Задачи М711—М715; Ф723—Ф727

21

Задачи

M711 — M715; Ф723 — Ф727

M711. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром O, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная AOC делит четырехугольник на две части равной площади.

В. Варваркин

M712. Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяты чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.

Э. Туркевич

M713. М — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множество M, если из M можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множество O является центром симметрии в общном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

В. Прасолов

M714*. N друзей одновременного узнал N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обменивать новостими. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости? Расмотрите три случая: a) N=64, 6) N=55, b) N=100.

А. Анджан

M715*. Примой угол разбит на клетки (рис. 1). На некоторых клетках стоит фишки, причем расположение фишек можно преобразовать так: если для некоторых фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в этих клеткиставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клеткуставится одна фишка. Можно ли указанным операциями освобить от фишек уголки из a) трех, 6) шести, b) десяти клеток, показанные на рисунках 2, a, 6, b?

М. Концевич

22

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф723. Спортмены бегут с одинаковыми скоростями $v$ колонной длины $l_0$. Навстречу бежит тренер со скоростью $u$ ($u < v$). Спортмен, поровняющийся с тренером, бежит назад с той же скоростью $v$. Какова будет длина колонны, когда все спортмены развернутся?

И. Воробьев

Ф724. Насколько переместится конец перекинутою через подвижный блок нити (точка $A$ на рисунке 3), если к нему приложить силу $\vec{F}$? Жесткость пружин одинаковы и равны $k$. Пружины, нить и блок считать неевесомыми.

Г. Меледин

Ф725. Из взрывчатого вещества нужно изготовить тонкостенную конечскую оболочку так, чтобы при взрыве, начинающемся с вершины конуса и «сползающем» вниз, продукты взрыва ударились о горизонтальной плиту, на которой стоит конус, одновременно. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна $v$, а скорость разлега продуктов взрыва $u$. Каким должен быть угол ф между основу конуса и его образующей?

И. Воробьев

Ф726. В длиной горизонтальной расположенной теплопроводной трубе между двумя поршнями массы $m$ каждой нахождения 1 моль идеально одноатомного газа при температуре $T_0$. Вне поршней — вакуум. В начальной момент скорости поршней направлены в одну сторону и равны $v$ и $3v$. До какой максимальной температуры нагреется газ? Поршни телло не проводят. Универсальная газовая постоянная равна $R$.

В. Бородин

Ф727. Зависимость направления от тока для некоторого источника электрической энергии показана на рисунке 4. Постройте график зависимости направления на нагрузке, на которой замкнут источник, от сопротивления нагрузки.

Problems M711 — M715; P723 — P727

M711. The diagonals of a convex quadrilateral $ABCD$ inscribed in a circle of centre $O$ are perpendicular to each other. Prove that the broken line $AOC$ splits the quadrilateral into two parts of equal area.

V. Varvarkin

24

М672. Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a - 2$ делится на $a$ (например, $a = 3$). Определим последовательность $(x_n)$ условиями
$$x_1 = a, x_{k+1} = 2^{xk} - 1.$$
Докажите, что $2^{xk} - 2$ делится на $x_k$ при любом $k$.

Легко заметить, что треугольники $ABC$ и $ADC$ равновелики: $S_{ABC} = S_{ADC}$ — они имеют общее основание $AC$ и равные по длине высоты, опущенные на это основание. Поэтому $\frac{1}{2} ab \sin \widehat{B} = \frac{1}{2} cd \sin (180^\circ - \widehat{B})$, то есть $ab = cd$. Складывая (1) и (2), получаем требуемое.

Р. Мазов

Докажем это утверждение методом математической индукции.
При $k = 1$ оно справедливо по условиям. Предположим, что $2^{xk} - 2$ делится на $x_k$, и докажем, что $2^{xk+1} - 2$ делится на $x_{k+1}$.
Пусть $x_{k+1} - 1 = 2^{xk} - 2 = mx_k$, где $m > 1$ — натуральное число. Тогда
$$2^{xk+1} - 2 = 2(2^{xk+1} - 1) = 2(2^{mx_k} - 1) = 2(2^{xk} - 1)(2^{(m-1)x_k} + 2^{(m-2)x_k} + \dots + 1) = Mx_k + 1$$
где $M$ — натуральное число, что и требовалось доказать.

