Bài toán M661—M665; F673—F677

26

Bài toán

M661 — M665; F673 — F677

M661. Trên bờ hồ tròn có bốn kinh K, L, P, Q. Từ kinh K một chiếc thuyền ra khơi, từ L một chiếc thuyền. Nếu thuyền đi thẳng về P và thuyền đi thẳng về Q thì chúng sẽ va chạm nhau tại một điểm X nào đó của hồ. Chứng minh rằng nếu ngôi sao đi đến Q và thuyền đến P thì chúng sẽ đến được những câu kinh này cùng một lúc.

N. Vasiliev

M662. Con heo đất chứa bốn rúp tiền đồng. Chứng minh rằng những đồng tiền này có thể được dùng để trả ba rúp số tiền bị mất.

A. Kushirenko, G. Kushirenko

M663. Tìm tất cả các số nguyên tố p mà số 2^p + p^2 cũng là số nguyên tố.

C. Mayzus

M664*. Cho tứ giác ABCD có diện tích S. Gọi giao điểm các đường cao của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB lần lượt là H, K, L, M. Chứng minh diện tích tứ giác HKLM cũng bằng S.

B. Batyrev, V. Trofimov

M665*. Màn hình hiển thị ánh sáng bao gồm một số bóng đèn, mỗi bóng đèn có thể ở hai trạng thái (bật hoặc tắt). Có một số nút trên điều khiển từ xa và khi bạn nhấn từng nút đó, trạng thái của một bộ bóng đèn nhất định sẽ đồng thời thay đổi (mỗi nút có một nút riêng). Lúc đầu đèn không sáng.

a) Chứng minh rằng số mẫu khác nhau có thể thu được trên bảng điểm là lũy thừa của hai.

b) Có thể thu được bao nhiêu mẫu khác nhau trên một bảng gồm các bóng đèn m × n được sắp xếp theo hình chữ nhật nếu mỗi hàng bóng đèn nằm ngang và hàng dọc có thể được chuyển đổi bằng các nút (kiểm tra đáp số của bạn để biết các giá trị m, n ​​cần thiết)?

b) Hãy nghĩ đến các ví dụ khác về bảng và bộ (có thể chuyển đổi bằng nút) trong đó có thể tìm thấy số lượng mẫu.

H. Grieberg, học sinh lớp 10

F673. Trọng lượng được treo trên một sợi dây đàn hồi. Nếu tác dụng lực lên tải thì tải sẽ tăng từ từ từ

27

giá trị 0 thì sợi chỉ sẽ đứt khi lực đạt giá trị $F_1$. Tại giá trị lực tối thiểu nào thì sợi chỉ sẽ đứt nếu lực tác dụng ngay lập tức đạt đến một giá trị nhất định và sau đó không đổi?

G. Baronov

F674. Anhydrit sunfuric $SO_3$ với lượng $\gamma_1 = 1$ mol được cho vào bình kín và đun nóng đến nhiệt độ $T_1 = 1000$ K, tại đó $SO_3$ phân ly một phần thành sulfur dioxide $SO_2$ và oxy: $SO_3 = SO_2 + \frac{1}{2}O_2$. Mức độ phân ly trong những điều kiện này hóa ra là $\alpha_1 = 0,2$ (nghĩa là 20% phân tử đầu tiên có mặt đã bị phân ly $SO_3$). Khi $n_2 = 0,4$ mol $SO_3$ được đặt vào cùng một bình, hóa ra để đạt được áp suất như trong thí nghiệm đầu tiên, khí phải được nung nóng đến nhiệt độ $T_2 = 200$ K. Xác định mức độ phân ly $SO_3$ trong thí nghiệm thứ hai. Tất cả các chất trong cả hai thí nghiệm đều ở trạng thái khí.

V. Belonukkin

F675. Để thay đổi dòng điện lớn trong mạch $CC$ (Hình 1), một shunt Ш được sử dụng, song song với thiết bị thay đổi G có điện trở trong $r = 10$ Ohm được kết nối thông qua các điện trở $R_1 = 2$ Ohm và $R_2$. Ở vị trí $A$ của công tắc P, toàn bộ điện áp của thiết bị tương ứng với dòng điện trong mạch $I_1 = 10$ A. Cần lấy loại điện trở nào $R_2$ sao cho ở vị trí $B$ của công tắc P, toàn bộ điện áp của thiết bị tương ứng với dòng điện $I_2 = 100$ A?

Điện trở shunt được coi là nhỏ hơn nhiều so với điện trở trong của thiết bị.

L. Lutsansky

F676. Một khung dây hình vuông có chu vi $4a$ và khối lượng $m$ truyền một vận tốc ban đầu nhất định theo phương nằm ngang. Khung chuyển động trong một mặt phẳng thẳng đứng, luôn nằm trong từ trường vuông góc với mặt phẳng của khung (Hình 2). Cảm ứng trường thay đổi theo định luật $\cdot B(z) = B(0) + kz$, trong đó $k = const$. Điện trở của khung là $R$. Sau một thời gian, tốc độ của khung hình trở nên không đổi và bằng $v$. Tìm vận tốc ban đầu truyền vào khung. Gia tốc trọng lực $g$.

V. Mozhaev

F677. Sử dụng hệ thống gương đồng tâm (Hình 3), ảnh Mặt trời được ghi lại trên màn hình. Bán kính của gương là $R_1 = 12$ cm, $R_2 = 30$ cm. Tiêu cự của một thấu kính mỏng phải là bao nhiêu để nó tạo ra ảnh Mặt trời có cùng kích thước?

E. Kuznetsov