Bài toán về vệ tinh

43

L. Bakanina

Bài toán về vệ tinh

Ngày 4 tháng 10 năm 1957 được coi là sự khởi đầu của một thế kỷ mới trong việc khám phá Vũ trụ. Việc phóng vệ tinh nhân tạo đầu tiên của Trái đất đã mở ra những không gian không thể tưởng tượng được trước đây cho nghiên cứu khoa học. Nghiên cứu khám phá không gian đã xuất hiện mà không có khả năng có bầu khí quyển. Con người có cơ hội nhìn hành tinh quê hương của mình theo một cách mới, từ một góc nhìn khác: trên bề mặt, bầu khí quyển và thậm chí cả độ sâu của nó.

Các vệ tinh nhân tạo đã gây ra nhiều vấn đề liên quan đến chuyển động của chính chúng và gây ra một làn sóng quan tâm mới đến các vấn đề được Kepler, Galileo và Newton giải quyết.

Việc tính toán chính xác chuyển động của vệ tinh là một nhiệm vụ cực kỳ khó khăn. Tuy nhiên, theo phép tính gần đúng đầu tiên, nó sẽ trùng với sự tương tác bài toán của hai vật thể. Chính những bài toán này sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Chúng ta hãy nhớ lại các định luật vật lý cơ bản cần biết ở lời giải bài toán về chuyển động của vệ tinh.

Trước hết, đây là định luật vạn vật hấp dẫn - hai điểm vật chất bất kỳ hút nhau với một lực $\vec{F}$, hướng dọc theo đường nối chúng và có giá trị tuyệt đối tỷ lệ thuận với khối lượng của chúng $m_1$ và $m_2$ và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $r$ giữa chúng:

$$|\vec{F}| = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

($G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ m}^3 / (\text{кг} \cdot \text{с}^2)$ là hằng số hấp dẫn).

Liên quan đến định luật này, một bài báo của V. Mozhaev đã được đăng trên số thứ ba của «Kvant» năm 1980. Đặc biệt, người ta đã chỉ ra rằng thế năng của tương tác graviton giữa các vật thể bằng

$$E_p = -G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

nghĩa là nó âm và tỷ lệ nghịch với khoảng cách giữa các vật thể. Kiến thức về biểu thức này nằm ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường, nhưng đôi khi nó lại rất hữu ích cho lời giải bài toán. Công thức nổi tiếng về sự thay đổi năng lượng tiềm năng

$$\Delta E_p = mg\Delta h$$

là một phần của công thức tổng quát trên. Nó hợp lệ nếu chúng ta xem xét sự tương tác của một vật thể có khối lượng $m$ với Trái đất và vật thể đó nằm gần bề mặt Trái đất và di chuyển đến độ cao $\Delta h$, nhỏ so với bán kính Trái đất. Trong trường hợp này

$$\Delta E_p = \left( -G \frac{m M_3}{R_3 + \Delta h} - \left( -G \frac{m M_3}{R_3} \right) \right) = \frac{G M_3 m \Delta h}{(R_3 + \Delta h) R_3} \approx m \frac{G M_3}{R_3^2} \Delta h.$$

Nhưng, theo định luật vạn vật hấp dẫn, gia tốc rơi tự do trên bề mặt Trái đất bằng

$$g = G M_3 / R_3^2.$$

Vì vậy thực sự

$$\Delta E_p = mg\Delta h.$$

Ngoài định luật vạn vật hấp dẫn, người ta nên nhớ định luật Kepler -

1. mỗi hành tinh di chuyển dọc theo một hình elip, tại một trong những tiêu điểm của nó là Mặt trời;
2. vectơ bán kính của hành tinh mô tả các diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau;
3. Bình phương chu kỳ quỹ đạo của các hành tinh được coi là lập phương của bán trục lớn quỹ đạo của chúng.

44

Những định luật này, thu được bằng cách xử lý kết quả quan sát nhiều năm của nhà thiên văn học người Đan Mạch Tycho Brahe, cũng có giá trị đối với các vệ tinh. Vì vậy, ví dụ, đối với một vệ tinh chuyển động quanh Trái đất, Trái đất đóng vai trò là Mặt trời và vệ tinh đóng vai trò là một hành tinh.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể.

Bài toán 1. Chứng tỏ rằng chu kỳ của một vệ tinh quay quanh một hành tinh ở gần bề mặt của nó chỉ phụ thuộc vào mật độ trung bình của hành tinh đó. Tính chu kỳ của một vệ tinh như vậy đối với một sao neutron, giả sử rằng mật độ của sao neutron có mật độ hạt nhân nguyên tử $Q = 10^{17}$ ke/m$^3$.