В. Яноус

От редакции. Задча М672 по существу совпадает с леммой 2 из статьи И. Яглома «Почти простые числа» («Квант», 1981, № 9).

М673. На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A, B, C$. Хоккеист выбирает одну из них и будет по ней так, что она проходит между двумя друзями и оставливается в каждой точке.
a) Покажите, как после пяти ударов шайба $C$ может вернуться на свое место, а шайбы $A$ и $B$ поменять места.
b) Может ли все три шайбы $A, B, C$ вернуться на свою прежние места после 25 ударов?

a) Нетрудно сообщать, что если по шайбе $C$ наносится хотя бы один удар, то за пять ударов вернуть назад шайбу $C$ и поменять местами шайбы $A$ и $B$ неудается.
Оdnako, если шайба $C$ стоит на месте, а перемещаются только шайбы $A$ и $B$, задача легко решается (см. рис. 1; индекс $i$ означает положение шайбы после $i$-го удар).

Рис. 1.
Рис. 2.

б) Ответ: не могут. Для доказательства простым за ортегацией треугольника $ABC$ — направлением обхода его контрара. Легко видеть, что после каждого удар направление обхода меняется на противоположное (на рисунке 2 обход вершин $A \rightarrow B \rightarrow C$ и осуществляется против часов стрелки, а обход вершин $A \rightarrow B' \rightarrow C \rightarrow A$ — по часовой стрелке).
Позному после нечетного числа удар направление обхода будет противоположным заданному вначале.

А. Егоров

М674. На сторонах $BC, AC$ и $AB$ остроользово треугольника $ABC$ взяты точки $A_1, B_1$ и $C_1$ соответственно. Известно, что центр описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадает с точкой пересечения его высот. Рассмотрим преобразование подбия $F = H_0^k \cdot R^k$ (композицию готовении $H_0^k$ с центром $O$ и коэффициентом $k$ и поворота $R^k$ на угол $φ$ вокруг $O$),

25

сечения высот треугольника $A_1B_1C_1$. Доказите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны.

где $k = \frac{1}{\cos \varphi}$. При этом точки $F(A_0)$, $F(B_0)$ и $F(C_0)$ будут принадлежать прямым $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно. Таким образом, при изменении ф мы получаем целое семейство треугольников с общим ортоцентром (точкой пересечения высот), вписанных в треугольник $ABC$ и ему подобных. Осталось показать, что треугольник $A_1B_1C_1$ принадлежит этому семейству.

Выберем $\varphi = B_0\widehat{OB}_1$ так, что $F(B_0) = B_1$; пусть $F(A_0) = A_2$, $F(C_0) = C_2$. Точка $O$ служит точкой пересечения высот треугольников $A_1B_1C_1$ и $F(\triangle A_0B_0C_0) = \triangle A_2B_1C_2$; значит, сторона $A_2C_2$ должна быть параллельна стороне $A_1C_1$ или совпадать с ней. Но ясно, что высоты треугольника $A_2B_1C_2$, опущенные из вершин $A_2$ и $C_2$, не могут пройти через $O$, за исключением того случая, когда $A_2 = A_1$ и $C_2 = C_1$, так что на самом деле треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_1C_2$ совпадают.

В заключение заметим, что в нашем решении остроугольность треугольника $ABC$ не использовалась: утверждение задачи верно для любого треугольника $ABC$ (и любых точек $A_1$, $B_1$, $C_1$ на прямых $BC$, $AC$, $AB$).

Д. Изаак

Ф683. На рисунке показаны источник $AB$ и его изображение $A'B'$, полученное в лице. Определить построением расположение линии и ее фокусное расстояние.

Описический центр линзы лежит в точке $O$ пересечения прямых $BB'$ и $AA'$. Точка $D$, являющаяся пересечением прямых $AB$ и $A'B'$, лежит в плоскости линзы. Следовательно, линза расположена вдоль прямой $OD$; $MN$ ($MN \perp OD$) — главная оптическая ось линзы.

Лучи $Aa$ и $Bb$ после преломления пересечется в фокус линии ($Aa \parallel Bb \parallel MN$). Следовательно, $F$ — фокус линии.

С. Кротов

Ф684. Схема имеет $N$ входных зажимов, один выходной и один общий («земляя»). На каждом из входных зажимов потенциально «земляли» составляют от +50 до +200 В.

