По следам теоремы Пифагора

32

Р. Рубинов

По следам теоремы Пифагора

В нынешнем учебнике геометрии теорема Пифагора «Квадрат гипotenузы прямогольного треугольника равен сумме квадратов его катетов» доказывается «алгебраические», выкладкой («Геометрия 6—8», п. 67).

Евклид доказывает ее «геометрические». Он строил на сторонах прямогольного треугольника квадраты и доказвал, что сумма площадей квадратов на катетах равна площади квадрата на гипotenузе. Сейчас мы приведем два доказательства теоремы Пифагора, использующие эту идею, а затем предъявим много других фигур, для которых выполнен то же «пифагорово соответствие», что и для квадратов.

Сторим квадраты

На рисунке 1, $a$ на катетах выделенного прямогольного треугольника внутри построены квадраты; квадрат на гипotenузе построен наружу. Bezде, где один квадрат налегает на другой, стороны квадратов продолжены. Равновеликие фигуры*) окрашены в одинаковый цвет. Из рисунка видно, что треугольник, образованный из красной трапеции и желтого треугольника («красно-желтый» треугольник), равновелик треугольнику, образованному из зеленой трапеции и серого треугольника («серозеленый» треугольник). На рисунке 1, $6$ на катетах исходного треугольника (телерб белого) квадраты построены внешним образом, причем в одном из них серо-зеленый треугольник заменен на равновеликий ему красно-желтый. Заменив еще раз зеленую трапецию с серым треугольником на красную трапецию с желтым.

*) То есть фигуры, имеющие одинаковую площадь.

33

тым треугольником, получим нужное равенство площадей.

Еще одно доказательство получается из рисунков 2, $a - e$; оно используется тот факт, что синяя высота в нашем прямоугольном треугольнике (см. заставку) и красная диагональ прямоугольника, образованного продолжениями сторон квадратов, лежат на одной прямой (доказите это!).

Обобщаем теорему Пифагора

Итак, в прямоугольном треугольнике $a^2 + b^2 = c^2$,

где $a, b, c$ — его квадеты и гипotenуза. Заметим теперь, что если у нас есть фигуры $A, B$ и $C$, площади $S_A, S_B$ и $S_C$ которых равны, соответственно, $ka^2, kb^2$ и $kc^2$, то $S_A + S_B = S_C$. В частности, «пифагорово соответствие» выполняется для площадей подобных фигуры, построенных на сторонах прямоугольного треугольника*). (Это замечание может пригодиться для вычисления площадей фигуры, которые мы будем рисовать ниже.)

На сторонах прямоугольного треугольника мы будем теперь строить секторы (рис. 3), получуги (рис. 4), луночки (рис. 5), дуговые треугольники (рис. 6).

Комбинируя секторы и круги, луночки и дугые треугольники, мы получим рисунки 7 и 8: на них

*) Мы говорим, что подобные фигуры $F_a, F_b, F_c$ построены на сторонах $a, b, c$ треугольника ABC, если при подобии $F_x \rightarrow F_y$ сторона $x$ переходит в сторону $y$ ($x, y \in \{a, b, c\}$).

Рис. 1. a)
б)

a)
б)

$\frac{\pi a^2}{4} + \frac{\pi b^2}{4} = \frac{\pi c^2}{4}$
Рис. 3.
Рис. 4
Рис. 5. a)
б)

$\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = \frac{c^2}{4}$
$s = \frac{a^2}{4}$

35

Рис. 13.

Рис. 15.

Рис. 14.

Рис. 16.

снова сумма площадей синих фигур равна площади красной фигуры.

На рисунках 9—12 изображено по три равновеликие фигуры: на рисунке 9 — площади $a^2$ (а — сторона квадрата), на рисунке 10 — площади $a^2/2$, на рисунке 11 — площади $3a^2/4$, на рисунке 12 — площади $\pi a^2/4$ (проверьте это!). Комбинируя их на катетах и гипotenuse прямугольного треугольника, получим серию рисунков 13—16.

В заключение мы предлагаем вам доказать, что сумма площадей трех синих криволинейных треугольников, построенных на сторонах прямугольной трапеции, диагональ которой перпендикулярна боковой стороне (рис. 17), равна площади тако-

Рис. 17.

го же треугольника, построенного на большем основании. Теперь вам понадобится для этого не более двух минут!