Về khối đa diện bắc cầu

9

Về khối đa diện bắc cầu

Năm ngoái, cậu học sinh Kiev A. Shklyar đã đóng góp cho ban biên tập tạp chí của chúng tôi một bài báo “Phương pháp hình học để tìm tất cả các nhóm hữu hạn của chuyển vị dương của không gian,” dựa trên kết quả của chính cậu ấy, những kết quả bổ sung mà cậu ấy nhận được tại các cuộc họp của nhóm toán học của Đại học Quốc gia Kyiv.

Chúng tôi sẽ không xuất bản một bài báo về chủ đề phi trường học như vậy, nhưng định lý do A. Shklyar chứng minh cho phép cải cách liên quan đến chủ đề trường học “Đa ranh giới”.

Dưới đây là bài viết của A. Shklyar, được sửa lại bởi một thành viên trong nhóm biên tập «Kvant» Giáo sư V. G. Boltyansky.

Phần 3 đưa ra mô tả hình học đơn giản về “cấu trúc” các bề mặt của các polytop chuyển tiếp dương. Trong đoạn 4 tất cả chúng đều được liệt kê.

1. Chuyển động có điểm cố định

Trước khi hình thành bài toán, được thảo luận trong ghi chú này, chúng ta hãy nhớ lại (xem bài viết “Sự dịch chuyển của không gian” của A. Sosinsky trong «Kvant» số 8) một số sự kiện liên quan đến sự dịch chuyển của không gian. Chúng ta sẽ giả sử rằng điểm $O$ cố định trong không gian và chúng ta sẽ chỉ xem xét những chuyển động trong không gian mà tại đó $O$ không chuyển động, tức là biến thành chính nó. Một ví dụ về chuyển động như vậy là phép quay $f$ theo một góc không bát phân xung quanh đường $l$ đi qua điểm $O$. Khi di chuyển $f$ của mỗi điểm trên đường thẳng $l$ biến thành chính nó và không có điểm cố định nào khác (trừ khi góc quay là bội số của 2π).

Lưu ý rằng chuyển động quay là chuyển động bảo toàn hướng. (Điều này có thể được tính như sau: khi quay, một con vít thông thường sẽ quay trở lại thành một con vít thông thường.) Trong bài báo của Sosinsky, người ta đã chứng minh rằng trong số các chuyển động làm cho điểm $O$ cố định, các chuyển động quay quanh các đường thẳng đi qua $O$, và chỉ có chúng, bảo toàn hướng. Vì thành phần của hai phép tịnh tiến bảo toàn hướng cũng là thành phần duy trì hướng, nên chúng ta kết luận rằng thành phần của hai phép quay quanh các đường thẳng đi qua điểm $O$ cũng là một phép quay quanh một đường thẳng nào đó đi qua $O$.

2. Đa giác chuyển tiếp dương

Một số tập hợp chuyển động (không trống) $G$ được gọi là nhóm chuyển động nếu nó có các đặc tính sau:

1. $f \in G \Rightarrow f^{-1} \in G$;
2. $f_1 \in G$ và $f_2 \in G \Rightarrow f_2 \circ f_1 \in G$.

Từ những gì đã nói ở đoạn trước, rõ ràng là tập hợp các phép quay (ở mọi góc có thể có) xung quanh các đường đi qua $O$ là một nhóm các chuyển vị.

Bây giờ hãy để $M$ là một hình nào đó trong không gian. Tập hợp tất cả các cách tự sắp xếp của hình $M$ biểu thị $\Gamma(M)$ xem («Kvant», 1980, số 7, trang 4), và đến $\Gamma_+(M)$ biểu thị tập hợp các cách tự sắp xếp của hình $M$ bảo toàn hướng. Rõ ràng, mỗi tập hợp $\Gamma(M), \Gamma_+(M)$ được biểu thị bằng một nhóm chuyển vị.

