Самосовмещения фигур и геометрические задачи

40

Н. Иванова

Самосовмещения фигур и геометрические задачи

На занятии математического кружка учитель предложил ребятам восстановить границу участка, имеющего форму квадрата, если сохранили два стола на противоположных сторонах изгорodu и дерево, расчете в центре участка.

Как решать эту задачу? Один из членов кружка сделал рисунок, считая, что задача решена (рис. 1). Стало ясно, что нужно знать положение хотя бы одной из сторон квадрата. На стороне AD известна точка N. Нельзя ли найти еще точку на этой стороне? Немного подумав, ребята договорались: «Надо повернуть квадрат вокруг центра O на 180°; при этом точка M перейдет в точку M₁, лежащую на [AD], — ведь при повороте R₀^{180°} квадрат отображая на себя!» (рис. 2) — и ребята легко решили задачу (как?).

Тогда учитель предложил членам кружка восстановить границу участка, имеющего форму квадрата, если сохранили два стола на противоположных сторонах изгорodu и дерево, расчете в центре участка.

Немного подумав, ребята сообщали, что и здесь надо использовать одно из самосовмещений квадрата: поворот вокруг O на 90° (рис. 3).

«Молодцы, — сказал учитель. — Вот вам задача потребнее» — и он нарисовал на доске квадрат. Затем через его вершины он провел прямые, деляшие противоположные стороны квадрата пополам, и защищовал фигуру, образованную пересекающимся прямыми (рис. 4). «Какую фигуру я защищовал?».

Посмотрев на рисунок, ребята сразу договорались, что это квадрат. Но как это доказать? Оказывается, и здесь можно привлечь самосовмещения квадрата. В самом деле, повернем данный квадрат вокруг центра O на 90°; при этом повороте защищанный выпуклый четырехугольник отображается на себя. Значит, он — квадрат (почему?).

Один из самых активных участников кружка Петя спросил: «Поче-

41

му мы все время рассматрием квадрат?».

Вместо ответа учитель нарисовал на доске равносторонний треугольник, провел через его вершины прямы, отсекающие $\frac{1}{3}$ противоположной стороны (рис. 5), и просил: «Какую фигуру образуют проведенные прямы?»

«Наверное, это равносторонний треугольник, — сказал Петя, — но как это доказывает, я не знаю. Может, здесь нужно использовать самосовмещения равностороннего треугольника?».

«А какие самосовмещения и сколько имеет равносторонний треугольник?» — просил учитель.

После некоторых размышлений ребята пришли вот к чему: «При самосовмещениях равностороннего треугольника его вершины переходят в себя. Значит, у равностороннего треугольника столько самосовмещений, сколько перестановок можно сделать из трех букв. Таких перестановок шесть: значит, и самосовмещений не больше шести. Вот они: тождественное, повороты $R_0^{120^\circ}$, $R_0^{-120^\circ}$ и осевые симметрии $S_{l_1}, S_{l_2}, S_{l_3}$ (О — центр треугольника, $l_1, l_2, l_3$ — его медианы)».

Ребята сообщали, что в последней задаче надо рассмотреть поворот вокруг центра треугольника на $120^\circ$. При этом повороте защитыованный треугольник перейдет в себя. Отсюда следует, что он — равносторонний (почему?). Задча решения.

В заключение учитель предложил ребятам самостояльно решить дома следующее задачи:

1. Докажите, что «внутренность» правильной пятуюлной звезды (рис. 6) есть правильный пятуюлник.
2. К двум окружностям проведены две внешние и две внутренние касательные. Докажите, что точка пересечения внешних и точка пересечения внутренних касательных лежат на прямой, проходящей через центры данных окружностей.
3. Докажите, что параллелогам, вписанный в окружность, является прямойкомом.
   4*. Построите квадрат, если на каждой его стороне задано по точке.

Он рекомендувал также прочитать в «Кванте» статью «Самосовмещения квадрата и тайнопись» (1980, № 12).