Lực hấp dẫn giữa vệ tinh và hành tinh truyền gia tốc hướng tâm cho vệ tinh:

$$G \frac{mM}{r^2} = m\omega^2 r,$$

trong đó $m$ là khối lượng của vệ tinh, $r$ là khoảng cách của nó đến tâm hành tinh, xấp xỉ bằng bán kính của hành tinh, $M = 4/3\pi r^3$ là khối lượng của hành tinh. Từ đây chúng ta có thể tìm được vận tốc góc $\omega$, và do đó, chu kỳ $T$ của vòng quay của vệ tinh:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\omega}}.$$

Dành cho bạn đồng hành của sao neutron $T \approx 1,2 \cdot 10^{-3}$ s.

Bài 2. Xác định tỷ lệ khối lượng của Sao Hỏa so với khối lượng Trái Đất theo các thông số quỹ đạo của trạm tự động Liên Xô “Mars-2”: khoảng cách tối đa đến bề mặt (tại tâm điểm) $a = 25000$ km, tối thiểu (tại tâm điểm) $p = 1380$ km, chu kỳ quỹ đạo $T = 18$ và 00 phút. Bán kính của Sao Hỏa là $r_M = 3400$ km, bán kính của Trái Đất là $r_3 = 6400$ km.

Từ điều kiện bài toán chu kỳ $T$ và độ dài của bán trục lớn $a_M = 2r_M + a + p = 33180$ km của hình elip mà trạm tự động “Mars-2” di chuyển dọc theo đã biết. Dễ dàng tính được chu kỳ $T_3$ và $T_M$ của vệ tinh quay theo quỹ đạo tròn

gần bề mặt Trái đất và Sao Hỏa, và so sánh cả ba thời kỳ.

Đối với vệ tinh Trái đất bạn có thể viết

$$G \frac{m_c M_3}{r_3^2} = m_c \frac{4\pi^2}{T_3^2} r_3,$$

Ở đâu

$$\frac{T_3^2}{(2r_3)^3} = \frac{\pi^2}{2GM_3}.$$

Đối với một vệ tinh tương tự của sao Hỏa

$$\frac{T_M^2}{(2r_M)^3} = \frac{\pi^2}{2GM_M}.$$

Theo định luật thứ ba của Kepler

$$\frac{T_M^2}{T^2} = \frac{(2r_M)^3}{a_M^3}.$$

Như vậy, từ ba đẳng thức cuối cùng ta thu được

$$\frac{4\pi^2}{T_3^2} r_3 = g,$$ và $T_3^2 = \frac{4\pi^2 r_3}{g}$.

Vì vậy, cuối cùng

$$\frac{M_M}{M_3} = \frac{\pi^2 a_M^3}{2r_3^2 g T^2} = 0,11.$$

Nhiệm vụ 3. Một vệ tinh nhân tạo của Trái đất được phóng từ đường xích đạo và đang bay theo quỹ đạo tròn theo hướng Trái đất. Tìm tỷ số giữa bán kính quỹ đạo của vệ tinh và bán kính Trái đất, tại đó vệ tinh định kỳ đi qua điểm phóng đúng hai ngày một lần.

Vì vận tốc góc của vệ tinh $\omega_c$ có thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn vận tốc góc của Trái đất $\omega_3$ nên có thể có hai lời giải bài toán.

1. Đặt $\omega_c > \omega_3$, sau đó

$$(\omega_c - \omega_3) 2T_3 = 2\pi,$$

$$\omega_3 = \frac{2\pi}{T_3} \text{ и } \omega_c = \frac{3\pi}{T_3}$$

(ở đây $T_3$ - một ngày - kỳ

45

sự hình thành Trái Đất quanh trục của nó).
Theo định luật II Newton,
$$G \frac{m_c M_3}{r^2} = m_c \omega_c^2 r.$$

Thay thế ở đây biểu thức cho $\omega_c$ và biết rằng $GM_3 = gr_3^2$, chúng ta tìm được tỷ lệ giữa bán kính quỹ đạo của vệ tinh $r$ với bán kính Trái đất $r_3$:

$$\left( \frac{r}{r_3} \right)^3 = \frac{g T_3^2}{9 \pi^2 r_3} \approx 130, \frac{r}{r_3} \approx 5.$$

2. Đặt $\omega_c < \omega_3$, sau đó
   $$(\omega_3 - \omega_c) 2T_3 = 2\pi, \omega_c = \frac{\pi}{T_3},$$
   $$\left( \frac{r}{r_3} \right)^3 = \frac{g T_3^2}{\pi^2 r_3} \approx 1170, \frac{r}{r_3} \approx 10,5.$$

Bài toán 4. Một vệ tinh được phóng vào quỹ đạo dốc ở độ cao $H = 500$ km so với bề mặt Trái đất sẽ giảm tốc ở tầng khí quyển phía trên. Gia tốc góc của vệ tinh là $\beta = -3 \cdot 10^{-13}$ rad/s². Độ cao của vệ tinh sau một tháng là bao nhiêu?