Tập $M$ được gọi là bắc cầu nếu với bất kỳ điểm $A$, $B$ nào của tập này trong nhóm $\Gamma(M)$ có một bản dịch lấy $A$ thành $B$. Tương tự, tập $M$ được gọi là bắc cầu dương nếu với bất kỳ $A$, $B \in M$ nào có sự tự kết hợp $f \in \Gamma_+(M)$ sao cho $f(A) = B$.

Chúng ta gọi một đa hình là dương nếu các tập hợp

10

NHỮNG ĐIỀU CỦA TẤT CẢ CÁC ĐỈNH CỦA NÓ LÀ CHUYỂN TIẾP TÍCH CỰC. Nếu khối đa diện $M$ có tính bắc cầu dương thì tất nhiên nó có tính bắc cầu và do đó (xem Quiet, 1980, No. 7, p. 5, Định lý 2) có thể mô tả một hình cầu xung quanh nó. Mỗi sự tự sắp xếp của khối đa diện $M$ sẽ chuyển tâm $O$ của hình cầu này thành chính nó. Có thể, mỗi sự tự sắp xếp bảo toàn hướng của khối đa diện $M$ thể hiện một phép quay quanh một đường thẳng nhất định đi qua điểm $O$. Bây giờ, định nghĩa của một đa diện bắc cầu dương có thể được phát biểu như sau: một đa diện $M$ được gọi là bắc cầu dương nếu một hình cầu có thể được mô tả xung quanh nó, đồng thời, đối với hai đỉnh bất kỳ của nó $A, B$ có một phép quay (xung quanh một đường thẳng nhất định đi qua tâm của hình cầu ngoại tiếp), đưa khối đa diện này vào chính nó và đỉnh $A$ vào $B$.

Mục tiêu của bài viết của chúng tôi là mô tả tất cả các khối đa diện chuyển tiếp dương.

3. Các cạnh là gì?

Cho $M$ là một đa diện bắc cầu dương. Chúng tôi sửa mặt của nó $y$. Tuy nhiên, trong hai trường hợp: hoặc tồn tại một ngã rẽ $j \in \Gamma_+(M)$, khác với ngã rẽ xác định, lấy mặt $y$ vào trong chính nó, hoặc một ngã rẽ như vậy không tồn tại.

Đầu tiên, tồn tại một phép quay $j$ như vậy và $l$ là trục của phép quay này. Đường $l$ đi qua tâm $O$ của hình cầu ngoại tiếp và cắt mặt $y$ tại một điểm nào đó $P$.

Điểm $P$ rõ ràng không thể là đỉnh của khối đa diện $M$.

Điểm $P$ cũng không thể là điểm trong của cạnh $AB$ nào đó thuộc mặt $y$. Hãy giả sử điều ngược lại. Để tìm kiếm $f(P) = P$, cạnh $AB$ cũng phải đi vào chính nó (vì không có cạnh nào khác đi qua điểm $P$). Vì vậy, $f(A) = B$, $f(B) = A$. Theo đó, cạnh $AB$ vuông góc với đường thẳng $l$ và được chia cho điểm $P$ làm đôi và $j$ là phép quay qua góc $j$ xung quanh

thẳng $l$. Tuy nhiên, trong trường hợp này, nó không hẳn là $j(\gamma) \neq \gamma$.

