцией многоугольника M на $l_1$: $S_1' = S_1$, а площади $S_2'$ и $S_3'$ проекций $M'$ на плоскости $l_2$ и $l_3$ не меньше площадей $S_2$ и $S_3$, соответствующно и отличия от них на сумму площадей прямого угольников, защищенных на рисунке 1. Эта сумма не больше $cl_1 h$, где $c$ — наиболее alta степень углов, образуемых проекциями ребер многоугольника M на плоскости $l_2$ и $l_3$ с вертикальным. Поэтому
$$V(M) \leq V(M') \leq \sqrt{S_1' S_2' S_3'} \leq \sqrt{S_1 (S_2 + cl_1 h) (S_3 + cl_1 h)}.$$

25

Поскольку это неравенство верно при любом $h$, $V \leqslant \sqrt{S_1 S_2 S_3}$.

Второе решение. Введем в пространстве прямоугольную систему координат, приняв $\pi_1 \cap \pi_2$, $\pi_1 \cap \pi_3$, $\pi_2 \cap \pi_3$ за оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Пусть $[a; b]$ — отрезок оси $Oz$, на которой проектируется многограничник $M$. Через каждую точку $z \in [a; b]$ проведем горизонтальную плоскость. Пусть $S(z)$ — площадь сечения многограничника этой плоскости, а $l_2(z)$ и $l_3(z)$ — длины проекций этого сечения на плоскости $\pi_2$ и $\pi_3$ соответственно. Можно доказать, что

$$V = \int_a^b S(z) dz. \tag{4}$$

В учебнике «Геометрия 9—10» (§58 и §66) эта формула выведена для примеры и для тела вращения; для произвольных многограничков доказательство аналогичное. Мы еще воспользовемся формулой (доказите ее самостояльно!)

$$S = \int_a^b l(z) dz, \tag{5}$$

где $S$ — площадь выпуклого многоугольника, лежащого в плоскости $xOz$, а $l(z)$ — длина отрезка, по которой пересекается с многоугольником прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящей через точку $z \in [a; b]$ (рис. 2). Кроме того, нам понадобится интегральное неравенство Буняковского, являющееся аналогом неравенства (3):

$$\left| \int_a^b f(z) g(z) dz \right| \leqslant \sqrt{\int_a^b f^2(z) dz} \cdot \sqrt{\int_a^b g^2(z) dz}.$$

Мы доказем его для непрерывных функций $f$ и $g$.

Доказательство. Пусть $\lambda \in \mathbb{R}$. Расмотрим функцию

$$\varphi(\lambda) = \int_a^b (f(z) - \lambda g(z))^2 dz =$$

$$= \lambda^2 \int_a^b g^2(z) dz - 2\lambda \int_a^b f(z) g(z) dz + \int_a^b f^2(z) dz = A\lambda^2 - 2B\lambda + C$$

$$\left( A = \int_a^b g^2(z) dz, B = \int_a^b f(z) g(z) dz, C = \int_a^b f^2(z) dz \right).$$

Функция $\varphi$ — квадратный трехчлен, принимающий при любых $\lambda$ неотрицательные значения. Поэтому $\frac{D}{4} = B^2 - AC \leqslant 0$ или $B \leqslant \sqrt{A} \cdot \sqrt{C}$, а это и есть требуемое неравенство. (Доказательное аналогом неравенство (3).)

Теперь завершим второе решение задачи.