1. Нарисуйте варцант схемы, который обеспечит на выходном зажиме максимальный из приложенных ко входам потенциальов.
2. Нарисуйте другой варцант — обеспечивающий на выходном зажиме минимальный из приложенных потенциальов.
   Пострайте общие без применения дополнительных источников питания.

Первый варцант приведен на рисунке 1. В схеме закрыты все диоды, кроме одного — того, который подключен ко входу с максимальным потенциальом $\varphi_{\max}$. Этот потенциаль и окажется на выходе; разность между ним и другими (меньшими) потенциальами обеспечит запирание остальных диодов.

Второй варцант может быть таким, как на рисунке 2. Если потенциаль пластинка ($\delta$) больше или равен $\varphi_{\max}$, то открытым окажется диод, подключеный ко входу с минимальным потенциальом; то же будет и на выходе; остальные диоды будут заперты.

Рис. 1.
Рис. 2.

26

Для того чтобы обойтись без дополнительного источника, можно воспользоваться схемой первого варианта — ее выходное напряжение вполнезменяет источник.

Строго говоря, потенциальы на выходных захимах схем не равны в точности входным, а отличются на величины padения напряжения на открытом диode — оно составляет доли волта. Этот недостаток можно в значительной мере уменьшить, воспользовавшись тем, что напряжение на открытом диode мало зависит от тока, протекающего через диод. Подумайте сами, как это сделать. (Подсказка: без дополнительного источника не обойтись.)

А. Зильберман

Ф685. Между стенкой и кубом массы $M=10$ ке летает на еладком столе управления шарик массы $m=0,1$ г. Ето скорость вначале, когда куб покопился, составляла $v_0=100$ м/с. Найти скорость куба в тот момент, когда он будет в 2 раза дальше от стенки, чем вначале.

Будем считать, что при каждом ударе шарика о куб скорость куба меняется на очень малую величины и остается во много раз меньше, чем скорость шарика.

Пусть $x$ — расстояние от куба до стенки, $u$ — скорость куба, $v$ — скорость шарика. Тогда время между двумя последовательными соударениями равно $\tau=2x/v$. При каждом соударении куб получает импульс $\Delta p=2mv$ (мы учили, что $u\ll v$). Скорость шарика за один удар изменяется на $\Delta v=-2u$ (это очень/no, если рассматривать движение в системе отсчета, связанной с кубом). Для упрощения расчетов примем, что в результате соударений скорости $u$ и $v$ меняются не скачаками, а плавано. Тогда «среднее» ускорение шарика $v'=\frac{\Delta v}{\tau}=-\frac{uv}{x}$. Учитывая, что $u=x'$, перепишем это равенство:

$$v'x+x'v=0.$$

Заметим, что следва написано выражение, равное произведению от произведения $vx$; тот факт, что эта произведение равна нулю, означает, что величина $vx$ остается в процессе построения. Следовательно,

$$vx=v_0x_0,$$

где $x_0$ — расстояние между кубом и стенкой в начале процесса. При $x=2x_0$ скорость шарика равна $v_0/2$. Скорость куба в этот момент найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{m(v_0/2)^2}{2}+\frac{Mu^2}{2} \Rightarrow u=\frac{v_0}{2} \sqrt{\frac{3m}{M}} \approx 0,27 \text{ м/с.}$$

3. Рафаилов

Ф686. Тонкий обручи массы $M$ и радиуса $R$ поставлен на горизонтальном плоскости. По еладком каналу, проходящему внутри обруча, сокальзывает из верхней точки без начальной скорости небольшая шайба массы $m$. Определить скорость центра обруча в тот момент, когда шайба находится в точке обруча $A$, радиус-вектор которого обраузет угол $\varphi$ с вертикально. В начальной момент обручи покопится. Трене между обручи и плоскостью отсутствует.

Силы, действующие на системе обруча — шайба, — это сила тяжестеки и сила нормальной реакции со стороны плоскости. Обе эти силы направлены вдоль вертикали. Следовательно, центр масс системы в горизонтальном направлении не перемещается.

