định luật Dalton

36

định luật Dalton

Trong số các định luật bài toán của khí lý tưởng, người ta thường tìm thấy bài toán, trong đó chúng ta đang nói về hỗn hợp của một số loại khí. Phương trình trạng thái khí $pV = \frac{m}{\mu} RT$ không áp dụng được trong những trường hợp như vậy, vì người ta không biết khối lượng mol của hỗn hợp $\mu$ là bao nhiêu. Làm thế nào điều này có thể được?

Rõ ràng, mỗi khí trong hỗn hợp đều góp phần tạo nên áp suất tổng cộng. Hơn nữa, mỗi khí hoạt động độc lập với các khí khác và tuân theo phương trình Mendeleev-Clapeyron

$$p_i V = \frac{m_i}{\mu_i} RT.$$

Áp suất $p_i$ được tạo ra bởi bất kỳ thành phần nào khi các thành phần khác được lấy ra khỏi bình được gọi là áp suất riêng phần. Nhà khoa học người Anh Dalton đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng đối với các khí đủ loãng thì áp suất của hỗn hợp khí bằng tổng áp suất riêng phần của các thành phần trong hỗn hợp:

$$p = p_1 + p_2 + \dots + p_n.$$

Định luật này sau này được gọi là định luật Dalton.

Bây giờ dễ dàng tìm được phương trình mô tả trạng thái của hỗn hợp khí. Để làm được điều này, bạn cần đưa vào đẳng thức biểu diễn định luật Dalton các giá trị áp suất riêng phần thu được từ phương trình Mendeleev-Clapeyron:

$$pV = \left( \frac{m_a}{\mu_a} + \frac{m_b}{\mu_b} \right) RT,$$

hoặc

$$pV = \left( v_1 + v_2 + \dots + v_n \right) RT,$$

trong đó $v_i$ là số mol của thành phần tương ứng.

Hãy cùng xem xét một vài bài toán cụ thể. Tất cả chúng đều được đưa ra cùng một lúc trong kỳ thi tuyển sinh vào Viện Vật lý Moscow.

Bài toán 1. Một bình kín được chia thành hai phần bằng nhau bằng một vách ngăn chắc chắn, bất động, bán thấm. Hỗn hợp argon và hydro được đưa vào nửa đầu của bình ở áp suất $p = 1,5 \cdot 10^5$ Pa, và chân không được đưa vào nửa sau. Chỉ có hydro mới có thể khuếch tán qua vách ngăn. Sau khi kết thúc quá trình khuếch tán, áp suất trong nửa đầu cục bộ bằng $p' = 10^5$ Pa. Xác định tỷ số khối lượng của argon và hydro trong bình. Khối lượng mol của argon là $\mu_a = 40$ $\epsilon$/mol, hydro là $\mu_b = 2$ $\epsilon$/mol. Giả sử nhiệt độ được giữ không đổi trong suốt quá trình.

Quá trình khuếch tán diễn ra khá nhanh, do đó, ngay sau khi đưa hỗn hợp vào nửa đầu của bình, áp suất $p$ được tạo ra bởi hỗn hợp khí:

$$p = p_a + p_b.$$

Ở đây $p_a$ là áp suất riêng phần của argon và $p_b$ là áp suất riêng phần của hydro. Chúng có thể được tìm thấy từ phương trình trạng thái:

$$p_a V = \frac{m_a}{\mu_a} RT \text{ и } p_b V = \frac{m_b}{\mu_b} RT,$$

trong đó $V$ là thể tích của một nửa bình, $m_a$ và $m_b$ lần lượt là khối lượng của argon và hydro, và $T$ là nhiệt độ của bình. Thay áp suất $p_a$ và $p_b$ vào biểu thức áp suất của hỗn hợp $p$, ta thu được

$$pV = \left( \frac{m_a}{\mu_a} + \frac{m_b}{\mu_b} \right) RT =$$

$$= \left( \frac{m_a}{m_b} + \frac{\mu_a}{\mu_b} \right) \frac{m_b}{\mu_a} RT.$$

Vì chúng ta bỏ qua sự phân chia hydro nên sau khi kết thúc quá trình khuếch tán hydro sẽ đi vào trọng lượng

