Viện Kỹ thuật Hóa học Moscow

48

4. Tính diện tích hình được giới hạn bởi các đường $y = -(x^2 - 5x + 4)$ và $y = 0$. Thực hiện một bản vẽ.
5. Cạnh bên của tứ giác đều có chiều dài $m$ nghiêng với mặt phẳng đáy một góc $\alpha$. Tìm thể tích của paramid.

Bài toán thi vấn đáp

1. Xác định dấu của biểu thức $\log \frac{\pi}{4}$ (tg1).
2. Tìm miền xác định của hàm $f(x) = \sqrt{9-x^2} + \lg(x-1) - \sqrt{x}$.
3. Tính tan $\left(\arccos \frac{1}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
4. Giải phương trình
   a) $6 \cdot 9^{0.5x-2} + 2 \cdot 3^{x-6} = 56$
   b) $f'(x) = g'(x)$, nếu $f(x) = 3 + 2x^2$, $g(x) = 3x^2 - (5x-3)(2-x)$.
5. Giải bất đẳng thức
   a) $|x^2 - 4x| > 1$
   b) $3^{|x|+2} < 27$.
6. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol $y = x^2 - 4$ tại giao điểm của nó với trục tọa độ.
7. Trên đường cong $y = 4x^2 - 6x + 3$, tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 2x$.
8. Tìm hàm nguyên hàm $y = \frac{2}{\sin^2 3x}$ có đồ thị đi qua điểm có tọa độ $\left(\frac{\pi}{12}; 1\right)$.
9. Hai ranh giới có các cạnh tương ứng song song được ghi trong một vòng tròn. Chứng minh rằng các đường chéo của các ranh giới này bằng nhau.
10. Tìm bán kính của hình quạt nếu diện tích của nó là 144 cm2 và cung có $\frac{4}{9}$ radian.
11. Cho một hình tam giác $ABC$ và một điểm $M$ trên cạnh $AB$. Một đường thẳng đi qua điểm $M$ song song với đường trung tuyến $CC_1$ cắt $(CA)$ tại điểm $P$ và $(CB)$ tại điểm $O$. Chứng minh rằng $PM + OM = 2CC_1$.
12. Chứng minh rằng trong mọi tứ giác $ABCK$ đều có sự tương ứng $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AK} + \overrightarrow{BC})$, trong đó $M$ và $P$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $AB$ và $CK$.

Vật lý
Bài toán thi vấn đáp

1. Một người lái xe ô tô và một người đi xe đạp đang chuyển động hướng về nhau với tốc độ lần lượt là $v_1 = 20$ m/s và $v_2 = 5$ m/s. Tại thời điểm ban đầu khoảng cách giữa chúng là $l_0 = 250$ m. Khoảng cách này sẽ là bao nhiêu sau $t = 5$ s? Học cách giải những câu tương tự và đồ họa.
2. Ở độ sâu nào trong nước ép thì áp suất bằng $n = 3$ lần áp suất khí quyển bình thường?
3. Tìm mật độ không khí ở nhiệt độ $t = 127^\circ C$ và áp suất $p = 900$ hPa.
4. Một viên chì bay với tốc độ $v = 100$ m/s va vào tấm ván và mắc kẹt trong đó. Nhiệt độ của viên bi thay đổi bao nhiêu độ nếu 50% lượng thoát ra khi va chạm được dùng để làm nóng viên bi? Nhiệt độ riêng của chì $c = 130$ J/(kg K).
5. Một máy phát điện có suất điện động $G = 250$ V và điện trở trong $r = 0,4$ Ohm, công suất $n = 10$ đèn có điện trở $R_1 = 240$ Ohm mỗi đèn và $k = 5$ đèn có điện trở $R_2 = 145$ Ohm mỗi đèn. Các đèn được kết nối song song. Cung cấp điện trở mẫu $R_{np} = 2,5$ Ohm. Tìm điện áp trên các đèn. Liệu đáp số có thay đổi (và như thế nào) nếu chúng ta sử dụng nguồn hiện tại khác không?
6. Cần bao nhiêu điện để tách $ZnSO_4$ $m = 306$ g kẽm khỏi dung dịch? Điện áp trên các điện cực $U = 4$ V. Trở kháng điện tương đương với kẽm $k = 0,34$ mg/Kl.
7. Một electron chuyển động tròn đều trong từ trường đều có cảm ứng $B = 4 \cdot 10^{-3}$ T. Tìm chu kì hoàn lưu. Điện tích của một electron là $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ C, khối lượng của nó là $m = 9,1 \cdot 10^{-31}$ kg.
8. Con lắc là một quả cầu thép treo trên một sợi dây. Khối lượng của nam châm là $m = 5$ g, chu kỳ dao động của nó là $T = 1$ s. Chiều dài của sợi chỉ là bao nhiêu? Khi đặt một nam châm dưới quả bóng, chu kỳ dao động giảm xuống còn $T' = 0,8$ s. Xác định lực hút của quả bóng vào nam châm.
9. Vẽ đường đi của cánh cung đi từ ngăn xếp xuống nước và rơi trên mặt phân cách giữa các phương tiện này một góc $\alpha = 60^\circ$. Chỉ số cung cấp ngăn xếp là $n_{ct} = 1,8$, nước - $n_B = 1,33$.
10. Một vật phải đặt cách vật một khoảng bằng bao nhiêu $F = 8$ cm để ảnh của nó có cùng kích thước với vật và ảnh thật? Thực hiện một bản vẽ. Liệu đáp số có thay đổi (và như thế nào) nếu chúng ta chụp một ống kính có tiêu cự dài hơn không?
    Ấn phẩm đã được chuẩn bị
    Z. Novoseltseva, O. Onorshenko

Viện Kỹ thuật Hóa học Moscow

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Chứng minh danh tính $\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha + \sin 2\alpha = \sqrt{2} \cos \left(2\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.
2. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \log_x 10 + \log_y 10 = 5 \\ \lg x + \lg y = \frac{5}{4} \end{cases}$.
3. Hình nón được định vị sao cho đáy của nó trùng với một trong các đáy của hình trụ và đỉnh của nó nằm ở tâm của đáy kia của hình trụ. Tìm tổng diện tích bề mặt của hình trụ và thể tích của nó nếu thể tích của hình nón là $V$ và đường sinh của nó tạo một góc $\alpha$ với trục hình trụ.