Московский инженерно-физический институт

46

Московский инженерно-физический институт

Математика
Писменный экзамен

Вариант 1

1. Имеется два сплава меди и серебра, причем в первом сплава процентное содержание меди (по весу) на 45% больше, чем во втором. Сплавив кусок первого сплава, содержащий 6 кг меди, с кусом второго сплава, содержащим 12 кг меди, получили слиток, содержащий p% меди. Определите процентное содержание серебра в первом сплава.

2. В правильной треугольной примите $SABC |SC| = l$ и ребро $[SC]$ составляет с плоскостью основания угол величины $\alpha$. На высоте $[SO]$ примыдь взята точка $S_1$ такая, что сумма расстояний от этой точки до вершины $S$ и до точки $C_1, A_1, B_1$, является серединами сторона $[AB], [BC], [CA]$. треугольника, лежащого в основании примыдь, имеет наименьшее значение. Определите объем примыдь $S_1A_1B_1C_1$.

3. Найдите все значения $a \in R$, при которых выполняется неравенство

$$\sum_{-1}^{2a} \frac{dx}{x+a} \geq \log_a(2^{\log_2 e}).$$

4. Найдите $f'(x)$ и критические точки функции

$$f(x) = \frac{2}{3} \sqrt{\sin^3 2x} + x + 0,25 \sin 4x + \ln \frac{1}{3}.$$

Вариант 2

1. Из одного и того же пункта, расположенного на прямолинейном пути, одновременно в одном направлении с разными, но постоянными скоростями вышили два пешекода. Через два часа расстояние между ними было равно $s$ км. После этого пешекоды пошли быстрее и стали затрачивать на каждой kilometer пути на 10 мин меньше. Еще через 2 ч расстояние между ними стало равно 3s км. Определите путь,ройденные пешекодами за первые 2 ч движения.

2. В прямой круговой конус с образующей $l$ и высотой $H$ вписана правильная шестугольная примма так, что нижнее основание примыдь лежит в плоскости основания конуса, а вершины верхнего основания принадлежат конечной поверхности. Найдите площадь основания призмы, если известно, что площадь полной поверхности этой приммы наибольшая из всех возможных.

3. Вычислите интегралы $I_1 = \int_4^8 \frac{dx}{2x}$ и $I_2 = \int_4^{169} \frac{dx}{\sqrt{1-x}}$ и определите знак разности $I_2 - I_1$ (без помощи таблиц).

4. Найдите $f'(x)$ и критические точки функции

$$f(x) = 5x + \ln 2 + \log_2 \sin^3 \frac{x}{3} + 3 \log \frac{1}{2} \left( \sin \frac{4}{3} x - \sin \frac{2}{3} x \right).$$

Физика

Задачи устного экзамена

1. Клежащему на горизонтальной поверхности бруску массой $m = 12$ кг прикреплена пружина жесткостью $k = 300$ Н/m (рис. 1). Козффициент треня между бруском и поверхности $\mu = 0,4$. Вначале пружина не деформирована. Затем, приложив к свободному концу пружины силы $\vec{F}$, направленную под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, медленно перемещали брусок на расстояние $s = 0,4$ м. Какая работа была при этом совершена?

2. Два маленьких тела с массами $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 6$ кг соединили нитью и положили на гладкую цилиндрическую поверхности так, как показано на рисунке 2, а величина $\alpha$ неизвестна. Если тела в таком положении отпустить, они начинают движаться сускорением $a = 6$ м/c². С каким ускорением будут движаться тела, если их расположить на цилиндрической поверхности симметрично (рис. 2, 6)?

3. Конденсаторы, имеющие емкости $C_1 = 20$ мкФ и $C_2 = 60$ мкФ, заряды до некоторых напряжений $U_1$ и $U_2$ соответственно. Затем отрицательно заряженные обкладки конденсаторов соединили проводиком, сопротивление которого можно считать пребрежимо малым, а положительные обкладки соединяются через сопротивление $R = 80$ Ом (рис. 3). В момент замыкания ключа $K$ по резистору течет ток $I = 0,2$ А. Какое количество теплоты выделится в резисторе к моменту, когда ток в цепи практических практических?

4. Пуукок протонов в области однопrodного магнитного поля с индикцией $B = 0,1$ Тл. Направление поля перpendикулярно скорости пучка. В этом поле протоны движут по дуге окружности радиусом $r = 0,2$ м и попадают на заземленную шншень. Найдите теплую мощность, выделяющуюся в мишени. Ток в пучке $I = 0,1$ мА. Удельный заряд протона (отношение заряда к массе) $e/m = 10^8$ Кл/кг.

5. По двум параллельным металлическим рейкам, находящимся в горизонтальной плоскости на расстоянии $l = 1$ м друг от друга, мо-