37

thể tích của bình và mật độ của hydro trong suốt sẽ như nhau. Do đó, chính xác một nửa tổng lượng hydro sẽ còn lại trong nửa đầu và áp suất riêng phần $p'_B$ của nó sẽ giảm 2 lần: $p'_B = p_B/2$. Áp suất argon $p_a$ sẽ không thay đổi. Sau đó

$$p' = p_a + p'_B,$$

hoặc

$$p'V = \left( \frac{m_a}{\mu_a} + \frac{1}{2} \frac{m_b}{\mu_b} \right) RT = \left( \frac{m_a}{m_b} + \frac{1}{2} \frac{\mu_a}{\mu_b} \right) \frac{m_b}{\mu_a} RT. \tag{2}$$

Chia phương trình (2) cho phương trình (1), sau vài phép biến đổi ta tìm được hệ thức cần tìm:

$$\frac{m_a}{m_B} = \frac{\mu_a}{\mu_B} \frac{2p'-p}{2(p-p')} = 10.$$

Bài toán 2. Một bình hình trụ được chia thành hai phần bởi một thân piston có thể chuyển động tốt và dẫn điện tốt. Tại thời điểm ban đầu, có oxy ở bên phải piston, và hỗn hợp heli và hydro ở bên trái; khối lượng oxy $m_K = 32$ g. Pít-tông nằm ở giữa tàu. Vật liệu piston, không thấm hydro và oxy, hóa ra lại có thể thấm helium, do đó piston bắt đầu chuyển động và cuối cùng nằm cách thành bên trái bốn xi-lanh. Xác định khối lượng của khí heli và hydro trong hỗn hợp.

Tại thời điểm đầu tiên, oxy và hỗn hợp hydro và heli chiếm thể tích bằng nhau; nhiệt độ ở cả hai phần của bình là như nhau (vì pít-tông dẫn điện tốt cho thân); áp suất ở bên trái và bên phải của piston cũng như nhau (vì piston ở trạng thái cân bằng và quá trình khuếch tán diễn ra chậm hơn nhiều so với quá trình cân bằng áp suất). Điều này cho phép chúng ta kết luận rằng tại thời điểm ban đầu số mol khí ở cả hai phần của bình là như nhau, nghĩa là ở bên trái pít-tông có 1 mol hỗn hợp khí heli và hydro.

Ở trạng thái áp suất cuối cùng, oxy $p_K$ và hydro $p_B$ hóa ra bằng nhau (vì áp suất ở cả hai phần của bình là như nhau và piston ở trạng thái cân bằng):

$$p_K = p_B.$$

Từ phương trình Mendeleev-Clapeyron cho oxy và hydro, chúng ta có

$$\frac{3}{4} p_K V = \frac{m_K}{\mu_K} RT \text{ и } \frac{1}{4} p_B V = \frac{m_B}{\mu_B} RT,$$

trong đó $m_K$ và $m_B$ là khối lượng của oxy và hydro, còn $\mu_K$ và $\mu_B$ là khối lượng mol của chúng. Từ đây chúng ta tìm thấy khối lượng của hydro:

$$m_B = m_K \frac{\mu_B}{3\mu_K} = \frac{2}{3} \Gamma,$$

tương ứng với số mol $v_B = 1/3$. Do đó, số mol heli là $v_r = 2/3$ và khối lượng heli trong hỗn hợp là $m_r = \mu_r v_r = 8/3 \Gamma.$

Bài toán 3. Bình chứa hỗn hợp nitơ và hydro. Ở nhiệt độ $T$, khi nitơ đã phân hủy hoàn toàn thành nguyên tử và hydro vẫn ở trạng thái phân tử thì áp suất của hỗn hợp là $p$. Ở nhiệt độ 2T, khi cả hai khí phân ly hoàn toàn thì áp suất trong bình là 3p. Tỷ lệ số mol của nitơ và hydro là bao nhiêu?

