Tự căn chỉnh các hình và hình học bài toán

40

N. Ivanova

Tự căn chỉnh các hình và hình học bài toán

Trong một giờ học toán, giáo viên đề nghị các em khôi phục lại đường viền của ô hình vuông nếu các em đặt hai chiếc bàn ở hai phía đối diện của hàng rào và một cái cây ở giữa ô.

Làm thế nào để giải quyết điều này bài toán? Một trong những thành viên của vòng tròn đã vẽ và tin rằng bài toán đã được giải (Hình 1). Rõ ràng là chúng ta cần biết vị trí của ít nhất một cạnh của hình vuông. Điểm N được biết trên cạnh AD. Có thể tìm thấy một điểm khác ở bên này? Sau khi suy nghĩ một chút, các anh chàng đồng ý: “Chúng ta cần xoay hình vuông quanh tâm O một góc 180°, trong trường hợp này, điểm M sẽ tiến đến điểm M₁ nằm trên [AD], - xét cho cùng, khi quay R₀^{180°} hình vuông sẽ ánh xạ vào chính nó! (Hình 2) - và các em đã dễ dàng giải được bài toán (làm thế nào?).

Sau đó, giáo viên đề nghị các thành viên vòng tròn khôi phục lại đường viền của ô hình vuông nếu các em giữ hai chiếc bàn ở hai phía đối diện của hàng rào và một cái cây ở giữa ô.

Sau khi suy nghĩ một chút, các anh chàng báo cáo rằng ở đây cũng cần phải sử dụng một trong các cách tự căn chỉnh của hình vuông: xoay quanh O một góc 90° (Hình 3).

“Làm tốt lắm,” giáo viên nói. “Đây là bài toán bạn cần,” và anh ấy vẽ một hình vuông lên bảng. Sau đó, anh ta vẽ các đường thẳng qua các đỉnh của nó, chia các cạnh đối diện của hình vuông làm đôi và bảo vệ hình được tạo thành bởi các đường thẳng giao nhau (Hình 4). “Tôi đã bảo vệ phần nào?”

Sau khi nhìn hình vẽ, các em đồng ý ngay rằng đó là hình vuông. Nhưng làm thế nào để chứng minh điều này? Hóa ra tính năng tự căn chỉnh của hình vuông cũng có thể được sử dụng ở đây. Thật vậy, chúng ta hãy xoay hình vuông này quanh tâm O một góc 90°; với phép quay này, tứ giác lồi được bảo vệ sẽ được ánh xạ lên chính nó. Vậy anh ta là một hình vuông (tại sao?).

Một trong những thành viên tích cực nhất của nhóm, Petya, đã hỏi: “Tại sao

41

Tại sao chúng ta cứ nhìn vào quảng trường suốt vậy?”

Thay vì đáp số, giáo viên vẽ một hình tam giác đều lên bảng, vẽ các đường thẳng qua các đỉnh của nó, cắt $\frac{1}{3}$ cạnh đối diện (Hình 5) và hỏi: “Các đường vẽ tạo thành hình gì?”

“Đây có lẽ là một tam giác đều,” Petya nói, “nhưng tôi không biết điều này chứng minh điều đó như thế nào. Có lẽ chúng ta nên sử dụng phương pháp tự căn chỉnh của một tam giác đều ở đây?”

“Và những đường tự thẳng hàng nào và một tam giác đều có bao nhiêu?” - giáo viên hỏi.

Sau một hồi suy nghĩ, các chàng trai đã đi đến kết luận này: “Khi một tam giác đều tự thẳng hàng, các đỉnh của nó biến thành chính chúng. Điều này có nghĩa là một tam giác đều có số tự kết hợp bằng số lượng hoán vị có thể được tạo ra từ ba chữ cái. Có sáu hoán vị như vậy: điều này có nghĩa là không có nhiều hơn sáu tự kết hợp. Đây là: đồng nhất thức, phép quay $R_0^{120^\circ}$, $R_0^{-120^\circ}$ và đối xứng trục $S_{l_1}, S_{l_2}, S_{l_3}$ (O là tâm của tam giác, $l_1, l_2, l_3$ là các đường trung tuyến của tam giác).”

Các bạn báo cáo rằng trong bài toán vừa qua cần xét phép quay quanh tâm của tam giác bằng $120^\circ$. Với phép quay này, hình tam giác được bảo vệ sẽ biến thành chính nó. Theo đó nó là bình đẳng (tại sao?). Vấn đề lời giải.

Để kết luận, giáo viên mời các em tự giải bài bài toán sau ở nhà:

1. Chứng minh rằng “bên trong” của một ngôi sao ngũ giác đều (Hình 6) là một ngôi sao ngũ giác đều.
2. Hai tiếp tuyến ngoài và hai tiếp tuyến trong của hai đường tròn. Chứng minh rằng giao điểm của các tiếp tuyến ngoài và giao điểm của các tiếp tuyến trong nằm trên một đường thẳng đi qua tâm của các đường tròn đã cho.
3. Chứng minh rằng hình bình hành nội tiếp đường tròn là đường thẳng.
   4*. Xây dựng một hình vuông nếu có một điểm ở mỗi bên.

Ông cũng khuyến khích đọc trong «Kvant» bài “Tự căn chỉnh hình vuông và viết bí mật” (1980, số 12).