Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

46

Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Tích của số hạng thứ hai và thứ mười hai của một cấp số cộng sẽ bằng 1, và tích của số hạng thứ tư và thứ mười của cùng một cấp số cộng sẽ bằng $b$. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số này.

2. Một cấp số tam giác đều được nội tiếp trong một hình nón tròn vuông, chiều dài đường trung bình của mặt bên bằng $k$, và mặt bên tạo một góc $\alpha$ với mặt phẳng đáy. Thông qua một trong các gân bên có một mặt phẳng tiến triển giao với bề mặt đầu cuối. Tìm diện tích hình nón theo mặt phẳng này nếu biết diện tích này có giá trị lớn nhất có thể.

3. Tại giá trị nào của $a$ thì diện tích của hình được giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{2x-1}$, $x = 2$, $x = a$ bằng $\ln \frac{4}{\sqrt{5}}$?

4. Tìm $f'(x)$ và các điểm tới hạn của hàm $f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cos 2a + 3x \sin 2a \sin 6a + \sqrt{\ln(2a-a^2)}$. $f(x)$ có ​​tiêu diệt hoặc tăng ở $x = \frac{1}{2}$ không?

Tùy chọn 2

1. Một hợp kim sắt-niken nặng 7 kg chứa 70% sắt; một hợp kim khác của cùng kim loại chứa r% niken và nặng 18 kg. Cần phải hợp kim bao nhiêu kg hợp kim thứ hai với hợp kim thứ nhất để thu được hợp kim mới có hàm lượng sắt thấp nhất? Hợp kim mới sẽ chứa bao nhiêu sắt?

2. Ở đáy của SPQRT cơ sở là hình tứ giác PQRT, có $|PT| = |TR|$ và $TPR = \alpha$. Độ dài đường vuông góc hạ từ đỉnh $R$ đến đường thẳng $(TP)$ là $h$. Tìm thể tích của SPQRT nguyên thủy nếu biết diện tích tam giác PQR lớn hơn diện tích tam giác TPR 15 lần, các đường thẳng (TS) và (QS) vuông góc với các đường thẳng $(PR)$, $\widehat{TSQ} = 90^\circ$ và $|SQ| = c$.

3. Đối với hàm $f(x) = -1 - \frac{1}{x} \log_8 e$, hãy tìm nguyên hàm $F(x)$, tại $x = 2$ nhận giá trị $6 \frac{2}{3}$. Tại giá trị nào của $x$ đường cong $F(x)$ cắt trục $Ox$?

4. Tìm tất cả các giá trị của $m$ mà vectơ $\vec{g} = (1; m; x)$ và $h = (7; x mx)$ tạo thành một góc nhọn đối với bất kỳ $x \in \mathbb{R}$ nào.

Lời giải bài toán tùy chọn 1

1. Chúng ta hãy biểu thị số hạng thứ bảy của cấp số cộng $a_7$ bằng $x$ và hiệu của cấp số cộng là $d$. chúng tôi có
   $$\begin{cases} a_2 = x - 5d, & a_{12} = x + 5d, \\ a_4 = x - 3d, & a_{10} = x + 3d. \end{cases}$$

Theo điều kiện
$$\begin{cases} a_2 \cdot a_{12} = 1, \\ a_4 \cdot a_{10} = b. \end{cases}$$

Do đó, theo (1),
$$\begin{cases} x^2 - 25d^2 = 1, \\ x^2 - 9d^2 = b. \end{cases}$$

Từ hệ thống này, chúng ta dễ dàng tìm thấy $x^2$ và $d^2$:
$$x^2 = \frac{25b - 9}{16}; d^2 = \frac{b - 1}{16}.$$
Đồng thời, rất indo, để tồn tại lời giải thì phải có $b \geqslant 1$.

Đáp số. $\left\{\frac{\sqrt{25b - 9}}{4}; -\frac{\sqrt{25b - 9}}{4}\right\}$.

Theo quy định, người nộp đơn đã giải quyết bài toán này một cách chính xác. Một số người trong số họ đã mắc lỗi ở lời giải của phương trình $x^2 = \frac{25b - 9}{16}$.

2. Chiều cao $SO$ của nguyên thủy SABC (Hình 1)

Hình 1.

48

Mà được giảm thành hình vuông
$$5a^2 - 24a + 12 = 0.$$
Phương trình này trên khoảng $\frac{1}{2}; 1$ có một nghiệm duy nhất
$$a = \frac{1}{5}(12 - 2\sqrt{21}).$$
Đáp số. $\{8, 0, 4(6 - \sqrt{21})\}$.
Một sai lầm điển hình mà nhiều người nộp đơn mắc phải là thiếu nghiên cứu về trường hợp $a \in \left[ \frac{1}{2}; 1 \right]$ và đánh mất lời giải thứ hai.
4. Trước hết, lưu ý rằng tham số $a$ phải thỏa mãn bất đẳng thức $\ln(2a - a^2) \geq 0$. Nhưng
$$\ln(2a - a^2) \geq 0 \iff 2a - a^2 \geq 1 \iff a = 1.$$
Vì vậy, $a = 1$,
$$f(x) = 4x^3 - 6x^2 \cdot \cos 2 + 3x \cdot \sin 2 \cdot \sin 6,$$
$$f'(x) = 12x^2 - 12x\cos 2 + 3\sin 2\sin 6.$$
Giải phương trình bậc hai $4x^2 - 4x\cos 2 + \sin 2 \cdot \sin 6 = 0$, ta tìm được điểm tới hạn
$$x_1 = \cos 1 \cdot \cos 3, x_2 = \sin 1 \cdot \sin 3.$$
Để biết hàm số $f$ giảm hay xuất hiện tại $x = 0,5$, bạn cần xác định dấu của số $f'(0,5)$.
Chúng ta có $f'(0,5) = 3(1 + \sin 2 \cdot \sin 6) - 6\cos 2 > 0$, vì biểu thức trong ngoặc đơn là dương và $\cos 2 < 0$.
Đáp số.
$$f'(x) = 12x^2 - 12x\cos 2 + 3\sin 2 \cdot \sin 6;$$
$\cos 1 \cdot \cos 3, \sin 1 \cdot \sin 3;$
tăng lên.
Đối với lời giải, bài toán những người không tham gia này không thể giải được do định nghĩa về sự giảm (tăng) của một hàm tại một điểm là không đáng kể.

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp

1. Một lò xo có độ cứng $k = 10$ N/m được gắn vào một khối có khối lượng $m = 0,5$ kg đặt trên bàn nằm ngang. Đầu kia của lò xo được cố định phía trên khối ở độ cao $l_0 = 0,1$ m. Ở vị trí này lò xo không bị biến dạng. Khi bàn chuyển động đều theo phương ngang thì lò xo bị lệch
   48