Поскольку между обручем и плоскостью отсутствует, обруча движется поступательно. Согласно закону сохранения импульса, в любой момент времени

$$M|u|=m|v_x|,$$

где $u$ и $v_x$ — горизонтальные проекции скоростей обруча и шайбы (причем $u=|\vec{u}|$). Так как $v_x$ периодически меняет знак, то и $u$ «синхронно» меняет знак. Общий характер движения обруча таков: шайба на участках $BC$ и $BE$ (рис. 1) — центр обруча движется вправо; шайба на участках $CD$ и $DE$ — центр обруча движется влево.

Скорости шайбы $\vec{v}$ и обруча $\vec{u}$ связаны законом сохранения энергии:

$$mgR(1+\cos \varphi)=\frac{mv^2}{2}+\frac{Mu^2}{2},$$

где $\varphi$ — угол, которое составляет с вертикалью радиус-вектор точки, в которой в данной момент (при данных значениях $\vec{v}$ и $\vec{u}$) находится шайба.

27

Движение шайбы относительно неподвижного наблюда-tеля можно представить в любой момент времени как супер-позицию двух движений: движения относительно центра обруча со скоростью $v_k$, направленной по касательной к обручу, и движения вместе с обручем со скоростью $u$, направленной горизонтально (рис. 2). Как видно из рисунка 2,

$$\frac{|v_y|}{|v_x| + |u|} = tg \varphi.$$ (3)

Решая совместно уравнения (1) — (3), найдем значение скорости центра обруча в тот момент, когда радиус-вектор точки, в которой находится шайба, составляет угол $\varphi$ с вертикалью:

$$|\vec{u}| = m \cos \varphi \sqrt{\frac{2Rg(1+\cos \varphi)}{(M+m)(M+m\sin^2\varphi)}}.$$

С. Кротов

Ф687. Стальному шарику, находящемуся в точке А основания AB равноведренного прямугодного клина, сообщают скорость $v_0$ в направлении стороны AO (см. рисунок). При каких значениях $v_0$ шарик из точки A попадает в точку B? Длина ребра клина $l$.

В обшем случае траектория шарика после открыва от клина в точке O будет такой, как показано на рисунке, — она будет состоять из участков парабол. Проекции на ось OX перемещений шарика за последовательные равные промежутки времени $t_1, t_2, t_3, \dots, t_n$ относятся как

$$s_1: s_2: s_3: \dots: s_n = 1: 3: 5: \dots: (2n-1)$$

(поскольку в момент «отрыва» шарика в точке O проекция его скорости $\vec{v}_1$ на ось OX равна нулю). Если при $n$-м соударении с ребром OB шарик попадает в точку B, то

$$s_1 + s_2 + s_3 + \dots + s_n = s_1(1+3+5+\dots+(2n-1)) = s_1n^2 = l.$$

Найдем, как связаны $s_1$ и $v_1$. Проекции ускорения шарика на оси OX и OY равны $a_x = a_y = g\sqrt{2}/2$, и

$$s_1 = a_x \frac{t_1^2}{2} = g \frac{\sqrt{2}}{4} t_1^2.$$

Время $t_1$ движения шарика до первого удара о клин найдем из условия $v_1 - a_y \frac{t_1}{2} = 0$:

$$t_1 = \frac{2v_1}{a_y} = \frac{4v_1}{g\sqrt{2}}.$$

Таким образом,

$$s_1 = \frac{2v_1^2\sqrt{2}}{g},$$ или $v_1^2 = \frac{gl\sqrt{2}}{4n^2}$.

Связь между $v_1$ и $v_0$ найдем из закона сохранения энергии:

$$\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv_1^2}{2} + mgl \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{v_1^2 + gl\sqrt{2}} = \frac{1}{2n} \sqrt{gl\sqrt{2}(4n^2 + 1)}$$

Итак, шарик попадает в точку B, если в точке A ему сообщают скорость $|\vec{v}_0| = \frac{1}{2n} \sqrt{lg\sqrt{2}(4n^2 + 1)}$, где $n$ — натуральное число. Отметим, что

$$\lim_{n \to \infty} v_0 = \sqrt{gl\sqrt{2}}.$$

Этот же результат из закона сохранения энергии: при $n \to \infty v_1 \to 0$, и

$$\frac{mv_0^2}{2} = mgl \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow v_0 = \sqrt{gl\sqrt{2}}.$$

E. Рабкин