$$V = \int_a^b S(z) dz = \int_a^b \sqrt{S(z)} \cdot \sqrt{S(z)} dz.$$

Так как $S(z) \leqslant S_1$ при любом $z \in [a; b]$, получаем

$$V \leqslant \sqrt{S_1} \cdot \int_a^b \sqrt{S(z)} dz.$$

В силу пункта a) $S(z) \leqslant l_2(z) l_3(z)$. Поэтому

$$V \leqslant \sqrt{S_1} \cdot \int_a^b \sqrt{l_2(z)} \cdot \sqrt{l_3(z)} dz.$$

Приимена интегральное неравенство Буняковского и формулу (5), получаем

26

М610. Фиксируем $k \in \mathbb{N}$.
a) Рассмотрим множество всех наборов целых чисел $a_1, \dots, a_k$ таких, что $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \dots \leq a_k \leq k$; обозначим число таких наборов через $N$. Рассмотрим среди их те, для которых $a_k = k$; пусть их число равно $M$. Докажите, что $N = 2M$.
b) Наложим на рассматриваемые наборы дополнительное ограничение: сумма $a_1 + \dots + a_k$ делится на $k$. Пусть соответствующие числа равны $N'$ и $M'$. Докажите, что $N' = 2M'$ (Из рисунка 1 видно, что при $k = 3$ эти числа равны $M = 10$, $N = 20$, $M' = 4$, $N' = 8$).

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Рис. 4.

Рис. 5.

Как известно, если два множества имеют одинаковое число элементов, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие. Собственно говоря, это и есть определенное того, что в множестве элементов поровну, но этот факт иногда забывается. А между тем довольно часто равенство двух чисел установливается именно через взаимно однозначное соответствие подхождения множества.

Нам нужно доказать, что наборов, в которых $a_k = k$,ровно половина. Поэтому попробуем установить взаимно однозначное соответствие между ними наборами и оставшимся теми, у которых $a_k < k$.

Сопоставить набору $(a_1, a_2, \dots, a_k)$ набор $(a_k, a_{k-1}, \dots, a_1)$ нельзя, так как новый набор — невозрастший. Можно попробовать сопоставить набору $(a_1, \dots, a_k)$ набор $(k - a_k, k - a_{k-1}, \dots, k - a_1)$: он уже — неуввыающий, но… $k - a_1$ не обязано быть меньше $k$. Поэтому это соответствие не решает задачу. (Вопрос: какую задачу решает это соответствие?)

Значит, необходимо более сложное соответствие. Для его построения нам понадобится понятие диаграммы Юнга данного набора.

Что это такое, прошшее всего объяснить на примере: набору $(0, 0, 2, 3, 5)$ соответствует диаграмме, изображенная на рисунке 2 — в каждой строке столько квадратков, каково соответствующое число.

Дополнительная диаграмму Юнга до квадрата (рис. 3). Тогда становится ясно, что наша первоначальная идея заключалась в том, чтобы отсутствовать диаграмму не из красных, а из белых квадратков (и, соответственно, не слева-синизу, а справа-сверху).

Попытаем теперь дополнитель рисунок 3 вертикальной диаграммой — как на рисунке 4. Отсутствия этого диаграмму сизу-слева, получим набор $(2, 2, 3, 4, 4)$. Изовем этот набор дополнительным к набору $(0, 0, 2, 3, 5)$.

Еще один пример изображен на рисунке 5.

Ясно, что если исходный набор $(a_1, \dots, a_k)$, а дополнительный — $(b_1, \dots, b_k)$, то $a_k = k$ тогда и только тогда, когда $b_k < k$. В самом деле, $a_k = k$, если верхняя правая клетка входит в основную диаграмму Юнга, и $a_k < k$, если она входит в дополнительную.

Установленное нами соответствие между наборами, у которых $a_k = k$, и наборами, у которых $a_k < k$, оченьindo, взаимно однозначно. Тем самым мы решили a). Кроме того, сумма чисел исходного и дополнительного набора равна $k^2$ (в нашем примере — 25). Поэтому сумма чисел дополнительного набора делится на $k$ тогда и только тогда, когда делится на $k$ сумма чисел исходного набора. Это решает 6).

Заметан и другое решение: можно неопределенно посчитать числа $N$ и $M$. Именно:

Лемма a. Число наборов целых чисел $a_1, \dots, a_m$ таких, что $0 \leq a_1 \leq \dots \leq a_m \leq k$, равно $C_{k+m}^m$.