Điều này có nghĩa là điểm $P$ là điểm bên trong của mặt $y$. Vì $j(\gamma) = \gamma$ nên đường thẳng $l$ vuông góc với mặt phẳng mặt $y$. Gọi $g \in \Gamma_+(M)$ là phép quay qua góc nhỏ nhất (về độ lớn) đón mặt $y$ vào chính nó và $a$ là độ lớn của góc này. Sau đó, phép quay ở mỗi góc $2a, 3a, \dots$ cũng biến khuôn mặt $y$ thành chính nó. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng $a = \frac{2\pi}{k}$, trong đó $k$ là một số tự nhiên. Trên thực tế, nếu $k$ là một số chẳng hạn như $(k-1)a < 2\pi$, nhưng đã là $ka \geq 2\pi$, thì với $ka > 2\pi$, việc quay qua góc $ka - 2\pi$ sẽ đưa mặt $y$ vào chính nó, tuy nhiên, điều này không thể xảy ra vì $ka - 2\pi < a$. Do đó, $ka = 2\pi$, tức là $g$, là phép quay qua góc $\frac{2\pi}{k}$. Lấy một đỉnh $A_0$ tùy ý của mặt $y$ và đặt $A_1 = g(A_0)$, $A_2 = g(A_1)$,…, $A_{k-1} = g(A_{k-2})$ (sau đó $g(A_{k-1}) = A_0$). Các đỉnh của đa giác $y$ nằm giữa $A_0$ và $A_1$ được ký hiệu là $B_1$, $B_2$, …, $B_{m-1}$. Đường đứt nét $p_0 = A_0B_1B_2...B_{m-1}A_1$ (gồm các liên kết $m$) rẽ khi biến $g$ thành đường đứt nét tương tự $p_1 = g(p_0)$ (đi từ điểm $A_1$ đến $A_2$), v.v.; cuối cùng, đường đứt nét $p_1 = g(p_2)$ chứa các điểm $A_k$ và $A_0$. Từ đó, rõ ràng là đa giác $y$ có $km$ đỉnh và các đỉnh $m$ $A_0$, $B_1$, $B_2,..., B_{m-1}$ là “khác nhau” theo nghĩa là không có hai trong số chúng có thể được kết hợp bằng bất kỳ phép quay nào từ $\Gamma_+(M)$ biến khuôn mặt $y$ thành chính bạn. Các đỉnh còn lại “giống hệt” với bất kỳ đỉnh nào trong số các đỉnh $A_0$, $B_1$, $B_2,..., B_{m-1}$. Chúng ta sẽ gọi số $k$ là số chu kỳ của mặt $y$.

Nếu $m = 1$, tức là phép quay $g$ chuyển đỉnh $A_0$ sang đỉnh lân cận của mặt $y$, thì cũng có một phép quay chuyển $A_0$ sang bất kỳ đỉnh nào khác của mặt này. Một khuôn mặt như vậy được gọi là bắc cầu. Dễ dàng thấy rằng một mặt bắc cầu là một đa giác đều và tất cả các đỉnh thuộc mặt này đều được xây dựng theo cùng một cách.

Nếu không có lượt $j \in \Gamma_+(M)$, một người trìu mến xuất sắc

11

một lấy mặt $\gamma$ vào chính nó, nghĩa là tất cả các đỉnh của mặt $\gamma$ đều “khác nhau”, chúng ta đặt $k=1$ và bằng $m$ chúng ta biểu thị số đỉnh.

Bây giờ các số $k$ và $m$ được xác định cho bất kỳ mặt nào của bất kỳ khối đa diện granite dương nào.

Bổ đề 1. Đối với bất kỳ mặt $\gamma$ nào, các số $k$ và $m$ chỉ có thể nhận các giá trị sau:

1. $k=1$, $m=3$; 2) $k \geq 2$, $m=2$; 3) $k > 2$, $m=1$.