Chúng ta hãy biểu thị bằng $T_0$ và $r_0$ chu kỳ quay ban đầu và bán kính quỹ đạo của vệ tinh, và bằng $T$ và $r$ chu kỳ và bán kính quỹ đạo của vệ tinh một tháng sau khi phóng. Theo định luật thứ ba của Kepler
$$\frac{T_0^2}{T^2} = \frac{r_0^3}{r^3};$$

do đó, khi chu kỳ quỹ đạo tăng (khi tần số giảm), bán kính quỹ đạo sẽ tăng. Chúng ta hãy tìm hiểu bao nhiêu.

Đặt chu kỳ tăng thêm $\Delta T$ và bán kính quỹ đạo tăng thêm $\Delta r$. Vì gia tốc bắt $\beta$ nhỏ nên chúng ta có thể giả sử rằng $\Delta T \ll T$ và $\Delta r \ll r$. Từ sự bình đẳng
$$T_0^2 (r_0 + \Delta r)^3 = (T_0 + \Delta T)^2 r_0^3,$$
bỏ qua tất cả các lũy thừa $\Delta T / T$ và $\Delta r / r$, ngoại trừ lũy thừa đầu tiên, chúng ta thu được
$$2 \frac{\Delta T}{T_0} = 3 \frac{\Delta r}{r_0}.$$

Chu kỳ quay $T$ gắn liền với vận tốc góc $\omega$ bằng sự tương ứng $T = 2\pi / \omega$. Hãy phân biệt nó: $T'(\omega) = -2\pi / \omega^2$. Do độ nhỏ của $\Delta T$ và $\Delta \omega$, chúng ta sẽ giả sử rằng $\frac{\Delta T}{\Delta \omega} = T'(\omega)$. Sau đó
$$\frac{\Delta T}{T_0} = -\frac{\Delta \omega}{\omega_0} = -\frac{\beta t}{\omega_0}.$$

Chúng ta tìm vận tốc góc ban đầu $\omega_0$ từ điều kiện ở độ cao $H \ll r_3$ gia tốc hướng tâm của vệ tinh xấp xỉ bằng $g$:
$$\omega_0^2 r_0 = g, \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{r_0}} = \sqrt{\frac{g}{r_3 + H}}.$$
Cuối cùng
$$\Delta r = \frac{2}{3} \frac{\Delta T}{T_0} r_0 = -\frac{2}{3} \beta t (r^3 + H) \sqrt{\frac{r_3 + H}{g}} \approx 3 \text{ км}.$$
Vì vậy, trong một tháng nữa vệ tinh sẽ ở độ cao $H' = 503$ km.

Bài tập

1. Một vệ tinh nhân tạo của Trái đất được phóng từ đường xích đạo và quay theo quỹ đạo tròn trong mặt phẳng xích đạo theo hướng tự quay quanh trục của Trái đất. Bán kính quỹ đạo của vệ tinh bằng $\alpha = 3$ lần bán kính Trái đất $r_3 = 6400$ km. Sau bao lâu vệ tinh sẽ bay qua điểm phóng lần đầu tiên?
2. Tính vận tốc thoát thứ nhất khi phóng từ bề mặt Sao Mộc, nếu biết vệ tinh Ganymede của Sao Mộc quay theo quỹ đạo gần tròn có bán kính $r = 1 \cdot 10^6$ km với chu kỳ $T = 7,15$ ngày Trái Đất. Bán kính của Sao Mộc là $r_0 = 70 \cdot 10^3$ km.
3. Được biết, hiện tại Mặt Trăng đang di chuyển ra xa Trái Đất với tốc độ $\vec{v} (|\vec{v}| = 3,3$ cm/năm). Tìm gia tốc góc của Mặt Trăng. Khoảng cách trung bình từ Mặt Trăng đến Trái Đất là $R = 3,84 \cdot 10^5$ km, tốc độ góc quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất là $\omega = 2,56 \cdot 10^{-6}$ rad/s.