Доказательство. Рассмотрим набор $(b_1, \dots, b_m)$, где $b_i = a_i + i$: $b_1 = a_1 + 1$, $b_2 = a_2 + 2$ и т. д. Тогда, очевидно, $1 < b_1 < b_2 < \dots < b_m < k + m$, то есть $(b_1, \dots, b_m)$ — произвольный возможность набора $m$ целых чисел их первых $k + m$ чисел. Число таких наборов равно $C_{k+m}^m$.

Позному числу наборов, в которых $a_k \leq k$, по лемме равно $C_{k+k}^k$. Если же $a_k = k$, то нам остается выбрать числа $a_1, \dots, a_k - 1$ так, что $0 \leq a_1 \leq \dots \leq a_k - 1 \leq k$; их число равно $C_{k+k-1}^k$. Остается посчитать, что $2C_{k+k-1}^k$ равно $C_{k+k}^k$.

A. Толпью

27

Ф613. Коробка массы M стоит на горизонтальном столе. В коробке наружные сжатость k подвешен груз массы m. При какой амплитуде колебаний груза коробка начинает подпрызвать на столе?

Так как кружне подвешен груз массы m, в состоянии равновесияружина растянуто на величины Δx₁ (см. рисок) такую, что k · Δx₁ = mg, то есть

Δx₁ = mg/k.

На коробку действуют сила тяжесте Mg и сила T реакции со стороныружины. Сила T равна по абсолотной величины силе упругости — T = kx — и направлена вниз, когдаружина растянута, и вверх — когдаружина ската. Коробка начинает подпрызвать, когда сила T становится превышает силу Mg: T ≥ Mg. В тот момент, когда T = Mg, ската Δx₂ пружины равно

Δx₂ = Mg/k.

Следовательно, коробка начинает подпрыгивать, когда амплитуда колебаний пружины равна

A = Δx₁ + Δx₂ = (M + m) g/k.

Л. Баканина

Ф614. В замкнутом сосуде находился газообразный азот при комнатной температуре t₀ = 20°С и давлении p₀ = 10⁵ Па. В сосуд впрыснул некоторые колибаний груза коробка начинает подпрызвать на столе с температурой t₁ = -196°С (температурки кленя азота при нормальном атмосферном давлении). Жидкий азот быстро испарился, после чего температура в сосуде оказалась равной t₂ = -140°С. После того как сосуд прорелся до комнатной температуры, в нем установилось давление p = 1,5 · 10⁵ Па. Определить молярную теплоту испаренияяждого азота. Теплоемкость газообразного азота при постоянном объете Cₙ = 20,8 Дж/ (моль · К).

Так как испарениеяждого азота, согласно условиям задачи, произшло быстро, темпералообменом с окружаюшей средой можно пребежать. Испарениевыснуть массы азота Δm и нагрев ее от температуры t₁ до температуры t₂ происходит за счет теплла, отнято у первоначальной массы азота m. Запишем уравнение теплового баланса:

C_V m/M (t₀ - t₂) = Δm/M [λ + C_V (t₂ - t₁)].

Отсюда находим молярную теплоту испаренияяждого азота λ:

λ = [ (t₀ - t₂) / Δm/m] (t₂ - t₁)] C_V.

Согласно условиям задачи, окончательное давление в сосуде оказалось в 1,5 раза больше начального давления P₀ при той же комнатной температуре t₀. Это означает, что масса азота в сосуде возросла в 1,5 раза, то есть (m + Δm)/m = 1,5, и Δm/m = 0,5. Подставляя эту величины из условия значения t₀, t₁, t₂ и C_V в выражение (*), находим

λ = 5500 Дж/mоль.

В. Белонукин

Ф615. В случае несамостояльного газового разряда зависимость тока I через газоразрядную грубу от напряжения U между электродами грубки имеет вид, показанный на рисунке 1. Трубка с последовательным соединением баластным сопротивлением R = 3 · 10⁸ Ом подключаена к источнику с постоянной ЭДС Ε = 6 кВ. Найдите, какой ток установлен через грубку ичем будет равно при этом напряжение на грубке. Внутренним сопротивлением источника пребрежь.