Bằng chứng. Vì $M$ là một polytope granit dương nên có một chuyển động quay $h_i \in \Gamma_+(M)$ mất $B_i$ đến $A_0 (i=1,2,...,m-1)$. Mặt $h_i(\gamma)$ đồng dạng với $\gamma$, nhưng không giống nhau, vì các đỉnh $A_0$ và $B_i$ là “khác nhau”. Hơn nữa, tất cả các mặt $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ đều phân biệt theo cặp (nếu $h_1(\gamma)=h_2(\gamma)$ thì $h_2^{-1} h_1(B_1) = h_2^{-1}(A_0)=B_2$) và chúng đều liền kề với đỉnh $A_0$. Do đó, tổng các góc của đa giác $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ tại đỉnh $A_0$ nhỏ hơn $2\pi$. Điều này có nghĩa là tổng các góc của đa giác $\gamma$ tại các đỉnh $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ nhỏ hơn $2\pi$. Nhưng tổng độ lớn các góc của nó tại các đỉnh $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ bằng $\sigma = \frac{1}{k} (km-2)\pi$. Do đó, $\frac{1}{k} (km-2)\pi < 2\pi$, tức là $m-2 < \frac{2}{k}$, $km \geq 3$. Từ các bất đẳng thức thu được $m-2 < \frac{2}{k}$, $km \geq 3$, suy ra rằng đối với $k$ và $m$ chỉ có thể có các giá trị được chỉ định. (Hãy chắc chắn về điều này.)

Bổ đề 2. Nếu một mặt không phải đá granite $\gamma$ liền kề với đỉnh $A_0$ thì tất cả các mặt không phải đá granite khác tại đỉnh $A_0$ đều bằng nhau và số mặt không phải đá granit liền kề với $A_0$ là $m$.

Bằng chứng. Trong chứng minh Bổ đề 1, chúng ta thấy rằng tổng các góc của mặt $\gamma$ đối với các đỉnh “khác nhau” $A_0$, $B_1,...,B_{m-1}$ bằng $\sigma = \frac{\pi}{k} (km-2)$. Đối với $m=3$, $k=1$ (khả năng đầu tiên trong Bổ đề 1), chúng ta có $\sigma=\pi$; tại $m=2$, $k \geq 2$ (khả năng thứ hai) chúng ta có

$$\sigma = \frac{k-1}{k} \cdot 2\pi \geq \pi.$$

Do đó, ở $m>1$ (nghĩa là đối với mặt không phải đá granit) $\sigma \geq \pi$. Áp dụng phép quay $h_1, h_2,...,h_{m-1}$ từ chứng minh Bổ đề 1 đến $\gamma$, chúng ta thu được tại đỉnh $A_0$ m các mặt không phải đá granit đồng dạng $\gamma$, $h_1(\gamma),...,h_{m-1}(\gamma)$ và kết luận rằng “tập hợp” thứ hai các mặt không phải đá granit tại điểm $A_0$ không thể liền kề (tổng các góc phẳng ở đỉnh $A_0$ sẽ lớn hơn hoặc bằng $2\pi$).

Khi hình thành bổ đề sau, điều kiện của thuật ngữ “các mặt kề nhau” sẽ gọi là hai mặt có một cạnh chung (nghĩa là hai mặt chỉ có một đỉnh chung sẽ không bị coi là hài hước).

Bổ đề 3. Bất kỳ hai mặt nào tiếp giáp với một mặt đá granit nào đó $\gamma$ đều có thể được kết hợp bằng một phép quay nào đó từ $\Gamma_+(M)$, lấy $\gamma$ về chính nó.

Chúng tôi để lại việc chứng minh bổ đề đơn giản và quan trọng này cho người đọc.

4. Mô tả tất cả các khối đa diện dương

Để liệt kê tất cả các polytop dương tính, hãy xem xét bốn khả năng.

A) Khối đa diện $M$ chứa một mặt không phải là đá granit $\gamma$, khác với một hình tam giác và đối với mặt này, số chu kỳ (tức là $k$) lớn hơn 2. Do đó, theo Bổ đề 1, $m=2$.