Chúng ta hãy biểu thị bằng $v_a$ số mol nitơ trong hỗn hợp và $v_B$ số mol hydro. Ở nhiệt độ $T$, khi hydro vẫn ở trạng thái phân tử thì phương trình có dạng

$$pV = (2v_a + v_B)RT$$

(ở đây người ta tính đến việc nitơ bị phân hủy hoàn toàn và số mol của nó tăng gấp đôi) và ở nhiệt độ 2T, khi cả hai khí phân ly hoàn toàn, -

$$3pV = 2(2v_a + 2v_B)RT.$$

Chia một phương trình cho một phương trình khác, ta được

$$\frac{v_a}{v_B} = \frac{1}{2}.$$

Phương trình trạng thái của hỗn hợp khí

$$pV = (v_1 + v_2 + \dots + v_n)RT$$

có thể được trình bày dưới dạng khác. Thật vậy, số mol $v_i$ của mỗi khí bằng tỉ số

38

số phân tử $N_i$ của khí này với số Avogadro $N_A$, do đó

$$pV = \left( N_1 + N_2 + \dots + N_n \right) \frac{R}{N_A} T.$$

Nếu chúng ta biểu thị tổng số phân tử trong hỗn hợp bằng $N$ và tính đến tỷ lệ $R/N_A$ là hằng số Boltzmann $k$, thì phương trình trạng thái có thể được viết như sau:

$$pV = NkT.$$

Lưu ý rằng phương trình Mendeleev-Clapeyron cho khí một thành phần trông giống hệt nhau. Điều này có nghĩa là dạng phương trình trạng thái này có thể được sử dụng cho cả một khí và hỗn hợp khí.

Bài toán 4. Tritium (một đồng vị của hydro có khối lượng nguyên tử $A=3$) được bảo quản trong bình có thể tích $V=1$ l. Khối lượng tritium $m=1$ l. Sau 12 năm sử dụng, cây trăn tritium chuyển thành hạt xanh. Tìm áp suất trong bình vào cuối thời gian bảo quản này. Nhiệt độ khí được duy trì ở mức $t=27^\circ C$. Toàn bộ kết quả có khối lượng nguyên tử là $A=3$.

Áp suất triti lúc bắt đầu thời gian bảo quản là

$$p_1 = \frac{N}{V} kT = \frac{m}{\mu} R \frac{T}{V}$$

(ở đây $N$ là số lượng phân tử tritium, $\mu=6$ g/mol là khối lượng mol của tritium).

Sau 12 năm, $N/2$ phân tử tritium biến thành $N$ phân tử gel (mỗi phân tử tritium, giống như hydro xiên, chứa 2 nguyên tử). Áp suất $p_2$ trong bình được tạo ra bởi hỗn hợp triti và gel, tổng số phân tử của chúng là $N/2+N=3/2N$:

$$p_2 = \frac{3}{2} NkT = \frac{3}{2} p_1 = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \frac{T}{V} \approx 6,3 \cdot 10^5 \Pi.$$

Bài toán 5. Có $1 \text{ m}^3$ không khí khô và $1 \text{ m}^3$ không khí ẩm ở cùng áp suất và nhiệt độ. Không khí nào có khối lượng lớn hơn: khô hay ẩm?

Từ phương trình trạng thái của hỗn hợp khí $pV=NkT$, ta suy ra rằng số lượng phân tử $N$ của không khí ẩm và không khí khô là như nhau, vì nhìn chung các hỗn hợp có cùng thể tích, áp suất và nhiệt độ. Không khí khô bao gồm