Закон Дальтона

36

Закон Дальтона

Среди задач на законы идеальных газов часто встречаются задачи, в которых речь идет о смеси нескольких газов, Уравнение газового состояния $pV = \frac{m}{\mu} RT$ в таких случаях неприменимо, так как неизвестно, что понятие под молярной массой смеси $\mu$. Как же быть?

Очевидно, что каждый из газов в смеси вносит свой вклад в общее давление. При этом каждый газ ведет себя независяимо от других и подчиется уравнению Менделеева — Клапейрона

$$p_i V = \frac{m_i}{\mu_i} RT.$$

Давление $p_i$, создаваемое в состоянии каким-либо компонентом, когда остальные компоненты удалены из сосуда, называют парциальным давлением. Англійский ученый Дальтон экспериментально установил, что для достаточно разреженных газов давление газовой смеси равно сумме парциальных давлений компонентов смеси:

$$p = p_1 + p_2 + \dots + p_n.$$

Этот закон в дальнейшем называют законом Дальтона.

Тепер легко найти уравнение, описывающее состояние газовой смеси. Для этого нужно в равенство, выражающее закон Дальтона, поставить значения парциальных давлений, полученные из уравнения Менделеева — Клапейрона:

$$pV = \left( \frac{m_a}{\mu_a} + \frac{m_b}{\mu_b} \right) RT,$$

или

$$pV = \left( v_1 + v_2 + \dots + v_n \right) RT,$$

где $v_i$ — число молей соответствующего компонента.

Рассмотрим несколько конкретных задач. Все они предлагались в свое время на вступительных экзаменах в Московский физический институт.

Задача 1. Закрытый сосуд разделен на две равные части твердой неодвижной полупроницаемой перегородкой. В первую половину сосуд вводится смесь аргона и водорода при давлении $p = 1,5 \cdot 10^5$ Па, во второй половине — вакуум. Через перегородку может диффузировать только водород. После окончания процесса диффузии давление в первой половине оказываетсяокаальное равным $p' = 10^5$ Па. Определите отношение масс аргона и водорода в сосуде. Молярная масса аргона $\mu_a = 40$ $\epsilon$/моль, водорода — $\mu_b = 2$ $\epsilon$/моль. Считайте, что температура во время процесса поддерживается постоянной.

Процесс диффузии протекает довольно缓慢, поэтому сразу после введения смеси в первую половину сосуда давление $p$ создается смесью газов:

$$p = p_a + p_b.$$

Здесь $p_a$ — парциальное давление аргона и $p_b$ — парциальное давление водорода. Их можно найти из уравнения состояния:

$$p_a V = \frac{m_a}{\mu_a} RT \text{ и } p_b V = \frac{m_b}{\mu_b} RT,$$

где $V$ — объем половины сосуда, $m_a$ и $m_b$ — массы аргона и водорода соответственно, а $T$ — температура сосуда. Подставляя давления $p_a$ и $p_b$ в выражение для давления смеси $p$, получим

$$pV = \left( \frac{m_a}{\mu_a} + \frac{m_b}{\mu_b} \right) RT =$$

$$= \left( \frac{m_a}{m_b} + \frac{\mu_a}{\mu_b} \right) \frac{m_b}{\mu_a} RT.$$

Так как перегородка для водорода пропускаем, после окончания процесса диффузии водород зайдет вес

37

объем сосуда, причем плотность водорода взделе будет одной и той же. Следовательно, в первой половине останетсяровно половина всего водорода, и его парциальное давление $p'_B$ уменьшится в 2 раза: $p'_B = p_B/2$. Давление же аргона $p_a$ не изменится. Тогда

$$p' = p_a + p'_B,$$

или

$$p'V = \left( \frac{m_a}{\mu_a} + \frac{1}{2} \frac{m_b}{\mu_b} \right) RT = \left( \frac{m_a}{m_b} + \frac{1}{2} \frac{\mu_a}{\mu_b} \right) \frac{m_b}{\mu_a} RT. \tag{2}$$

Разделив уравнение (2) на уравнение (1), после нескольких преобразования найдем искомое отношение:

$$\frac{m_a}{m_B} = \frac{\mu_a}{\mu_B} \frac{2p'-p}{2(p-p')} = 10.$$

Задача 2. Цилиндрический сосуд разделен подвижным, хорошо проводящим телло поршнем на две части. В начальной момент справа от поршня находится кислород, а слева — смесь гелия и водорода; масса кислород $m_K = 32$ г. Поршень при этом располагается посередине сосуда. Материал поршня, непроницаемый для водорода и кислород, оказывается проницаемый для гелия, в результате чего поршень начал перемещаться и окончательно расположился на расстоянии четырьмя цилиндра от левой стены. Определите массы гелия и водорода в смеси.