Đặt $A_0$ là một đỉnh nào đó của mặt $\gamma$. Khi đó, theo Bổ đề 2, hai mặt không phải là đá granit bằng nhau $\gamma$, $\gamma_1$ liền kề với đỉnh $A_0$, còn lại là các mặt đá granit liền kề với $A_0$. Rõ ràng là mặc dù có một mặt đá granit (vì có ít nhất ba mặt gặp nhau ở mỗi đỉnh). Trong chứng minh Bổ đề 1, chúng ta thấy rằng tổng các góc của mặt $\gamma$ tại các đỉnh “khác nhau” (hoặc, giống nhau, tổng các góc của các mặt $\gamma$, $\gamma_1$ tại đỉnh $A_0$) bằng

$$\sigma = \frac{\pi}{k} (km-2) = \frac{\pi}{k} (2k-2) = 2\pi - \frac{2\pi}{k}.$$

Vì $k>2$, $\sigma \geq 2\pi - \frac{2\pi}{3}$

12

Vì tổng tất cả các góc hội tụ tại đỉnh $A_0$ nhỏ hơn 2π nên tổng các góc của các mặt bắc cầu tại đỉnh $A_0$ cộng lại nhỏ hơn $\frac{2\pi}{3}$, điều này cho thấy rằng chỉ có một mặt bắc cầu γ có thể áp dụng cho $A_0$. Nếu khuôn mặt này là một $l$-gon đều, tức là nó có một góc $\alpha = \pi - \frac{2\pi}{l}$, thì theo những gì đã nói, $\sigma + \alpha < 2\pi$, tức là $(2\pi - \frac{2\pi}{k}) + (\pi - \frac{2\pi}{l}) < 2\pi$. Nói cách khác, $\frac{1}{k} + \frac{1}{l} > \frac{1}{2}$. Xét rằng $k > 2$, $l > 2$, từ đây chúng ta thấy năm khả năng sau:

1. $m = 2$, $k = 3$, $l = 3$;
2. $m = 2$, $k = 3$, $l = 4$;
3. $m = 2$, $k = 3$, $l = 5$;
4. $m = 2$, $k = 4$, $l = 3$;
5. $m = 2$, $k = 5$, $l = 3$.

Các khối đa diện chuyển tiếp dương tương ứng với các trường hợp này rất dễ xây dựng: để làm được điều này, bạn cần “cắt bỏ” các đỉnh ở gót của các khối đa diện đều (đối với các khối đa diện đều, xem “Hình học 9-10”, § 54 hoặc «Kvant», 1980, Số 7, trang 6).

Để cắt một đỉnh, bạn cần bố trí các đoạn có độ dài bằng nhau, nhỏ hơn một nửa chiều dài của cạnh, trên tất cả các cạnh ra khỏi đỉnh đó và vẽ một mặt phẳng đi qua các điểm thu được (Hình 1). Ví dụ, Hình 2 cho thấy một khối đa diện tương ứng với trường hợp 4: nó thu được bằng trung bình các đỉnh của hình lập phương. Dễ dàng nhận thấy rằng mọi sự tự kết hợp của một khối lập phương sẽ biến khối đa diện này thành chính nó và ngược lại. Do đó, nhóm tự sắp xếp của khối đa diện trùng với nhóm tự sắp xếp của hình lập phương. Điều tương tự cũng áp dụng cho năm trường hợp còn lại được liệt kê.

Như vậy, các khối đa diện bắc cầu dương tương ứng với trường hợp A là các khối đa diện đều có các đỉnh trung bình.

B) Khối đa diện M chứa một mặt dị dương γ, khác với tam giác và với mặt này $k = 2$. Ở đây cũng $m = 2$, tức là mặt γ là hình bình hành ($m = 2$, $k = 2$) và $\sigma = \frac{\pi}{k}(km - 2) = \pi$. Do đó, đỉnh $A_0$ liền kề với nhiều nhất hai mặt bắc cầu.