Схема включения газоразрядной грубки показана на рисунке 2.

Найдем минимальное значение ЭДС источника, при котором через грубку будет достигать насыщения. Для этого заполните закон Ома для цепи:

ε_min = U_H + I_H R,

где U_H = 10³ В, I_H = 10⁻⁵ А (см. рис. 1). Подставляя численные значения, находим ε_min = 4 кВ.

В нашем случае ЭДС источника ε > ε_min. Следовательно, ток через грубку равен току насыщения. Например, при этом определяется условием ε = U + I_H R, откуда

U = ε - I_H R = 3 кВ.

Величину тока через грубку можно определить другим способом. Предположим, что ток I в цепи меньше тока насыщения. Запишем закон Ома для этого случая:

ε = I(R_Tp + R),

где R_Tp — внутреннее сопротивление грубки. Значение R_Tp находится по наклону линейного участка волтампернойxa-

28

Рактористки трубки (см. рис. 1):

$$R_{\text{тр}} = \frac{U_H}{I_H} = 10^8 \text{ Ом.}$$

Таким образом,

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{\text{тр}} + R} = 15 \text{ мкA.}$$

Найdenное значение тока большие $I_H$. Следовательно, наше предположение о том, что $I < I_H$, неверно. Ток через трубку равен току насыщения.

В. Можаев

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф616. Длина нити накапливания электрической лампоки равна $l$, а диаметр — $d$. Каковы длина $l_1$ и диаметр $d_1$ другой лампоки, расчитанной на то же напряжение сети, но с вводом большим световым потоком, если КПД обеих лампочек один и тот же?

Пусть $W$ и $W_1$ — мощности, потребляемые от сети первой и второй лампами. Тогда энергии, излучаемые лампами в виде света (световые потоки), равны, соответственно, $E = \eta W$ и $E_1 = \eta W_1$, где $\eta$ — КПД ламп.

В состоянии равновесия мощность $W$ ($W_1$), получаемая лампокой от сети, должна быть равна мощности $P$ ($P_1$), излучаемой лампокой в виде света и теплла. Мощность $P$ ($P_1$), оченьindo, пропорциональна площади $S$ ($S_1$) поверхности нити и некоторой функции температуры $f(T)$ ($f(T_1)$). Следовательно,

$$P = W = k_1 S f(T), \quad W_1 = k_1 S_1 f(T_1),$$

где $k_1$ — коэффициент пропорциональности. Световой поток, излучаемый лампокой, также пропорционален площади поверхности нити и некоторой функции температуры:

$$E = k_2 S \varphi(T), \quad E_1 = k_2 S_1 \varphi(T_1).$$

И так как $E = \eta W$, то

$$k_2 \varphi(T) = \eta k_1 f(T), \quad k_2 \varphi(T_1) = \eta k_1 f(T_1).$$

Из этих равенств видно, что КПД лампоки определяется температурой нити. Следовательно, при одинаковых КПД двух лампоек температуры их нитей накапливаются, то есть $T_1 = T$. Это означает, что

$$\frac{E_1}{E} = \frac{k_2 S_1 \varphi(T)}{k_2 S \varphi(T)} = \frac{S_1}{S} = \frac{d_1 l_1}{dl}.$$

По условию задачи $E_1: E = 2$, то есть

$$\frac{d_1 l_1}{dl} = 2.$$

При напряжении в сети $U$

$$E = \eta W = \eta \frac{U^2}{R}, \quad E_1 = \eta W_1 = \eta \frac{U^2}{R_1},$$

где $R = \varrho \frac{4l}{\pi d^2}$, $R_1 = \varrho \frac{4l_1}{\pi d_1^2}$ — сопротивления нити ламп ($\varrho$ — удельное сопротивление материалов нити при температуре работы ламп). Следовательно, $\frac{E_1}{E} = \frac{ld_1^2}{l_1 d^2}$, и согласно условия,

$$\frac{l d_1^2}{l_1 d^2} = 2.$$