В первый момент кислород и смесь водорода с гелием занимают одинаковые объемы; температуры в обених частях сосуда одинаковы (так как поршень хорошо проводит телло); давления слева и справа от поршня также одинаковы (потому что поршень находится в равновесии, а процесс диффузии происходит гораздо медленнее, чем процесс выравнивания давления). Это позволяет сделать вывод о том, что в начальной момент число молей газа в обених частях сосуда одно и то же, то есть слева от поршня находится 1 моль смеси гелия и водорода.

В конечном состоянии давления кислород $p_K$ и водорода $p_B$ оказывается одинаковыми (так как давление в обених частях сосуда одно и то же, а поршень находится в равновесии):

$$p_K = p_B.$$

Из уравнения Менделеева — Клапейрона для кислорода и водорода имеем

$$\frac{3}{4} p_K V = \frac{m_K}{\mu_K} RT \text{ и } \frac{1}{4} p_B V = \frac{m_B}{\mu_B} RT,$$

где $m_K$ и $m_B$ — массы кислород и водорода, а $\mu_K$ и $\mu_B$ — их молярные массы. Отсюда находится массу водорода:

$$m_B = m_K \frac{\mu_B}{3\mu_K} = \frac{2}{3} \Gamma,$$

что соответствует числу молей $v_B = 1/3$. Следовательно, число молей гелия $v_r = 2/3$, а масса гелия в смеси $m_r = \mu_r v_r = 8/3 \Gamma.$

Задача 3. В сосуде находится смесь азота и водорода. При температуре $T$, когда азот полностью распался на atoms, а водород находится еще в молекулярном состоянии, давление смеси равно $p$. При температуре 2T, когда оба газа полностью диссоцировали, давление в сосуде стало 3р. Каково отношение числа молей азота и водорода?

Обозначим через $v_a$ число молей азота в смеси, а через $v_B$ число молей водорода. При температуре $T$, когда водород находится еще в молекулярном состоянии, уравнение составляет вид

$$pV = (2v_a + v_B)RT$$

(здесь учтено, что азот полностью распался, и его число молей удвоилось), а при температуре 2T, когда оба газа полностью диссоцировали, —

$$3pV = 2(2v_a + 2v_B)RT.$$

Разделив одно уравнение на другое, получим

$$\frac{v_a}{v_B} = \frac{1}{2}.$$

Уравнение состояния газовыми смеси

$$pV = (v_1 + v_2 + \dots + v_n)RT$$

можно представить в другом виде. Действительно, количество молей $v_i$ каждого газа равно отношению

38

числа молекул $N_i$ этого газа к числу Авогадро $N_A$, поэтому

$$pV = \left( N_1 + N_2 + \dots + N_n \right) \frac{R}{N_A} T.$$

Если обозначить общее число молекул в смеси через $N$ и учеть, что отношение $R/N_A$ — это постоянная Больцмана $k$, то уравнение состояния можно записать так:

$$pV = NkT.$$

Заметим, что точно так же выглядит уравнение Менделеева — Клапейрона для однокомпонентного газа. Значит, пользоваться такой записью уравнения состояния можно как для одного газа, так и для газовой смеси.

Задача 4. В сосуде объемом $V=1$ л хранится тритий (изотоп водорода с atomной массой $A=3$). Масса трития $m=1$ л. За 12 лет пользоваяlder трития превращается в ядра зеленя. Наидите давление в сосуде в конце этого срока хранения. Температура газа поддерживается равной $t=27^\circ C$. Образовавшийся целый имеет atomную массу $A=3$.

Давление трития в начале срока хранения равно

$$p_1 = \frac{N}{V} kT = \frac{m}{\mu} R \frac{T}{V}$$

(здесь $N$ — число молекул трития, $\mu=6$ г/mоль — молярная масса трития).

Через 12 лет $N/2$ молекул трития превращается в $N$ молекул геля (каждая молекula трития, подобно obliquному водороду, содержит 2 атома). Давление $p_2$ в сосуде создается смесью трития и геля, общее число молекул которых равно $N/2+N=3/2N$:

$$p_2 = \frac{3}{2} NkT = \frac{3}{2} p_1 = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \frac{T}{V} \approx 6,3 \cdot 10^5 \Pi.$$

Задача 5. Имеется $1 \text{ m}^3$ сухого воздуха и $1 \text{ m}^3$ влажного воздуха при одних и тех же давлении и температуре. Масса какого воздуха больше: сухого или влажного?

Из уравнения состояния газовой смеси $pV=NkT$ следует, что число молекул $N$ влажного и сухого воздуха одно и то же, так как обще смеси имеют одинаковые объемы, давления и температуры. Сухой воздуха состоит