Trước tiên chúng ta xét trường hợp con khi đỉnh $A_0$ liền kề với 2 mặt bắc cầu. Các mặt này không liền kề (nếu không, theo Bổ đề 3, tất cả các mặt sẽ đồng dạng với một trong số chúng và sẽ có tính bắc cầu, điều này là không thể, vì có một mặt dị γ). Giả sử rằng những mặt này là một $l_1$-giác đều và một $l_2$-giác đều, sau đó là $\sigma + \left(\pi - \frac{2\pi}{l_1}\right) + \left(\pi - \frac{2\pi}{l_2}\right) < 2\pi$, tức là $\frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2} > \frac{1}{2}$. Điều này mang lại thêm ba khả năng (chúng ta có thể xem xét $l_1 \leq l_2$:

6. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 3$;
7. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 4$;
8. $m = 2$, $k = 2$, $l_1 = 3$, $l_2 = 5$.

Hình 3.

Khối đa diện bắc cầu dương tương ứng có thể thu được bằng cách “cắt bỏ” các đỉnh và cạnh của các khối đa diện đều (Hình 1 thể hiện đường đi trung bình của các đỉnh, Hình 3 thể hiện đường đi trung bình của các cạnh).

Trang thứ hai của trang bìa cho thấy các khối đa diện thu được theo cách này từ phần gốc của các khối đa diện thông thường. Theo quan điểm phân loại của chúng tôi, khối đa diện 1 và 2 là “giống hệt nhau” - mỗi đỉnh liền kề với cùng một

13

cùng một bộ mặt (theo ngôn ngữ của đại số “cao hơn”: các nhóm tự kết hợp của các khối đa diện này là đẳng cấu - «Kvant», 1976, Số 10, trang 10; khối đa diện 3 và 4 “giống hệt nhau” theo nghĩa tương tự).

Vì vậy, trong trường hợp con này, chúng ta có ba loại đa diện bắc cầu dương - các khối đa diện đều có các đỉnh và cạnh ở giữa.

Nếu chỉ có một mặt bắc cầu ($l$-gon) tiếp giáp với đỉnh $A_0$, thì $\sigma + \left( \pi - \frac{2\pi}{l} \right) < 2\pi$, tức là $-\frac{2\pi}{l} < 0$. Nói cách khác, trong trường hợp này không có hạn chế nào được áp dụng đối với $l$. chúng tôi nhận được

9. $m = 2, k = 2, l \geqslant 3$ - bất kỳ.

Khối đa diện tương ứng là lăng kính $l$-giác đều (Hình 4).

C) Khối đa diện $M$ chứa một mặt không biên $\gamma$, là một hình tam giác ($k = 1, m = 3$).

Trong trường hợp này, $\sigma = \pi$, và do đó ba hình tam giác $\gamma, \gamma_1, \gamma_2$ liền kề với đỉnh $A_0 \in \gamma$ và hai, một hoặc không có mặt bắc cầu nào cũng có thể liền kề nhau.

Nếu hai mặt bắc cầu liền kề với đỉnh $A_0$ (một $l_1$-gon đều và một $l_2$-gon đều, hơn nữa là $l_1 \leqslant l_2$), thì có ba khả năng (Hình 5 thể hiện dưới dạng sơ đồ cách các mặt ở đỉnh $A_0$ liền kề nhau):

10. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 3$;
11. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 4$;
12. $m = 3, k = 1, l_1 = 3, l_2 = 5$.

Sơ đồ các đỉnh của khối đa diện 10), 11), 12) được thể hiện trong Hình 6—8. Khối đa diện 10) là một “icoadr bất quy tắc”.

Nếu đỉnh $A_0$ liền kề với một mặt bắc cầu, một $l$-giác đều, thì sự tương ứng $\sigma + \left( \pi - \frac{2\pi}{l} \right) < 2\pi$ không đưa ra bất kỳ hạn chế nào đối với $l$. Chúng tôi nhận được một trường hợp khác:

13. $m = 3, k = 1, l \geqslant 3$.

Hình 9 cho thấy khối đa diện tương ứng (phản lăng kính).

Nếu khối đa diện không có mặt bắc cầu nào cả thì với mỗi khối đa diện